Công thức nhân xác suất và bài tập vận dụng

Công thức nhân xác suất và bài tập vận dụng

1. Công thức nhân xác suất

Từ định nghĩa của xác suất có điều kiện, ta suy ra:

Nếu P(B) > 0 thì P(A ∩ B) = P(B). P(A | B).

Người ta chứng minh được rằng: Nếu A, B là hai biến cố bất kì thì

P(A ∩ B) = P(A). P(B | A) = P(B) . P(A | B).

Công thức trên được gọi là công thức nhân xác suất.

Nhận xét: Cho hai biến cố A và B với P(B) > 0. Khi đó, ta có: P(A | B) = $\frac{n(A\cap B)}{n\left(B\right)}$ (*).

2. Ví dụ minh họa nhân xác suất

Ví dụ 1. Một thùng có 24 hộp bánh, trong đó có 8 hộp đã quá hạn sử dụng. Lấy liên tiếp 2 hộp trong thùng, trong đó lấy hộp bánh ra lần thứ nhất không được bỏ lại vào thùng. Tính xác suất để cả hai hộp bánh được lấy ra đều đã quá hạn sử dụng.

Hướng dẫn giải

Xét biến cố:

A: “Lần thứ nhất lấy ra hộp bánh quá hạn sử dụng”;

B: “Lần thứ hai lấy ra hộp bánh quá hạn sử dụng”;

C: “Cả hai lần đều lấy ra hộp bánh quá hạn sử dụng”.

Khi đó, xác suất để lần thứ hai lấy ra hộp bánh đã quá hạn sử dụng, biết lần thứ nhất lấy ra hộp bánh quá hạn sử dụng, là xác suất có điều kiện P(B | A) và P(C) = P(B ∩ A).

Ta có: P(A) = $\frac{8}{24}=\frac{1}{3}$; P(B | A) = $\frac{7}{23}$.

Suy ra P(C) = P(B ∩ A) = P(A) . P(B | A) = $\frac{1}{3}.\frac{7}{23}=\frac{7}{69}$.

Vậy xác suất để cả hai hộp bánh được lấy ra đều đã quá hạn sử dụng là $\frac{7}{69}$.

Ví dụ 2. Cho hai biến cố A, B có P(A) = 0,35, P(B) = 0,65, P(A | B) = 0,15.

Tính P(A ∩ B), P(B | A).

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức nhân xác suất, ta có:

P(A ∩ B) = P(B) . P(A | B).

Suy ra P(A ∩ B) = 0,65 . 0,15 = 0,0975.

Ta có: P(B | A) = $\frac{P(A\cap B)}{P\left(A\right)}$ = $\frac{\mathrm{0,0975}}{\mathrm{0,35}}$ = $\frac{39}{140}$.

3. Bài tập tự luyện nhân xác suất

Bài 1. Trong khu phố, tỉ lệ người mắc bệnh tim là 6%, mắc bệnh phổi là 8% và mắc cả hai bệnh là 5%. Chọn ngẫu nhiên một người trong khu phố đó. Tính xác suất để người đó không mắc cả hai bệnh tim và phổi.

Bài 2. Một lớp học có 50 học sinh trong kì thi học sinh giỏi Toán và Văn, trong đó có 20 người giỏi Toán, 25 người giỏi Văn, 10 người giỏi cả Toán lẫn Văn. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh của lớp này. Tính xác suất để học sinh được chọn giỏi Toán hoặc Văn.

Bài 3. Một lô hàng có 10 sản phẩm, trong đó có 7 sản phẩm tốt, 3 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng ra 4 sản phẩm. Tính xác suất để 4 sản phẩm lấy ra có 3 sản phẩm tốt.

Bài 4. Một người có một chùm 9 chìa khóa giống nhau, trong đó chỉ có 2 chìa mở được tủ sắt. Người đó thử ngẫu nhiên từng chìa (chìa thử không đúng được bỏ ra trong lần thử kế tiếp). Tính xác suất để anh ta mở được tủ vào đúng lần thứ ba.

Bài 5. Một cơ quan có 210 người, trong đó có 100 người ở gần cơ quan gồm 60 nữ và 40 nam. Biết rằng số nữ gấp đôi số nam trong cơ quan. Chọn ngẫu nhiên 1 người trong cơ quan để trực đêm. Tính xác suất:

a) Người này là nam;

b) Người được chọn ở gần cơ quan;

c) Người được chọn phải ở gần cơ quan, biết rằng người đó là nam.

Bài 6: Có hai hộp chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất chứa 4 quả cầu xanh, 4 quả cầu đỏ và 4 quả cầu vàng. Hộp thứ hai chứa 5 quả cầu xanh, 5 quả cầu đỏ và 5 quả cầu vàng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp 3 quả cầu. Tính xác suất để lấy được 6 quả cầu đỏ.

Giải:

Xét các biến cố:

A: "Ba quả cầu trong hộp thứ nhất là màu đỏ";

B: "Ba quả cầu trong hộp thứ hai là màu đỏ".

Số phần tử của không gian mẫu Ω và các biến cố A, B lần lượt là:

Xác suất của các biến cố A, B lần lượt là P(A) và P(B):

Do A và B là hai biến cố độc lập nên xác suất để lấy được 6 quả cầu đỏ là:

4. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Ba người cùng bắn vào 1 bia. Xác suất để người thứ nhất, thứ hai, thứ ba bắn trúng đích lần lượt là 0,8; 0,6; 0,5. Xác suất để có đúng 2 người bắn trúng đích bằng:

A.0,24 B.0,96 C.0,46 D.0,92

Lời giải:

Đáp án : C

Gọi X là biến cố: “có đúng 2 người bắn trúng đích”.

Gọi A là biến cố: “người thứ nhất bắn trúng đích

P(A) = 0,8; P(A)=0 ,2

Gọi B là biến cố: “người thứ hai bắn trúng đích

P(B)= 0,6 và P(B)=0,4

Gọi C là biến cố: “người thứ ba bắn trúng đích

P(C)= 0,5; P(C)= 0,5

Ta thấy biến cố A, B, C là 3 biến cố độc lập nhau, theo công thức nhân xác suất ta có:

P(X)=P(A.B.C)+P(A.B.C)+P(A.B.C) = 0,8.0,6.0.5+0,8.0,4.0,5+0,2.0,6.0,5=0,46

Câu 2: Có 10 xạ thủ trong đó có hai xạ thủ I và tám xạ thủ II. Xác suất bắn trúng của I là 0,9 ; xác suất của II là 0,8. Lấy ngẫu nhiên một trong mười xạ thủ, bắn một viên đạn.Tính xác suất để viên đạn bắn ra trúng đích.

A.0,64 B.0,84 C.0,78 D.0,82

Lời giải:

Đáp án : D

Gọi B_i là biến cố “Xạ thủ được chọn lọai i,i=1,2

A là biến cố viên đạn trúng đích.

Câu 3: Một máy có 5 động cơ gồm 3 động cơ bên cánh trái và hai động cơ bên cánh phải. Mỗi động cơ bên cánh phải có xác suất bị hỏng là 0,09, mỗi động cơ bên cánh trái có xác suất bị hỏng là 0,04. Các động cơ hoạt động độc lập với nhau. Máy bay chỉ thực hiện được chuyến bay an toàn nếu có ít nhất hai động cơ làm việc. Xác suất để máy bay thực hiện được chuyến bay an toàn gần với giá trị nào nhất

A.0,9999 B.0,9814 C.0,9909 D.0,9141

Lời giải:

Đáp án : A

Gọi A là biến cố: “Máy bay bay an toàn”.

Khi đó A là biến cố: “Máy bay bay không an toàn”.

Ta có máy bay bay không an toàn khi xảy ra một trong các trường hợp sau

TH 1: Cả 5 động cơ đều bị hỏng

Ta có xác suất để xảy ra trường hợp này là: (0,09)³.(0,04)²

TH 2: Có một động cơ ở cánh phải hoạt động và các động cơ còn lại đều bị hỏng. Xác suất để xảy ra trường hợp này là: 3. (0,09)². 0,91.(0,04)²

TH 3: Có một động cơ bên cánh trái hoạt động, các động cơ còn lại bị hỏng

Xác suất xảy ra trường hợp này là: 2. 0,04. 0,96.(0,09)³

P(A)=(0,09)³.(0,04)²+3.(0,09)².0,91.(0,04)²+2.0,04.0,96.(0,09)³ = 0,925344.10^-4

Vậy P(A) = 1- P(A)= 0,9999074656.

Câu 4: Có 3 chiếc hộp. Hộp A chứa 3 bi đỏ, 5 bi trắng. Hộp B chứa 2 bi đỏ,2 bi vàng. Hộp C chứa 2 bi đỏ, 3 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên một hộp rồi lấy một bi từ hộp đó. Xác suất để được một bi đỏ là:

A.1/8 B.1/6 C.2/15 D.17/40

Lời giải:

Đáp án : D

+ Lấy ngẫu nhiên một hộp

Gọi A là biến cố lấy được hộp A

Gọi B là biến cố lấy được hộp B

Gọi C là biến cố lấy được hộp C

Vậy P(A)=P(B)=P(C)=1/3

+ Gọi D là biến cố “ lấy ngẫu nhiên một hộp, trong hộp đó lại lấy ngẫu nhiên một viên bi và được bi đỏ ” là D=(D∩A)∪(D∩B)∪(D∩C)

Do đó :

Câu 5: Ba cầu thủ sút phạt đến 11m, mỗi người đá một lần với xác suất làm bàn tương ứng là x;y và 0,6 (với x>y). Biết xác suất để ít nhất một trong ba cầu thủ ghi bàn là 0,976 và xác suất để cả ba cầu thủ đều ghi ban là 0,336. Tính xác suất để có đúng hai cầu thủ ghi bàn.

A.0,452 B.0,435 C.0,4525 D.0,4245

Lời giải:

Đáp án : A

Gọi Ai là biến cố “người thứ i ghi bàn” với i=1;2;3.

Ta có các Ai độc lập với nhau và P(A₁)= x; P(A₂)= y; P(A₃)= 0,6 .

Gọi A là biến cố: “ Có ít nhất một trong ba cầu thủ ghi bàn”

Gọi B: “ Cả ba cầu thủ đều ghi bàn”

Gọi C: “Có đúng hai cầu thủ ghi bàn”

Câu 6: Ba người cùng bắn vào 1 bia. Xác suất để người thứ nhất, thứ hai, thứ ba bắn trúng đích lần lượt là 0,8; 0,6; 0,5. Xác suất để có đúng 2 người bắn trúng đích bằng:

A.0,24 B.0,96 C.0,46 D.0,92

Lời giải:

Đáp án : C

Gọi ba người cùng bắn vào 1 bia với xác suất 0,8; 0,6; 0,5 lần lượt là A, B, C.

TH1. A, B bắn trúng, C không bắn trúng nên xác suất là P₁= P_A.P_B.(1- P_C)= 0,24.

TH2. A, C bắn trúng, B không bắn trúng nên xác suất là P₂= P_A.( 1- P_B).P_C= 0,16.

TH3. B, C bắn trúng, A không bắn trúng nên xác suất là P₃= (1- P_A).P_B. P_C = 0,06.

Vậy xác suất cần tính là P= P₁+ P₂+ P₃ = 0,46.

Câu 7: Xác suất bắn trúng mục tiêu của một vận động viên khi bắn một viên đạn là 0,6. Người đó bắn hai viên một cách độc lập. Xác suất để một viên trúng và một viên trượt mục tiêu là:

A.0,24 B.0,45 C.0,4 D.0,48

Lời giải:

Đáp án : D

Xác suất người đó bắn trúng mục tiêu là 0,6. Nên xác suất người đó bắn trượt mục tiêu là: 1- 0,6= 0,4.

Một viên trúng và một viên trượt thì có thể là viên đầu tiên trúng, viên thứ hai trượt hoặc ngược lại.

Do đó xác suất cần tìm là: 0,6.0,4 + 0,4. 0,6 = 0,48

Câu 8: Gieo hai con súc sắc I và II cân đối, đồng chất một cách độc lập. Ta có biến cố A: “Có ít nhất một con súc sắc xuất hiện mặt chấm”. Lúc này giá trị của P(A) là

A.25/36 B.11/36 C.1/36 D.15/36

Lời giải:

Đáp án : B

+ Gọi A_i ( i= 1; 2) là biến cố : “Con súc sắc thứ i ra mặt 6 chấm”

⇒ A₁ và A₂ là hai biến cố độc lập và A= A₁.A₂

P(A₁)= 1/6;P(A₂)= 1/6

⇒ P(A₁)=1- 1/6= 5/6;P(A₂ )=1- 1/6 = 5/6

+ Ta tính P(A). Do A= A₁.A₂ và hai biến cố A₁; A₂ độc lập với nhau nên ta có:

P(A)=P( A₁).P( A₂) = 5/6.5/6 = 25/36

Vậy P(A) = 1- P(A )=1- 25/36= 11/36

Câu 9: Một chiếc ôtô với hai động cơ độc lập đang gặp trục trặc kĩ thuật. Xác suất để động cơ 1 gặp trục trặc là 0,3. Xác suất để động cơ 2 gặp trục trặc là 0,4. Biết rằng xe chỉ không thể chạy được khi cả hai động cơ bị hỏng. Tính xác suất để xe đi được.

A.0,12 B.0,7 C.0,88 D.0,75

Lời giải:

Đáp án : C

+ Gọi A là biến cố “động cơ 1 bị hỏng” ⇒ P(A) = 0,3

+ Gọi B là biến cố “động cơ 2 bị hỏng” ⇒ P(B)= 0,4

Suy ra AB là biến cố “cả hai động cơ bị hỏng” hay “ xe không chạy được nữa”.

+ Do hai động cơ hoạt động độc lập nên A và B là hai biến cố độc lập.

+ Áp dụng quy tắc nhân xác suất ta được xác suất để xe không đi được nữa là

P(AB)= P(A).P(B)= 0,3.0,4= 0 ,12

Vậy xác suất để xe đi được là: 1- 0,12= 0,88

Câu 10: Một xạ thủ bắn bia. Biết rằng xác suất bắn trúng vòng tròn 10 là 0,2; vòng 9 là 0,25 và vòng 8 là 0,15. Nếu trúng vòng k thì được k điểm. Giả sử xạ thủ đó bắn ba phát súng một cách độc lập. Xả thủ đạt loại giỏi nếu anh ta đạt ít nhất 28 điểm. Xác suất để xả thủ này đạt loại giỏi

A.0,0935 B.0,0765 C.0,065 D.0,0875

Lời giải:

Đáp án : A

- Gọi H là biến cố: “Xạ thủ bắn đạt loại giỏi”.

A: “Ba viên trúng vòng ”

B: “Hai viên trúng vòng 10 và một viên trúng vòng 9”

C: “Một viên trúng vòng 10 và hai viên trúng vòng 9”

D: “Hai viên trúng vòng 10 và một viên trúng vòng 8”

Các biến cố A; B; C và D là các biến cố xung khắc từng đôi một và H=A∪B∪C∪D

Suy ra theo quy tắc cộng xác suất ta có:

P(H)= P(A)+ P(B) + P(C)+ P(D)

- Mặt khác:

P(A) = 0,2.0,2. 0,2= 0,008

P(B) = 0,2. 0,2. 0,25+ 0,2.0,25.0,2+ 0,25 . 0,2. 0,2= 0,03

P(C)= 0,2. 0,25. 0,25+ 0,25. 0,2. 0,25+ 0,25.0,25. 0.2 = 0,0375

P(D)= 0,2. 0,2. 0,15 + 0,2. 0,15. 0,2+ 0,15. 0,2. 0,2= 0,018

Do đó P(H) = 0,008+ 0,03+ 0,0375+0,018= 0,0935