Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau: Lý thuyết, cách xác định và các dạng bài tập

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

1. Định nghĩa khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

Trong không gian tọa đọ Oxyz, có 4 vị trí tương đối của 2 đường thẳng đó là trùng nhau, cắt nhau, chéo nhau và song song. Trong trường hợp 2 đường thẳng chéo nhau, khoảng cách giữa chúng là độ dài đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng. Trong đó, đoạn thẳng nối 2 điểm trên 2 đường thẳng chéo nhau, đồng thời vuông góc với cả 2 đường thẳng đó chính là đoạn vuông góc chung.

Lưu ý, đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau là chỉ có một và tồn tại duy nhất.

2. Phương pháp tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

Để có thể tính được khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau thì chúng ta có thể sử dụng một trong các cách dưới đây:

Phương pháp 1: Dựng đoạn vuông góc chung MN của a và b, khi đó d (a,b) = MN.

Tuy nhiên, khi dựng đoạn vuông góc chung MN, chúng ta có thể sẽ gặp phải các trường hợp sau:

- Trường hợp 1: ∆ và ∆’ vừa chéo vừa vuông góc với nhau

Khi gặp trường hợp này, chúng ta sẽ làm như sau:

• Bước 1: Chọn mặt phẳng (α) chứa ∆’ và vuông góc với ∆ tại I
• Bước 2: Trong mặt phẳng (α) kẻ đường thẳng IJ vuông góc với ∆’

Khi đó IJ chính là đoạn vuông góc chung và d (∆, ∆’) = IJ.

- Trường hợp 2: ∆ và ∆’ chéo nhau mà không vuông góc với nhau

• Bước 1: Bạn chọn một mặt phẳng (α) chứa ∆’ và song song với ∆
• Bước 2: Bạn dựng d là hình chiếu vuông góc của ∆ xuống (α) bằng cách lấy điểm M thuộc ∆ dựng đoạn MN vuông góc với (α) . Khi đó, d  sẽ là đường thẳng đi qua N và song song với ∆
• Bước 3: Bạn gọi H là giao điểm của đường thẳng d với ∆’, dựng HK // MN

Khi đó, HK chính là đoạn vuông góc chung và d (∆, ∆’) = HK = MN.

Hoặc bạn làm như sau:

• Bước 1: Chọn mặt phẳng (α) vuông góc với ∆ tại I
• Bước 2: Bạn tìm hình chiếu d của ∆’ xuống mặt phẳng (α)
• Bước 3: Trong mặt phẳng (α), dựng IJ vuông góc với d, từ J bạn dựng đường thẳng song song với ∆ và cắt ∆’ tại H, từ H dựng HM // IJ

Khi đó, HM chính là đoạn vuông góc chung và d (∆, ∆’) = HM = IJ.

Phương pháp 2: Chọn mặt phẳng (α) chứa đường thẳng ∆ và song song với ∆’. Khi đó, d (∆, ∆’) = d (∆’, (α)).

Phương pháp 3: Dựng 2 mặt phẳng song song và lần lượt chứa 2 đường thẳng. Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng đó chính là khoảng cách giữa 2 đường thẳng cần tìm.

Lưu ý: Phương pháp này thường sử dụng trong trường hợp khi kẻ đường thẳng song song với 1 trong 2 đường đề bài cho ban đầu gặp khó khăn.

Phương pháp 4: Sử dụng phương pháp vec tơ

* MN là đoạn vuông góc chung của AB và CD khi và chỉ khi:

* Nếu trong mặt phẳng (α) có hai véc tơ không cùng phương thì:

3. Bài tập vận dụng