Định lý Cos là gì? Định lí côsin trong tam giác?

Vietjack.me giới thiệu bài viết A bao gồm: lý thuyết và bài tập cũng như những định nghĩa, tính chất, các dạng bài sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức và học tốt môn Toán hơn.

1 593 09/10/2025

Trang trước

Trang sau

Định lý Cos là gì? Định lí côsin trong tam giác?

1. Định lý Cos?

Định lý Cos là một công thức toán học mô tả mối quan hệ giữa độ dài ba cạnh của một tam giác và cosin của một góc, phát biểu rằng: "Bình phương một cạnh của tam giác bằng tổng bình phương hai cạnh còn lại trừ đi hai lần tích của chúng với cosin của góc xen giữa hai cạnh đó".

2. Định lí côsin trong tam giác

Định lí côsin và định lí sin lớp 10 (Lý thuyết Toán 10 Chân trời sáng tạo) (ảnh 1)

Định lí côsin: Trong tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c, ta có:

a² = b² + c² – 2bc.cosA;

b² = c² + a² – 2ca.cosB;

c² = a² + b² – 2ab.cosC.

Từ định lí côsin, ta có hệ quả sau đây:

Hệ quả:

cosA = $\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c};$

cosB = $\frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2 c a};$

cosC = $\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b} .$

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 5 và cosA = $\frac{3}{5}$ . Tính độ dài cạnh BC, số đo góc B và C (làm tròn số đo góc đến độ).

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC có AB = 4, AC = 5 và cosA = $\frac{3}{5}$ áp dụng định lí côsin ta có:

BC² = AB² + AC² – 2.AB.AC.cosA

$\Rightarrow$ BC²=4² + 5² - 2.4.5. $\frac{3}{5}$

$\Rightarrow$ BC² = 17

$\Rightarrow$ BC = $\sqrt{17}$

Áp dụng hệ quả định lí côsin ta có:

+) cos B = $\frac{A B^{2} + B C^{2} - A C^{2}}{2. A B . B C}$

$\Rightarrow \cos B = \frac{4^{2} + 17 - 5^{2}}{2.4. \sqrt{17}}$

$\Rightarrow \cos B = \frac{\sqrt{17}}{17} \Rightarrow B \approx 76 ° .$

+) cosC = $\frac{A C^{2} + B C^{2} - A B^{2}}{2. A C . B C}$

$\Rightarrow \cos C = \frac{5^{2} + 17 - 4^{2}}{2.5. \sqrt{17}}$

$\Rightarrow \cos C = \frac{13 \sqrt{17}}{85} \Rightarrow C \approx 51 ° .$

Vậy BC = $\sqrt{17}$ , B ≈ 76° và C ≈ 51°.

3. Công dụng của định lý Cos

- Tìm cạnh còn thiếu: Khi biết hai cạnh và góc xen giữa chúng, ta có thể tính được cạnh còn lại.

- Tìm góc còn thiếu: Khi biết độ dài ba cạnh của tam giác, ta có thể tính được các góc của tam giác bằng cách biến đổi công thức thành: $\cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}$

4. Bài tập vận dụng

Câu 1. Một tam giác có độ dài ba cạnh lần lượt là: 2, 3, 4. Góc nhỏ nhất của tam giác có côsin bằng bao nhiêu?

A. $\frac{\sqrt{15}}{8};$

B. $\frac{7}{8};$

C. $\frac{1}{2};$

D. $\frac{\sqrt{14}}{8} .$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Góc nhỏ nhất ứng với cạnh đối diện có độ dài nhỏ nhất.

Giả sử tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, BC = 4. Khi đó góc nhỏ nhất là góc C ứng với cạnh đối diện AB.

Áp dụng hệ quả định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

cosC = $\frac{A C^{2} + B C^{2} - A B^{2}}{2. A C . B C} = \frac{3^{2} + 4^{2} - 2^{2}}{2.3.4} = \frac{7}{8} .$

Vậy côsin của góc nhỏ nhất trong tam giác bằng $\frac{7}{8} .$

Câu 2: Cho tam giác ABC có Cách giải bài tập về Định lí Cô-sin trong tam giác (cực hay, chi tiết) . Tính BC.

Hướng dẫn giải:

Cách giải bài tập về Định lí Cô-sin trong tam giác (cực hay, chi tiết)

Cách giải bài tập về Định lí Cô-sin trong tam giác (cực hay, chi tiết)

Câu 3: Cho tam giác ABC có cách cạnh Cách giải bài tập về Định lí Cô-sin trong tam giác (cực hay, chi tiết) . Tính cosA và góc A.

Hướng dẫn giải:

Cách giải bài tập về Định lí Cô-sin trong tam giác (cực hay, chi tiết)

Cách giải bài tập về Định lí Cô-sin trong tam giác (cực hay, chi tiết)

Câu 4: Cho tam giác ABC, có Cách giải bài tập về Định lí Cô-sin trong tam giác (cực hay, chi tiết) . AD là tia phân giác của góc

A. Tính góc BAD

A. 60°

B. 90°

C. 45°

D. 75°

Hướng dẫn giải:

Cách giải bài tập về Định lí Cô-sin trong tam giác (cực hay, chi tiết)

Áp dụng hệ quả định lý Cô-sin trong tam giác ABC, ta có:

Cách giải bài tập về Định lí Cô-sin trong tam giác (cực hay, chi tiết)

Do AD là phân giác của góc Cách giải bài tập về Định lí Cô-sin trong tam giác (cực hay, chi tiết)

Đáp án A

Câu 5: Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 4 và Cách giải bài tập về Định lí Cô-sin trong tam giác (cực hay, chi tiết) Tính BC.

Cách giải bài tập về Định lí Cô-sin trong tam giác (cực hay, chi tiết)

Hướng dẫn giải:

Cách giải bài tập về Định lí Cô-sin trong tam giác (cực hay, chi tiết)

Cách giải bài tập về Định lí Cô-sin trong tam giác (cực hay, chi tiết)

Đáp án D

Câu 6. Cho tam giác ABC có $\hat{C} = 115 °$ , AC = 8, BC = 12. Tính độ dài cạnh AB và các góc A B, của tam giác đó.

Hướng dẫn giải:

Từ định lí cosin, ta có:

AB² = BC² + AC² - 2.BC.AC.cosC

= 12² + 8² - 2.12.8.cos115^o ≈ 289,14.

Vậy AB ≈ $\sqrt{289, 14}$ ≈ 17

Theo hệ quả của định lí côsin, ta có:

cosA = $\frac{A B^{2} + A C^{2} - B C^{2}}{2 . A B . A C} = \frac{17^{2} + 8^{2} - 12^{2}}{2.17.8} \approx 0, 7684$ .

Suy ra $\hat{A} \approx 39 ° 47', \hat{B} \approx 25 ° 13'$ .

1 593 09/10/2025

Trang trước

Trang sau

Xem thêm các chương trình khác: