Biến cố hợp là gì? Ví dụ minh họa về biến cố hợp

Biến cố hợp là gì? Ví dụ minh họa về biến cố hợp

1. Khái niệm biến cố hợp

Cho hai biến cố A và B. Khi đó A, B là các tập con của không gian mẫu Ω. Đặt C = A ∪ B, ta có C là một biến cố và được gọi là biến cố hợp của hai biến cố A và B, kí hiệu là A ∪ B.

Chú ý: Xét một kết quả thuận lợi α cho biến cố C, tức là α ∈ C. Vì C = A ∪ B nên α ∈ A hoặc α ∈ B. Nói cách khác, α là một biến cố thuận lợi cho biến cố A hoặc biến cố B. Điều đó có nghĩa là biến cố A hoặc biến cố B xảy ra. Vì vậy, biến cố C có thể phát biểu dưới dạng mệnh đề nêu sự kiện là “A xảy ra hoặc B xảy ra” hay “Có ít nhất một trong các biến cố A, B, xảy ra”.

2. Ví dụ minh họa về khái niệm biến cố hợp

Ví dụ 1. Trong một hộp kín có 5 viên bi màu hồng và 7 viên bi màu tím, các hòn bi có kích thước và khối lượng giống nhau. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 2 viên bi. Xét các biến cố:

E: “Hai viên bi lấy ra có màu hồng”.

F: “Hai viên bi lấy ra có màu tím”.

Chọn phát biểu đúng trong các phát biểu sau:

a) Biến cố hợp của hai biến cố E và F là: “Hai viên bi lấy ra cùng có màu hồng hoặc màu tím”.

b) Biến cố hợp của hai biến cố E và F là: “Hai viên bi lấy ra có màu khác nhau”.

c) Biến cố hợp của hai biến cố E và F là: “Hai viên bi lấy ra cùng có cùng màu”.

Hướng dẫn giải

Phát biểu đúng là a, c.

Ví dụ 2. Trong túi có 12 tấm thẻ cùng loại được đánh số từ 1 đến 12. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ từ túi. Gọi A là biến cố “Số ghi trên thẻ là số chẵn”; B là biến cố: “Số ghi trên thẻ là hợp số”.

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Nêu nội dung của biến cố M = A ∪ B. Hỏi M là tập con nào của không gian mẫu?

Hướng dẫn giải

a) Không gian mẫu: Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12}.

b) A ∪ B là biến cố: “Số ghi trên tấm thẻ là số chẵn hoặc hợp số”.

Ta có: A = {2; 4; 6; 8; 10; 12}; B = {4; 6; 8; 9; 10; 12}.

Do đó, M = A ∪ B = {2; 4; 6; 8; 9; 10; 12}.

Ví dụ 3. Tổ 2 của lớp 11A có 5 bạn nữ là Lan, Hảo, An, Liên, My và 6 học sinh nam là Long, Minh, Kiên, Quốc, Lâm, Quang. Trong giờ học, giáo viên chọn ngẫu nhiên một học sinh trong tổ đó để kiểm tra bài cũ. Xét các biến cố sau:

M: “Học sinh đó là học sinh nam”.

N: “Học sinh đó có tên bắt đầu là chữ cái L”.

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Nêu nội dung của biến cố I = N ∪ M. Mỗi biến cố N, M, I là tập con nào của không gian mẫu?

Hướng dẫn giải

a) Không gian mẫu:

Ω = {Lan; Hảo; An; Liên; My; Long; Minh; Kiên; Quốc; Lâm; Quang}.

b) N ∪ M là biến cố: “Học sinh đó là học sinh nam hoặc tên bắt đầu là chữ cái L”.

Ta có: M = {Long; Minh; Kiên; Quốc; Lâm; Quang}; N = {Lan; Liên; Long; Lâm}. Do đó, I = N ∪ M = {Long; Lan; Liên; Minh; Kiên; Quốc; Lâm; Quang}.

3. Bài tập về khái niệm biến cố hợp

Bài 1. Một hộp quà có 14 chiếc nơ màu hồng và 20 chiếc nơ màu vàng, các chiếc nơ có kích thước và khối lượng như nhau. Lấy ngẫu nhiên 2 chiếc nơ trong hộp. Xét các biến cố:

A: “Hai chiếc nơ lấy được có cùng màu hồng”.

B: “Hai chiếc nơ lấy được có cùng màu vàng”.

C: “Hai chiếc nơ lấy được có cùng màu”.

D: “Hai chiếc nơ lấy được khác màu”.

Chọn phát biểu đúng trong các phát biểu sau:

a) Biến cố hợp của hai biến cố A và B là biến cố C.

b) Biến cố hợp của hai biến cố A và B là biến cố D.

c) Biến cố hợp của hai biến cố B và C là biến cố C.

d) Biến cố hợp của hai biến cố A và C là biến cố C.

Bài 2. Thực hiện hai lần phi tiêu vào bảng. Gọi M và N lần lượt là biến cố: “Lần phi tiêu thứ nhất thành công” và “Lần phi tiêu thứ hai thành công”. Hãy biểu diễn biến cố “Có ít nhất một trong hai lần ném phi tiêu thành công” theo hai biến cố M và N.

Bài 3. Một chiếc hộp có 18 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số 0, 1, 2, …, 17, hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau.

Xét các biến cố:

M: “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 2”.

N: “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 3”.

Phát biểu biến cố N ∪ M dưới dạng mệnh đề nêu sự kiện.

Bài 4. Hai xạ thủ A, B mỗi người bắn một mũi tên vào mục tiêu. Xét các biến cố P: “Xạ thủ A bắn trúng”, Q: “Xạ thủ B bắn trượt”. Nêu nội dung biến cố P ∪ Q.

Bài 5. Một lớp học có 20 học sinh nữ và 22 học sinh nam. Chọn ra ngẫu nhiên 3 học sinh trong lớp. Gọi A là biến cố “Cả 3 học sinh được chọn đều là nam”, B là biến cố “3 học sinh được chọn có 2 học sinh nữ”.

a) Có bao nhiêu kết quả thuận lợi của biến cố A, của biến cố B?

b) Mô tả biến cố A ∪ B bằng lời, tính số kết quả thuận lợi của biến cố A ∪ B.

Bài 6. Xét phép thử gieo ngẫu nhiên một con xúc xắc đồng chất sáu mặt. Gọi A là biến cố: "Số chấm thu được là số chẵn", B là biến cố: "Số chấm thu được là số không chia hết cho 4". Mô tả biến cố A giao B ta được tập hợp

A. {2; 6};

B. {2; 4; 6};

C. {1; 2; 3; 5; 6};

D. {1; 2; 3}.

Bài 7. Hai xạ thủ bắn cung vào bia. Gọi X₁ và X₂ lần lượt là các biến cố "Xạ thủ thứ nhất bắn trúng bia" và "Xạ thủ thứ hai bắn trúng bia". Cho biến cố B: "Có đúng một trong hai xạ thủ bắn trúng bia". Biểu diễn biến cố B theo hai biến cố X₁ và X₂ ta được

A. B = X₁ ∪ X₂;

B. $B=\overline{X_1}{X}_2 \cap X_1\overline{X_2}$;

C. $B=\overline{X_1}{X}_2 \cup X_1\overline{X_2};$

D. $B=\overline{X_1{X}_2} \cup X_1\overline{X_2}.$

Bài 8. Ba người cùng bắn vào một bia. Gọi các biến cố A₁: “Người thứ nhất bắn trúng bia”, A₂: “Người thứ hai bắn trúng bia” và A₃: “Người thứ ba bắn trúng bia”. Biến cố “có đúng 1 người bắn trùng bia” là

A. A₁A₂A₃;

B. A₁ ∪ A₂ ∪ A₃;

C. $A_1\overline{A_2{A}_3} \cup \overline{A_1}{A}_2\overline{A_3} \cup \overline{ A_1{A}_2}{A}_3;$

D. $(A_1 \cup \overline{A_2} \cup \overline{ A_3})(\overline{A_1} \cup A_2 \cup \overline{A_3})(\overline{A_1} \cup \overline{A_2} \cup A_3)$

Bài 9. Hộp thứ nhất đựng 4 bi xanh được đánh số lần lượt từ 1 đến 4. Hộp thứ hai đựng 3 bi đỏ được đánh số lần lượt từ 1 đến 3. Lấy ra ngẫu nhiên từ mỗi hộp một viên bi. Gọi A là biến cố "Tổng các số ghi trên hai viên bi là 5". B là biến cố "Tích các số ghi trên hai viên bi là số chẵn". Tập hợp mô tả biến cố AB là

A. AB = {(1; 2); (2; 1); (2; 2); (2; 3); (3; 2)};

B. AB = {(1; 2); (2; 1); (2; 2); (2; 3); (3; 2); (4; 1); (4; 2); (4; 3)};

C. AB = {(2; 3); (3; 2); (4; 1)};

D. AB = {(2; 3); (3; 2); (4; 1); (4; 2)}.

Bài 10. Hai xạ thủ bắn cung vào bia. Gọi X₁ và X₂ lần lượt là các biến cố "Xạ thủ thứ nhất bắn trúng bia" và "Xạ thủ thứ hai bắn trúng bia". Cho biến cố A: "Có ít nhất một xạ thủ bắn trúng bia". Biểu diễn biến cố A theo hai biến cố X₁ và X₂ là

A. $A=X_1\overline{X_2} \cup \overline{X_1}{X}_2 \cup X_1{X}_2;$

B. A = X₁ ∩ X₂;

C. $A=X_1\overline{X_2} \cup \overline{X_1}{X}_2;$

D. A = X₁X₂.