Tam giác đồng dạng là gì? Định nghĩa, tính chất và ứng dụng của tam giác đồng dạng

Tam giác đồng dạng là gì? Định nghĩa, tính chất và ứng dụng của tam giác đồng dạng

1. Tam giác đồng dạng là gì?

Hai tam giác được gọi là đồng dạng với nhau nếu chúng có các góc tương ứng bằng nhau và các cạnh tương ứng tỉ lệ.

Tam giác ABC gọi là đồng dạng với tam giác A'B'C' nếu

Kí hiệu: Δ ABC ∼ Δ A'B'C'

Tỉ số cách cạnh tương ứng A'B'/AB = A'C'/AC = B'C'/BC = k được gọi là tỉ số đồng dạng

2. Tính chất của tam giác đồng dạng

Hai tam giác A'B'C' và ABC đồng dạng có một số tính chất:

+ Δ ABC ∼ Δ A'B'C'

+ Nếu Δ ABC ∼ Δ A'B'C' thì Δ A'B'C' ∼ Δ ABC.

+ Nếu Δ A'B'C' ∼ Δ A''B''C'' và Δ A''B''C'' ∼ Δ ABC thì Δ ABC ∼ Δ A'B'C'

Ví dụ: Cho Δ ABC ∼ Δ A'B'C' như hình vẽ. Tính tỉ số đồng dạng ?

Lời giải:

Ta có Δ ABC ∼ Δ A'B'C'. Khi đó tỉ số đồng dạng là

A'B'/AB = A'C'/AC = B'C'/BC = 2/4 = 2,5/5 = 3/6 = 1/2.

3. Định lý

Một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại tạo thành một tam giác đồng dạng với tam giác đã cho.

Tổng quát: Δ ABC,DE//BC ( D ∈ AB; E ∈ AC ).

Ta có: Δ ADE ∼ Δ ABC

Chú ý: Định lí cũng đúng cho trường hợp đường thẳng d cắt phần kéo dài của hai tam giác song song với cạnh còn lại.

4. Các trường hợp chứng minh đồng dạng

Để chứng minh hai tam giác đồng dạng, ta có thể dựa vào một trong ba trường hợp sau:

• Trường hợp Góc – Góc (AA): Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng.

• Trường hợp Cạnh – Góc – Cạnh (SAS): Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc xen giữa bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng.

• Trường hợp Cạnh – Cạnh – Cạnh (SSS): Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng.

• Đo đạc: Giúp xác định các khoảng cách và chiều cao không thể đo trực tiếp, ví dụ như chiều cao của cây hoặc công trình kiến trúc.

• Xây dựng: Được sử dụng trong thiết kế mô hình thu nhỏ, giúp tính toán kích thước và tỉ lệ chính xác.

• Thiên văn học: Giúp ước tính khoảng cách giữa các thiên thể trong vũ trụ.

6. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho Δ A'B'C' ∼ Δ A''B''C'' theo tỉ số đồng dạng k₁, Δ A''B''C'' ∼ Δ ABC theo tỉ số đồng dạng là k₂. Hỏi Δ A''B''C'' ∼ Δ A'B'C' và Δ A'B'C' ∼ Δ ABC đồng dạng theo tỉ số nào?

Lời giải:

Gọi tỉ số đồng dạng của Δ A''B''C'' ∼ Δ A'B'C' là k

Ta có:

Điều đó chứng tỏ Δ A''B''C'' ∼ Δ A'B'C' theo tỉ số đồng dạng là k = 1/k₁

Gọi tỉ số đồng dạng của Δ A'B'C' ∼ Δ ABC là k₃

Thì k₁ = A'B'/A''B'', k₂ = A''B''/AB ⇒ k₃ = A'B'/AB = A'B'/A''B''.A''B''/AB = k₁.k₂

Điều đó chứng tỏ Δ A'B'C' ∼ Δ ABC theo tỉ số đồng dạng là k₃ = k₁k₂

Bài 2: Cho tam giác Δ A'B'C' ∼ Δ ABC theo tỉ số đồng dạng là k = 3/5

a) Tính tỉ số chu vi của hai tam giác đã cho.

b) Cho biết hiệu chu vi của hai tam giác trên là 40dm. Tính chu vi của hai tam giác đã cho

Lời giải:

a) Ta có: Δ A'B'C' ∼ Δ ABC

b) Theo giả thiết ta có: P_ABC - P_A'B'C' = 40dm

Khi đó ta có:

hay P_A'B'C'/40 = 3/2 ⇒ P_A'B'C' = 60( dm ); P_ABC = 20dm.

Bài 3: Nếu Δ RSK ∼ Δ PQM có: RS/PQ = RK/PM = SK/QM thì

A. $\widehat{RSK}$= $\widehat{PQM}$ˆ

B.$\widehat{RSK}$= $\widehat{PQM}$ˆ

C. $\widehat{RSK}$= $\widehat{MPQ}$ˆ

D. $\widehat{RSK}$= $\widehat{QPM}$ˆ

Lời giải:

Ta có Δ RSK ∼ Δ PQM ⇔

Chọn đáp án A.

Bài 4: Chọn câu trả lời đúng?

A. Δ ABC, Δ DEF;AB/DE = AC/DF;Bˆ = Eˆ ⇒ Δ ABC ∼ Δ DEF

B. Δ ABC, Δ DEF;AB/DE = AC/DF;Cˆ = Fˆ ⇒ Δ ABC ∼ Δ DEF

C. Δ ABC, Δ DEF;AB/DE = AC/DF;Aˆ = Dˆ ⇒ Δ ABC ∼ Δ DEF

D. Δ ABC, Δ DEF;AB/DE = AC/DF;Aˆ = Eˆ ⇒ Δ ABC ∼ Δ DEF

Lời giải:

Ta có:

Chọn đáp án C.

Bài 5: Cho hình bên, ABCD là hình thang ( AB//CD ) có AB = 12,5cm; CD = 28,5cm; $\widehat{DAB}=\widehat{DBC}$ˆ. Tính độ dài đoạn BD gần nhất bằng bao nhiêu?

A. 17,5 B. 18

C. 18,5 D. 19

Lời giải:

Xét Δ ABD và Δ BDC có:

⇒ AB/BD = AD/BC = BD/DC

hay 12,5/x = x/28,5 ⇒ x² = 1425/4 ⇔ x ≈ 18,87

Chọn đáp án D.

Bài 6: Cho tam giác ABC có M và N lần lượt là trung điểm của AC và AB. Gọi AD là tia phân giác của góc $\widehat{BAC}=\widehat{DBC}$, tia AD cắt MN tại P. Hỏi tam giác nào đồng dạng với tam giác ANP

A. Δ ABD B. ΔAMP

C. ΔABD D. Δ ACD

Lời giải:

Xét tam giác ABC có M và N lần lượt là trung điểm của AC và AB nên MN là đường trung bình của tam giác ABC

Suy ra: MN // BC

Xét tam giác ABD có MP// BD (vì MN// BC)

Suy ra: Tam giác ANP đồng dạng với tam giác ABD.

Chọn đáp án A

Bài 7: Cho hình bình hành ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm E, gọi F là giao điểm của DE và BC. Tìm khẳng định sai ?

A. Δ DAE đồng dạng Δ FBE

B. Δ DAE đồng dạng ΔFCD

C. Δ DEA đồng dạng ΔFCD

D. Δ FBE đồng dạng ΔFCD

Lời giải:

* Xét tam giác DAE và ΔFBE có:

∠AED = ∠BEF (2 góc đối đỉnh)

∠ADE = ∠EFB (2 góc so le trong )

Suy ra: Δ DAE đồng dạng Δ FBE ( g.g) (1)

* Vì ABCD là hình bình hành nên: BE// CD

Suy ra: Δ FBE đồng dạng ΔFCD ( định lí) (2)

Từ (1) và (2) suy ra Δ DAE đồng dạng ΔFCD ( bắc cầu)

Chọn đáp án C

Bài 8: Cho tam giác ABC có AB = 3cm, AC = 4cm và BC = 5cm. Tam giác MNP vuông tại M có MN = 6cm; NP = 10cm . Tìm khẳng định sai?

A. Tam giác ABC là tam giác nhọn

B. Δ ABC đồng dạng tam giác MNP

C. Tam giác ABC vuông tại A.

D. MP = 8cm

Lời giải:

* Ta có: AB² + AC² = BC² (3² + 4² = 5² = 25 )

Suy ra: tam giác ABC vuông tại A.

* Áp dụng định lí Py ta go vào tam giác MNP ta có:

NP² = MN² + MP²

Suy ra: MP² = NP² – MN² = 10² – 6² = 64

Do đó MP = 8cm.

*Ta có:

Do đó, Δ ABC đồng dạng tam giác MNP (c.c.c)

Chọn đáp án A

Bài 9: Cho tam giác ABC có M, N và P lần lượt là trung điểm của AB ; AC; BC. Tìm khẳng định sai

A. ΔAMN đồng dạng ΔABC ( định lí)

B. ΔCNP đồng dạng ΔCAB ( định lí)

C. ΔAMN đồng dạng ΔNPC

D. Chỉ có đúng 2 cặp tam giác đồng dạng .

Lời giải:

* Xét tam giác ABC có M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC

Suy ra : MN// BC

Tương tự có NP // AB

* Xét Δ AMN và ΔNPC có:

∠MAN = ∠PNC ( hai góc đồng vị )

∠ANM = ∠NCP ( hai góc đồng vị)

Suy ra: Δ AMN đồng dạng ΔNPC (g.g)

* Vì MN// BC nên ΔAMN đồng dạng ΔABC ( định lí)

* Vì NP // AB nên Δ CNP đồng dạng Δ CAB ( định lí)

Chọn đáp án D

Bài 10: Cho tam giác ABC có M là trung điểm của AC. Lấy điểm D đối xứng với B qua M . Khi đó :

A. Tứ giác ABCD là hình thoi

B. AC = BD

C. ΔAMB = ΔCMD theo tỉ số đồng dạng k = 1

D.

Lời giải:

Xét Δ AMB và ΔCMD có:

AM = MC ( vì M là trung điểm của AC)

∠AMB = ∠CMD = 90^o

BM = MD ( vì D đối xứng với B qua M)

Suy ra: Δ AMB = ΔCMD ( c.g.c)

Suy ra: Hai tam giác này cũng đồng dạng với nhau và tỉ số đồng dạng là:

D.

Chọn đáp án C

Bài 11: Cho ΔABC đồng dạng với ΔMNP. Biết AB = 5cm, BC = 6cm, MN = 10cm, MP = 5cm. Hãy chọn câu đúng:

A. NP = 12cm, AC = 2,5cm

B. NP = 2,5cm, AC = 12cm

C. NP = 5cm, AC = 10cm

D. NP = 10cm, AC = 5cm

Lời giải

Đáp án cần chọn là: A

Bài 12: Cho ΔABC đồng dạng với ΔMNP. Biết AB = 2cm, BC = 3cm, MN = 6cm, MP = 6cm. Hãy chọn khẳng định sai:

A. AC = 2cm

B. NP = 9cm

C. ΔMNP cân tại M

D. ΔABC cân tại C

Lời giải

Vậy NP = 9cm, AC = 2cm nên A, B đúng.

Tam giác ABC cân tại A, MNP cân tại M nên C đúng, D sai.

Đáp án cần chọn là: D

Bài 13: Cho ΔABC, lấy 2 điểm D và E lần lượt nằm bên cạnh AB và AC sao cho . Kết luận nào sai?

A. ΔADE ~ ΔABC

B. DE // BC

C.

D. góc ADE = góc ABC

Lời giải

Đáp án cần chọn là: C

Bài 14: Cho ΔABC, trên cạnh AB lấy điểm D khác A, B. Qua D kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC tại E. Chọn kết luận sai?

A. ΔADE ~ ΔABC

B. DE // BC

C.

D. góc ADE = góc ACB

Lời giải

Do DE // BC nên theo định lý Talet đảo ta có nên C đúng.

Xét ΔADE và ΔABC ta có:

  (cmt)

 A chung.

⇒ ΔADE ~ ΔABC (c - g - c) nên A đúng

⇒ ADE = ABC (cặp góc tương ứng) nên D sai.

⇒

Đáp án cần chọn là: D

Bài 15: Cho hình bình hành ABCD, điểm F trên cạnh BC. Tia AF cắt BD và DC lần lượt ở E và G. Chọn khẳng định sai.

A. ΔBFE ~ ΔDAE

B. ΔDEG ~ ΔBEA

C. ΔBFE ~ ΔDEA

D. ΔDGE ~ ΔBAE

Lời giải

Có ABCD là hình bình hành nên: AD // BC, AB // DC

⇒ góc ADE = góc FBE (cặp góc so le trong)

⇒ góc ABE = góc EDG (cặp góc so le trong)

Xét tam giác BFE và tam ggiacs DAE có:

góc ADE = góc FBE (cmt)

góc AED = góc FEB (đối đỉnh)

⇒ ΔBFE ~ ΔDAE (g - g) nên A đúng, C sai.

Xét tam giác DGE và tam giác BAE có:

góc ABE = góc EDG (cmt)

góc AEB = góc GED (đối đỉnh)

⇒ ΔDGE ~ ΔBAE (g - g) hay ΔDEG ~ ΔBEA nên B, D đúng

Đáp án cần chọn là: C

Bài 16: Cho hình bình hành ABCD có I là giao điểm của AC và BD. E là một điểm bất kì thuộc BC, qua E kẻ đường thẳng song song với AB và cắt BD, AC, AD tại G, H, F. Chọn kết luận sai?

A. ΔBGE ~ ΔHGI

B. ΔGHI ~ ΔBAI

C. ΔBGE ~ ΔDGF

D. ΔAHF ~ ΔCHE

Lời giải

Có ABCD là hình bình hành nên: AD // BC, AB // DC

Xét ΔBGE và ΔDGF có:

 ● góc BGE = góc DGF (đối đỉnh)

 ● góc EBG = góc FDG (so le trong)

⇒ ΔBGE ~ ΔDGF (g-g) nên C đúng

Xét ΔAHF và ΔCHE có:

 ● góc AHF = góc CHE (đối đỉnh)

 ● góc HAF = góc HCE (so le trong)

⇒ ΔAHF ~ ΔCHE (g-g) nên D đúng

Lại có GH // AB ⇒ IHG = IAB (đồng vị)

Xét ΔGHI và ΔBAI có

 ● Chung I

 ● góc IHG = góc IAB (cmt)

⇒ ΔGHI ~ ΔBAI (g-g)

Suy ra B đúng

Chỉ có A sai.

Đáp án cần chọn là: A

Bài 17: Tam giác ABC có A = 2B, AC = 16cm, BC = 20cm. Tính độ dài cạnh AB.

A. 18cm

B. 20cm

C. 15cm

D. 9cm

Lời giải

Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD = AB.

Tam giác ABD cân tại A nên góc BAC = B₁ + D = 2D.

Ta lại có góc BAC = 2B₂ nên D = B₂.

Xét ΔCBA và ΔCDB có C chung và D = B₂.

⇒ x = 25 - 16 = 9 (cm)

Vậy AB = 9cm

Đáp án cần chọn là: D

Bài 18: Cho ΔABC cân tại A, có BC = 2a, M là trung điểm BC, lấy D, E thuộc AB, AC sao cho góc DME = góc ABC.

1. Tính BD.CE bằng

A. 2a²

B. 3a

C. a²

D. 4a²

Lời giải

+ Ta có: góc DMC = góc DME + góc EMC

Mặt khác: góc DMC = góc ABC + góc BDM (góc ngoài tam giác)

Mà: góc DME = góc ABC (gt) nên BDM = EMC

+ Ta có: góc ABC = góc ACB (ΔABC cân tại A) và góc BDM = góc EMC (cmt)

⇒ ΔBDM ~ ΔCME (g - g)

⇒ ⇒ BD.CE = CM.BM

Lại có M là trung điểm của BC và BC = 2a ⇒ BM = MC = a

⇒ BD.CE = a² không đổi

Đáp án cần chọn là: C