Giới hạn của hàm số?

Giới hạn của hàm số?

1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

1.1. Khái niệm giới hạn tại một điểm

- Giả sử (a; b) là một khoảng chứa điểm x₀ và hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b), có thể trừ điểm x₀. Ta nói hàm số f(x) có giới hạn là số L khi x dần tới x₀ nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n ∈ (a; b), x_n ≠ x₀ và x_n → x₀, ta có f (x_n) → L, kí hiệu $\underset{x\to x_0}{\lim }$f(x) = L hay f(x) → L khi x → x₀.

- Các quy tắc tính giới hạn của hàm số tại một điểm:

a) Nếu $\underset{x\to x_0}{\lim }$f(x) = L và $\underset{x\to x_0}{\lim }$g(x) = M thì

$\underset{x\to x_0}{\lim }$[f(x) + g(x)] =L+M;

$\underset{x\to x_0}{\lim }$[f(x) - g(x)] =L-M;

$\underset{x\to x_0}{\lim }$[f(x) . g(x)] =L.M;

$\underset{x\to x_0}{\lim }$ = $\frac{L}{M}$, nếu M ≠ 0.

b) Nếu f(x) ≥ 0 với mọi x ∈ (a; b) \ {x₀} và $\underset{x\to x_0}{\lim }$f(x) = L thì L ≥ 0 và

Chú ý:

$\underset{x\to x_0}{\lim }$c = c với c là hằng số.

$\underset{x\to x_0}{\lim }{x}^n=x_0^n$ với n ∈ ℕ.

Ví dụ: Tìm giới hạn của: $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2+x-2}{x-1}$.

Hướng dẫn giải

1.2. Khái niệm giới hạn một bên

• Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (x₀; b). Ta nói số L là giới hạn bên phải của f(x) khi x → x₀ nếu với dãy số (x_n) bất kì thỏa mãn x₀ < x_n < b và x_n → x₀, ta có f(x_n) → L, kí hiệu $\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }$f(x) = L.

• Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; x₀). Ta nói số L là giới hạn bên trái của f(x) khi x → x₀ nếu với dãy số (x_n) bất kì thỏa mãn a < x_n < x₀ và x_n → x₀, ta có f(x_n) → L, kí hiệu $\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }$f(x) = L.

Chú ý: $\underset{x\to x_0}{\lim }$f(x) = L khi và chỉ khi $\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }$f(x) = $\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }$f(x) = L.

Ví dụ: Tính $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\sqrt{2-x}$.

Hướng dẫn giải

Xét dãy số (x_n) bất kì, x_n < 2 và x_n → 2, ta có:

$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }$(2-x_n) $=2-\underset{x\to 2^{-}}{\lim }{x}_n$ = 2-2 = 0. Suy ra $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\sqrt{2-x_n}$ = 0.

Vậy $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\sqrt{2-x}$= 0.

2. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực

• Khái niệm giới hạn tại vô cực:

- Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; +∞). Ta nói hàm số f(x) có giới hạn là số L khi x → +∞ nếu với dãy số (x_n) bất kì thỏa mãn x_n > a và x_n → +∞, ta có f(x_n) → L, kí hiệu $\underset{x\to +\infty }{\lim }$f(x) = L hay f(x) → L khi x → +∞.

- Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (–∞; b). Ta nói hàm số f(x) có giới hạn là số L khi x → –∞ nếu với dãy số (x_n) bất kì thỏa mãn x_n < b và x_n → –∞, ta có f(x_n) → L, kí hiệu $\underset{x\to -\infty }{\lim }$f(x) = L hay f(x) → L khi x → –∞.

• Chú ý:

- Các quy tắc tính giới hạn hữu hạn tại một điểm cũng đúng cho giới hạn hữu hạn tại vô cực.
- Với c là hằng số, ta có: $\underset{x\to +\infty }{\lim }$c = c, $\underset{x\to -\infty }{\lim }$c = c.

- Với k là một số nguyên dương, ta có: $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{x^k}$= 0, $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1}{x^k}$= 0.

- Lưu ý: $a\sqrt{b}$ = .

Ví dụ: Tính $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}$.

Hướng dẫn giải

Ta có

3. Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm

3.1. Giới hạn vô cực

• Khái niệm giới hạn vô cực

Giả sử khoảng (a; b) chứa x₀ và hàm số y = f(x) xác định trên (a; b) \ {x₀}. Ta nói hàm số f(x) có giới hạn +∞ khi x → x₀ nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n ∈ (a; b) \ {x₀}; x_n → x₀, ta có f(x_n) → +∞, kí hiệu $\underset{x\to x_0}{\lim }$f(x) = +∞.

Ta nói hàm số f(x) có giới hạn –∞ khi x → x₀, kí hiệu $\underset{x\to x_0}{\lim }$f(x) = -∞, nếu $\underset{x\to x_0}{\lim }$[-f(x)] = +$\infty$.

• Giới hạn một bên:

- Cho hàm số = f(x) xác định trên khoảng (x₀; b). Ta nói hàm số f(x) có giới hạn +∞ khi x → x₀ về bên phải nếu với dãy số (x_n) bất kì thỏa mãn x₀ < x_n < b, x_n → x₀, ta có f(x_n) → +∞, kí hiệu $\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }$f(x)= +$\infty$.

- Cho hàm số = f(x) xác định trên khoảng (a; x₀). Ta nói hàm số f(x) có giới hạn +∞ khi x → x₀ về bên trái nếu với dãy số (x_n) bất kì thỏa mãn a < x_n < x₀, x_n → x₀, ta có f(x_n) → +∞, kí hiệu $\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }$f(x) = +$\infty$ .

- Các giới hạn một bên $\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }$f(x)=$-\infty$, $\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }$f(x) = $-\infty$ được định nghĩa tương tự.

Chú ý: Các giới hạn $\underset{x\to +\infty }{\lim }$f(x) = +$\infty$, $\underset{x\to -\infty }{\lim }$f(x) = +$\infty$, $\underset{x\to +\infty }{\lim }$f(x)=-$\infty$ và $\underset{x\to -\infty }{\lim }$f(x)=-$\infty$ được định nghĩa tương tự như giới hạn của hàm số f(x) tại vô cực. Chẳng hạn: Ta nói hàm số y = f(x), xác định trên khoảng (a; +∞), có giới hạn là – ∞ khi x → +∞ nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n > a và x_n → +∞, ta có f(x_n) → –∞, kí hiệu $\underset{x\to +\infty }{\lim }$f(x) = -$\infty$ hay f(x) → –∞ khi x → +∞.

Một số giới hạn đặc biệt:

+) $\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^k=+\infty$ với k nguyên dương;

+) $\underset{x\to -\infty }{\lim }$f(x) = +$\infty$ với k là số chẵn;

+) $\underset{x\to -\infty }{\lim }$f(x) = -$\infty$ với k là số lẻ.

Ví dụ: Tìm giới hạn của: $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{5x^2-3x}{x^2+2}$.

Hướng dẫn giải

3.2. Một số quy tắc tính giới hạn vô cực

Chú ý các quy tắc tính giới hạn hữu hạn không còn đúng cho giới hạn vô cực.

Ta có một số quy tắc tính giới hạn của tích và thương hai hàm số khi một trong hai hàm số đó có giới hạn vô cực.

• Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x). g(x).

Giả sử $\underset{x\to x_0}{\lim }$f(x) = L≠ 0 và $\underset{x\to x_0}{\lim }$g(x) = +∞ (hoặc –∞). Khi đó $\underset{x\to x_0}{\lim }$f(x)g(x) được tính theo quy tắc trong bảng sau:

• Quy tắc tìm giới hạn của thương .

Các quy tắc trên vẫn đúng cho các trường hợp x → $x_0^{+}$, x → $x_0^{-}$.

Ví dụ: Tìm $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2x+2}{x^2}$.

Hướng dẫn giải

Ta sử dụng quy tắc tìm giới hạn của thương.

Giới hạn của tử số $\underset{x\to 0}{\lim }$(2x+2) = 2.

Ngoài ra, mẫu số nhận giá trị dương với mọi x ≠ 0 và $\underset{x\to 0}{\lim }{x}^2$ = 0.

Do vậy $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2x+2}{x^2}$= +∞.

4. Bài tập vận dụng

Bài 1: Tính các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x^2+1}{2\sqrt{x}}$;

b) $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2+x-2}{x-1}$.

Hướng dẫn giải

a)

$=\frac{3\cdot 3+1}{2\sqrt{3}}=\frac{5}{\sqrt{3}}$

b) Vì (x – 1) → 0 hay khi x → 1, nên ta chưa thể áp dụng ngay quy tắc tính giới hạn của hàm số tại một điểm.

Nhưng với x ≠ 1, ta có:

$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2+x-2}{x-1}$==$\underset{x\to 1}{\lim }$(x+2) = 3.

Bài 2: Tìm các giới hạn một bên:

a) $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x-3}{x-1}$;

b) $\underset{x\to 4^{-}}{\lim }\frac{x^2-2x+3}{4-x}$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }$(x-1) = 0 và x – 1 > 0 với mọi x > 1

$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }$(x-3) = 1-3 = -2 <0

Do đó: $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x-3}{x-1}$ = – ∞.

b) Ta có: $\underset{x\to 4^{-}}{\lim }$(4-x) = 0 và 4 – x > 0 với mọi x < 4

$\underset{x\to 4^{-}}{\lim }$(x²-2x+3) = 4²-8+3 = 11 > 0

Do đó: $\underset{x\to 4^{-}}{\lim }\frac{x^2-2x+3}{4-x}$ = +∞.

Bài 3: Tính các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to +\infty }{\lim }$(x³-2x);

b) $\underset{x\to -\infty }{\lim }$(x³-3x);

c) .

Hướng dẫn giải

a)

b)

c) Ta có: $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }$(x-1) = 0 và x – 1 < 0 với mọi x < 1.

$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }$(2x - 4) = 2.1 - 4 = -2<0.

Do đó,

Bài 4: Cho hàm số f(x) = $\frac{2x^2-2}{x-1}$ và g(x) = x + 3. Khẳng định nào sau đây là sai?

a) f(x) = g(x).

b) $\underset{x\to 1}{\lim }\text{f(x)}=\underset{x\to 1}{\lim }\text{g(x)}$.

Hướng dẫn giải

a) Biểu thức f(x) có nghĩa khi x ≠ 1.

Ta có: f(x) = = 2(x+1) = 2x+2 với mọi x ≠ 1.

Biểu thức g(x) có nghĩa với mọi x.

Do đó f(x) ≠ g(x). Suy ra khẳng định a) là khẳng định sai.

b) $\underset{x\to 1}{\lim }$f(x) = $\underset{x\to 1}{\lim }$(2x+2) = 4

$\underset{x\to 1}{\lim }$g(x) = $\underset{x\to 1}{\lim }$(x+3) = 4

Vậy $\underset{x\to 1}{\lim }$f(x) = $\underset{x\to 1}{\lim }$g(x), do đó khẳng định b) là khẳng định đúng.