Nội dung bài viết

    Xem thêm

    Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

    Với tài liệu về Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn bao gồm: lý thuyết và bài tập cũng như những định nghĩa, tính chất, các dạng bài sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức và học tốt môn Toán hơn.

    1 153 26/07/2024
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Tổng cấp số nhân lùi vô hạn

    I. Lý thuyết

    1. Định nghĩa

    Cấp số nhân vô hạn với công bội q∈(−1;1) được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

    2. Công thức

    Tổng của tất cả các số hạng trong một cấp số nhân lùi vô hạn là một giá trị hữu hạn và hoàn toàn có thể tính được.

    Giả sử ta có cấp số nhân lùi vô hạn Un

    Khi đó tổng của các số hạng thuộc Un là:

    Sn = u1 + u2 + u3 + ..... + un-1 + un

    S_{n}= u_{1}\frac{1-q^{n}}{1-q}

    Giới hạn hai vế ta sẽ được:

    S = \frac{u_{1}}{1-q}

    Đây cũng chính là công thức tính tổng các cấp số nhân lùi vô hạn

    II. Ví dụ minh họa

    Ví dụ 1: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn Un với U_{n} = \left ( \frac{1}{3} \right )^{n}

    Lời giải:

    Ta có: u_{1}= \frac{1}{3}, q= \frac{1}{3}

    Áp dụng công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn:

    s= \frac{u_{1}}{1-q} \Leftrightarrow \frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}}= \frac{1}{2}

    Ví dụ 2: Cho cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu là 4, công bội là \frac{1}{2} . Hãy tính tổng tất cả các số hạng thuộc cấp số nhân đó.

    Hướng dẫn giải:

    Áp dụng công thức ta tính được tổng tất cả các số hạng của cấp số nhân đó là:

    S = \frac{4}{1-\frac{1}{2}}= 8

    III. Bài tập vận dụng

    Bài 1: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a và có diện tích S1 . Nối 4 trung điểm A1, B1, C1, D1 ta được hình vuông thứ 2 có diện tích S2. Tiếp tục như thế, ta được hình vuông A1B2C2D2 có diện tích S3 .... Tiếp tục quá trình trên ta được hình vuông lần lượt có diện tích là S4, S5, S6, ..... , S100. Tính tổng \sum_{k=1}^{100}S_{k}

    Hướng dẫn giải:

    Có S_{n}= \frac{1}{2}S_{n -1}, S_{1}= a^{2}\Rightarrow \left ( S_{n} \right )Là cấp số nhân có công bội bằng \frac{1}{2}

    Do \sum_{k=1}^{100}S_{k} = S_{1}\frac{q^{100}-1}{q-1}= a^{2}\frac{\left ( \frac{1}{2} \right )^{2}-100}{\frac{1}{2}-1}

    Bài 2: Chi cấp số nhân (un) có u3 = 24 và u4 = 48. Hãy tính tổng 5 số hạng đầu tiên của cấp số đó

    Hướng dẫn giải:

    Gọi q là công bội của cấp số nhân (un), ta có: q = 48/24 = 2

    Do đó, theo định lý 2, ta được: 24 = u3 = u1.22

    Suy ra u1 = 6. Vì thế, theo định lý 3, ta được S5 = 6. (1-25) / (1-2) = 186

    Bài 3: Cho dãy số (Un) với U_{n}= \frac{1}{2}- \frac{1}{4}+ \frac{1}{8}+ .... + \frac{\left ( -1 \right )^{n+1}}{2^{n}}. Tính tổng của dãy Un

    Hướng dẫn giải:

    Vì Un là tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có U1 = 1/2 và q = (-1)/2

    \Rightarrow S= \frac{u_{1}}{1-q}= \frac{1}{1+\frac{1}{2}}= \frac{1}{3}

    Bài 4: Cho cấp số nhân lùi vô hạn (Vn) với số hạng đầu V1 = -1 và công bội q = x2. Tìm tổng của cấp số nhân lùi vô hạn trên và bốn số hạng đầu:

    Hướng dẫn giải:

    Ta áp dụng công thức S= \frac{v_{1}}{1-q}= \frac{-1}{1-x^{2}}

    Từ đó bốn số hạng đầu của dãy là -1; -x2; -x4; -x6

    Bài 5: Cho cấp số nhân lùi vô hạn (Vn) với số hạng đầu v1 = 2 và công bội q = x3 . Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn trên và bốn hạng đầu

    Hướng dẫn giải:

    Ta áp dụng công thức S = S = \frac{v_{1}}{1-q}= \frac{2}{1-x^{3}}

    Từ đó bốn số hạng đầu của dãy là 2; 2x3; 2x6; 2x9

    Bài 6: Một cấp số nhân lùi vô hạn có tổng các số hạng bằng 56, tổng bình phương các số hạng bằng 448. Số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó là?

    Bài 7: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn sau: 2; -1; 1/2; -1/4; 1/8; ... \frac{\left ( -1 \right )^{n+!}}{2^{n}}; ....

    Bài 8: Cấp số nhân lùi vô hạn có u1 = -50, S = 100. Tìm 5 số hạng đầu của cấp số đó

    Bài 9: Cấp số nhân lùi vô hạn có u1 = -1; q=x. Tìm 3 số hạng đầu của cấp số nhân lùi vô hạn đó

    Bài 10: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn sau: 5; \sqrt{5}; 1; \frac{1}{\sqrt{5}}; ...

    Tham khảo các loạt bài Toán khác:

    Bài viết cùng lớp mới nhất

    Xem thêm
    1 153 26/07/2024
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Xem thêm các chương trình khác: