Lý thuyết, cách xác định và bài tập các công thức tính góc giữa hai đường thẳng

Góc giữa hai đường thẳng

I. Lý thuyết tổng hợp

- Góc giữa hai đường thẳng là góc $\alpha$được tạo bởi hai đường thẳng d và d’ có số đo $0^o\le \alpha \le {90}^o$. Khi d song song hoặc trùng với d’, ta quy ước góc giữa chúng bằng $0^o$.

- Góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa hai vectơ chỉ phương hoặc hai vectơ pháp tuyến của chúng.

II. Các công thức

- Cho hai đường thẳng d và d’ có vectơ chỉ phương lần lượt là: $\overrightarrow{u}=(a;b)$ và $\overrightarrow{u\text{'}}=(a\text{'};b\text{'})$. Góc giữa hai đường thẳng được xác định bởi:

$\cos (d,d\text{'})=\left|cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{u\text{'}})\right|=\frac{\left|a.a\text{'}+b.b\text{'}\right|}{\sqrt{a^2+b^2}.\sqrt{a{\text{'}}^2+b{\text{'}}^2}}$

- Cho hai đường thẳng d và d’ có vectơ pháp tuyến lần lượt là: $\overrightarrow{n}=(a;b)$ và $\overrightarrow{n\text{'}}=(a\text{'};b\text{'})$. Góc giữa hai đường thẳng được xác định bởi:

$\cos (d,d\text{'})=\left|cos(\overrightarrow{n},\overrightarrow{n\text{'}})\right|=\frac{\left|a.a\text{'}+b.b\text{'}\right|}{\sqrt{a^2+b^2}.\sqrt{a{\text{'}}^2+b{\text{'}}^2}}$

- Gọi k và k’ lần lượt là hệ số góc của hai đường thẳng d và d’. Ta có:

$\tan (d,d\text{'})=\left|\frac{k-k\text{'}}{1+k.k\text{'}}\right|$

III. Ví dụ minh họa

Bài 1: Tính góc giữa hai đường thẳng d: 3x + y - 2 = 0 và d’: 2x - y + 3 = 0.

Lời giải:

Hai đường thẳng d và d’ có các vectơ pháp tuyến lần lượt là: $\overrightarrow{n}=(3;1)$ và $\overrightarrow{n\text{'}}=(2;-1)$. Ta có:

$$\begin{gathered} \cos (d,d\text{'})=\left|cos(\overrightarrow{n},\overrightarrow{n\text{'}})\right| \\ =\frac{\left|3.2+1.(-1)\right|}{\sqrt{3^2+1^2}.\sqrt{2^2+{(-1)}^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \Rightarrow (d,d\text{'})={45}^o \end{gathered}$$

Bài 2: Tính góc giữa hai đường thẳng d: $\left\{\begin{array}{l}x=2+2t\\ y=1+3t\end{array}\right.$và d’: $\left\{\begin{array}{l}x=4+t\\ y=2+t\end{array}\right.$.

Lời giải:

Hai đường thẳng d và d’ có các vectơ chỉ phương lần lượt là: $\overrightarrow{u}=(2;3)$ và $\overrightarrow{u\text{'}}=(1;1)$. Ta có:

$$\begin{gathered} \cos (d,d\text{'})=\left|cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{u\text{'}})\right| \\ =\frac{\left|2.1+3.1\right|}{\sqrt{2^2+3^2}.\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{5\sqrt{26}}{26} \\ \Rightarrow (d,d\text{'})\approx {11}^{o}18\text{'} \end{gathered}$$

Bài 3: Cho hai đường thẳng d và d’ có hệ số góc lần lượt là 3 và -1. Tính góc giữa d và d’.

Lời giải:

Ta có:

$$\begin{gathered} \tan (d,d\text{'})=\left|\frac{3-(-1)}{1+3.(-1)}\right|=2 \\ \Rightarrow (d,d\text{'})\approx {63}^{o}26\text{'} \end{gathered}$$

IV. Bài tập tự luyện

Bài 1: Tính góc giữa hai đường thẳng d: 5x + 2y - 1 = 0 và d’: 2x - y + 7 = 0.

Bài 2: Cho hai đường thẳng d và d’ có hệ số góc lần lượt là -2 và -1. Tính góc giữa d và d’.

Xem thêm tổng hợp công thức môn Toán lớp 10 đầy đủ và chi tiết khác:

Công thức viết phương trình đường thẳng theo đoạn chắn hay, chi tiết nhất

Công thức tìm điểm đối xứng qua đường thẳng hay và chi tiết