Lý thuyết, cách xác định và bài tập các chứng minh hai mặt phẳng vuông góc

Hai mặt phẳng vuông góc

1. Phương pháp giải

1.1. Định nghĩa

Hai mặt phẳng (P) và (Q) được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90°.

1.2. Phương pháp chứng minh hai mặt phẳng vuông góc

Để chứng minh hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau ta có thể sử dụng:

+) Cách 1: Một đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng (Q) hoặc ngược lại một đường thẳng nào đó nằm trong mặt phẳng (Q) và vuông góc với mặt phẳng (P).

+) Cách 2: Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng 90°.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B và SA $\perp$ (ABC).

a) Chứng minh (SBC) $\perp$ (SAB).

b) Gọi AH và AK lần lượt là đường cao trong tam giác SAB và SAC. Chứng minh (SBC) $\perp$ (AKH).

Hướng dẫn giải:

a) Vì SA $\perp$ (ABC) ⇒ SA $\perp$ BC mà AB $\perp$ BC nên BC $\perp$ (SAB).

Mà BC Ì (SBC) nên (SBC) $\perp$ (SAB).

b) Vì BC $\perp$ (SAB) ⇒ BC $\perp$ AH.

Mà AH $\perp$ SB nên AH $\perp$(SBC).

Lại có AH $\subset$ (AHK) nên (SBC) $\perp$(AKH).

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a và BD = a. Biết cạnh và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Chứng minh rằng:

a) (SAC) $\perp$(SBD).

b) (SCD) $\perp$ (SBC).

Hướng dẫn giải:

a) Do ABCD là hình thoi nên AC $\perp$ BD (1).

Vì SA $\perp$ (ABCD) nên SA $\perp$ BD (2).

Từ (1) và (2), suy ra BD $\perp$ (SAC) mà BD$\subset$ (SBD) nên (SAC) $\perp$ (SBD).

b) Kẻ OH $\perp$ SC tại H.

Vì BD $\perp$ (SAC) nên BD $\perp$ SC mà OH $\perp$ SC suy ra SC $\perp$ (BHD).

Vì SC $\perp$ (BHD) ⇒ SC $\perp$ BH, SC$\perp$ DH.

Do đó góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SBC) bằng .

Vì DABD đều cạnh a nên .

Kẻ AK $\perp$SC tại K.

Xét DSAC vuông tại A, có .

Vì OH // AK mà O là trung điểm AC nên OH là đường trung bình của DCAK.

Suy ra .

Xét DBDH có BD = a, nên DBDH vuông tại H hay .

Do đó (SCD) $\perp$ (SBC).

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho tứ diện ABCD có AC = AD và BC = BD. Gọi I là trung điểm của CD. Khẳng định nào sau đây sai?

A.Góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) là $\widehat{CBD}$;

B.Góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) là $\widehat{AIB}$;

C. (BCD) $\perp$ (AIB);

D. (ACD) $\perp$ (AIB).

Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có SA $\perp$ (ABC) và đáy ABC vuông ở A. Khẳng định nào sau đây sai?

A. (SAB) $\perp$ (ABC);

B. (SAB) $\perp$ (SAC);

C. Vẽ AH $\perp$ BC, H$\in$ BC ⇒ $\widehat{AHS}$ là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC);

D. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SAC) là góc $\widehat{SCB}$.

Bài 3. Cho tứ diện ABCD có AB $\perp$ (BCD). Trong DBCD vẽ các đường cao BE và DF. Trong (ADC) vẽ DK $\perp$ AC tại K. Khẳng định nào sau đây sai?

A. (ADC)$\perp$ (ABE);

B. (ADC) $\perp$(DFK);

C. (ADC) $\perp$ (ABC);

D. (BDC) $\perp$ (ABE).

Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi và SB vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Mặt phẳng nào sau đây vuông góc với mặt phẳng (SBD)?

A. (SBC);

B. (SAD);

C. (SCD);

D. (SAC).

Bài 5. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại B, cạnh bên SA vuông góc với đáy, I là trung điểm AC, H là hình chiếu của I lên SC. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. (BIH) $\perp$(SBC);

B. (SAC) $\perp$ (SAB);

C. (SBC) $\perp$ (ABC);

D. (SAC)$\perp$(SBC).

Bài 6. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, SA $\perp$(ABC), gọi M là trung điểm của AC. Mệnh đề nào sai ?

A. (SAB) $\perp$ (SAC);

B. BM $\perp$ AC;

C. (SBM) $\perp$ (SAC);

D. (SAB) $\perp$ (SBC).

Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, SA = SC. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Mặt phẳng (SBD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD);

B. Mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABCD);

C. Mặt phẳng (SAD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD);

D. Mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD).

Bài 8. Cho hai tam giác ACD và BCD nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau và AC = AD = BC = BD = a; CD = 2x. Với giá trị nào của x thì hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) vuông góc?

A. $\frac{a\sqrt{3}}{3}$;

B. $\frac{a}{2}$;

C. $\frac{a\sqrt{2}}{2}$;

D. $\frac{a}{3}$.

Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Trong số các mặt phẳng chứa mặt đáy và các mặt bên của hình chóp, có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (SAB)?

A.4;

B.3;

C.1;

D.2.

Bài 10. Cho hình chóp S.ABC có hai mặt bên (SAB) và (SAC) vuông góc với đáy (ABC), tam giác (ABC) vuông cân ở A và có đường cao AH. Gọi O là hình chiếu vuông góc của A lên (SBC). Khẳng định nào sau đây đúng?

A.SC $\perp$ (ABC);

B.(SAH) $\perp$ (SBC);

C.O $\in$ SC;

D.Góc giữa (SBC) và (ABC) là góc $\widehat{SBA}$.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 11 hay, chi tiết khác:

• Nhận biết góc phẳng của góc nhị diện và tính góc phẳng nhị diện

• Hình chóp đều, hình lăng trụ đứng và các trường hợp đặc biệt