Cực trị của hàm số là gì? Cách tìm cực trị của hàm số?

Cực trị của hàm số là gì? Cách tìm cực trị của hàm số?

1. Khái niệm cực trị của hàm số

Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) (a có thể là –∞, b có thể là +∞) và điểm x₀ ∈(a; b).

+ Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(x₀) với mọi x ∈ (x₀ – h; x₀ + h) ⸦ (a; b) và x ≠ x₀ thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại x₀.

+ Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(x₀) với mọi x ∈ (x₀ – h; x₀ + h) ⸦ (a; b) và x ≠ x₀ thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x₀.

Chú ý:

• Nếu hàm số y = f (x) đạt cực đại tại x₀ thì x₀ được gọi là điểm cực đại của hàm số f(x). Khi đó, f(x₀) được gọi là giá trị cực đại của hàm số f(x) và kí hiệu là f_CĐ hay y_CĐ. Điểm M₀(x₀; f(x₀)) được gọi là điểm cực đại của đồ thị hàm số.

• Nếu hàm số y = f (x) đạt cực tiểu tại x₀ thì x₀ được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f(x). Khi đó, f(x₀) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f(x) và kí hiệu là f_CT hay y_CT. Điểm M₀(x₀; f(x₀)) được gọi là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.

• Các điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị) của hàm số.

2. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị

Giả sử hàm số y=f(x) liên tục trên

K=(x₀ - h;x₀ + h)và có đạo hàm trên K hoặc trên K\{x₀}, với h >0.

Nếu f'(x)> 0 trên khoảng (x₀ - h;x₀) và f'(x) <0 trên (x₀;x₀ + h) thì x₀ là một điểm cực đại của hàm số f(x).

Nếu f'(x) < 0 trên khoảng (x₀ - h;x₀) và f'(x) >0 trên (x₀;x₀+ h) thì x₀ là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).

Minh họa bằng bảng biến thiến

Chú ý.

Nếu hàm sốy=f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x₀ thì x₀ được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f(x₀) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là f_CÑ (f_CT), còn điểm M(x₀;f(x₀)) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.

Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.

3. Quy tắc tìm cực trị của hàm số

Quy tắc 1:

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2. Tínhf'(x). Tìm các điểm tại đó f'(x)bằng 0 hoặc f'(x) không xác định.

Bước 3. Lập bảng biến thiên.

Bước 4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

Quy tắc 2:

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2. Tính f'(x). Giải phương trình f'(x)và ký hiệux_i (i=1,2,3,...)là các nghiệm của nó.

Bước 3. Tính f''(x) và f''(x_i ) .

Bước 4. Dựa vào dấu của f''(x_i )suy ra tính chất cực trị của điểm x_i.

4. Ví dụ minh họa về cực trị của hàm số

Ví dụ 1. Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên khoảng (a; b).

Trong các phát biểu sau, có bao nhiêu phát biểu đúng?

+ Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(x₀) với mọi x ∈ (x₀ – h; x₀ + h) ⸦ (a; b) và x ≠ x₀ thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại x₀.

+ Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) = f(x₀) với mọi x ∈ (x₀ – h; x₀ + h) ⸦ (a; b) và x ≠ x₀ thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x₀.

+ Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(x₀) với mọi x ∈ (x₀ – h; x₀ + h) ⸦ (a; b) và x ≠ x₀ thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x₀.

+ Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(x₀) với mọi x ∈ (x₀ – h; x₀ + h) ⸦ (a; b) và x ≠ x₀ thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại x₀.

Hướng dẫn giải

Có hai phát biểu đúng là:

+ Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(x₀) với mọi x ∈ (x₀ – h; x₀ + h) ⸦ (a; b) và x ≠ x₀ thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại x₀.

+ Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(x₀) với mọi x ∈ (x₀ – h; x₀ + h) ⸦ (a; b) và x ≠ x₀ thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x₀.

Ví dụ 2. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như sau:

Hãy tìm các cực trị của hàm số trên.

Hướng dẫn giải

Từ đồ thị hàm số ta thấy:

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 và y_CT = –4.

Hàm số đạt cực đại tại x = 2 và y_CĐ = 0.

Ví dụ 3. Cho hàm số $f\left(x\right)=\sqrt{\left|x\right|}$ . Chứng minh rằng:

a) Hàm số f(x) không có đạo hàm tại x = 0.

b) Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0.

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

Vì: $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\sqrt{x}}{x}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{\sqrt{x}}=+\infty$.

$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{\sqrt{-x}}{x}=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{-1}{\sqrt{-x}}=-\infty$.

Do đó, $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}\ne \underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}$ nên f(x) không có đạo hàm tại x = 0.

b) Ta có hàm số f(x) xác định và liên tục trên $ℝ$ và f(0) = 0.

Vì $f\left(x\right)=\sqrt{\left|x\right|}>f\left(0\right)$ với mọi x ≠ 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 0.

5. Bài tập vận dụng

Bài 1. Tìm cực trị của hàm số y = -x³ + 3x² - 4

Lời giải:

Tập xác định D = R.

Tính y'= -3x² + 6x.

Cho y'= 0⇔-3x² + 6x = 0⇔

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 0,y = -4 và hàm số đạt cực đại tại x = 2,y = 0.

Bài 2. Tìm cực trị của hàm số y = -x³ + 3x³ - 3x + 2

Lời giải:

Tập xác định D = R.

Tính y' = -3x² + 6x-3.

Cho y'= 0 ⇔ -3x²+ 6x-3 = 0 ⇔ x = 1.

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đã cho không có cực trị.

Bài 3. Gọi A,B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = 2x³ - 3x² - 12x + 1. Tìm tọa độ A,B và phương trình đường thẳng qua hai điểm đó.

Lời giải:

Tập xác định D = R.

Tính y' = 6x² - 6x - 12.

Cho y'= 0 ⇔

Bảng biến thiên

Suy ra tọa độ hai điểm cực trị là A(-1;8), B(2;-19).

Vậy phương trình đường thẳng AB là 9x + y + 1 = 0.

Bài 4. Cho hàm số y = x³ - 3x² có đồ thị (C). Tìm các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị (C)và khoảng cách giữa hai điểm cực trị đó.

Lời giải:

Tập xác định D = R.

Tính y'= 3x²-6x.

Cho y'= 0 ⇔

Bảng biến thiên

Vậy tọa độ hai điểm cực trị là A(-1;8),B(2;-19). Khi đó AB =

Bài 5. Tìm cực trị của hàm số y = x⁴/4 - x² + 2

Lời giải:

Tập xác định D = R.

Tính y'= 2x³-2x.

Cho y'= 0 ⇔ 4x³ - 4x = 0 ⇔

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = ±1, y = 3/2 và hàm số đạt cực đại tại x = 0, y = 2.

Bài 6. Tìm cực trị của hàm số y = -x⁴ + 4x² - 5

Lời giải:

Tập xác định D = R.

Tính y'= -4x³ + 8x.

Cho y'= 0 ⇔ -4x³ + 8x = 0⇔

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, y = -5 và hàm số đạt cực đại tại x = ±√2, y = -1.

Bài 7. Tìm cực trị của hàm số y =

Lời giải:

Tập xác định D = R\{-1}.

Tính y' =

Cho y' = 0⇔ x² + 2x - 3 = 0 ⇔

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đạt cực đại tại x = -3, y = -7 và đạt cực tiểu tại x = 1, y = 1.

Bài 8. Tìm cực trị của hàm số y = x - 5 + 1/x

Lời giải:

Tập xác định D = R\{0}.

Tính

Cho y' = 0⇔x² - 1 = 0 ⇔

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đạt cực đại tại x = -1, y = -7 và đạt cực tiểu tại x = 1, y = -3.

6. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tìm số điểm cực trị của hàm số y = ${\left|x\right|}^3-mx+5$?

Bài 2. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f′(x) = x²(x − 1)(x − 4)². Tìm số cực trị của hàm số y = f(x²).

Bài 3. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f ′(x) = (x + 1)(x −1)² (x −2) + 1. Hỏi hàm số g(x) = f(x) − x có bao nhiêu điểm cực trị?

Bài 4. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f′(x). Đồ thị của hàm số y = f′(x) như hình vẽ:

Hỏi đồ thị của hàm số y = f(x) + 3x có bao nhiêu điểm cực trị?

Bài 5. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f′(x). Đồ thị của hàm số y = f′(x) như hình vẽ

Hỏi điểm cực tiểu của hàm số y = 2f(x) + x² là?