Lý thuyết, cách xác định và bài tập các cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn

Cách chứng minh đường tiếp tuyến

A. Phương pháp giải

Để chứng minh đường thẳng d là tia tiếp tuyến của đường tròn (O;R) tại điểm A ta dùng các cách sau đây:

Cách 1: Kẻ OA ⊥ d tại A, chứng minh OA = R.

Cách 2: Đường thẳng d đi qua A ∈ (O ; R) thì ta cần chứng minh OA ⊥ d tại điểm A.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 : Cho ΔABC nội tiếp đường tròn (O), (AB < AC). Trên tia đối của tia BC lấy điểm M sao cho MA² = MB.MC. Chứng minh rằng: MA là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Hướng dẫn giải

Vì MA² = MB.MC ⇒

Xét ΔMAC và ΔMBA có

: góc chung

⇒ ΔMAC ∼ ΔMBA (c.g.c)

⇒ (1)

Kẻ đường kính AD của (O)

Ta có (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB )

Mà (chứng minh trên)

Suy ra (3)

Lại có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

⇒ (4)

Từ (3) và (4) suy ra hay

⇒ OA ⊥ MA

Do A ∈ (O)

⇒ MA là tiếp tuyến của (O).

Ví dụ 2 : Cho đường tròn tâm O đường kính AB. C là một điểm thay đổi trên đường tròn (O). Tiếp tuyến tại C của (O) cắt AB tại D. Đường thẳng qua O và vuông góc với phân giác của , cắt CD tại M. Qua M kẻ đường thẳng d song song với AB. Chứng minh d là tiếp tuyến của (O).

Hướng dẫn giải

Kẻ OH ⊥ d ⇒

Ta có CD là tiếp tuyến của (O) nên OC ⊥ CD tại C ⇒

Gọi E là giao điểm của tia phân giác với OM

Xét tam giác MDO có : DE là phân giác , DE là đường cao

⇒ ΔDOM cân tại D

⇒ (hai góc ở đáy)

Ta lại có : d//AB ⇒ (hai góc so le trong)

⇒

Xét ΔOHM và ΔOCM , có :

OM: cạnh chung

(cmt)

⇒ ΔOHM = Δ OCM (cạnh huyền – góc nhọn)

⇒ OH = OC = R (hai cạnh tương ứng)

⇒ H ∈ (O;R)

Do đó d là tiếp tuyến của (O;R).

Ví dụ 3 : Cho tam giác ABC nhọn. Vẽ đường tròn tâm O đường kính BC, cắt AB,AC lần lượt tại E và F. BF và CE cắt nhau tại I. Gọi M là trung điểm của AI. Chứng minh MF là tiếp tuyến của (O).

Hướng dẫn giải

Ta có : (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

⇒ BF ⊥ AC , CE ⊥ AB

Xét tam giác ABC, có BF ∩ CE = {I}

⇒ I là trực tâm tam giác ABC

Gọi H là giao điểm của AI với BC

⇒ AH ⊥ BC tại H

Xét tam giác AFI vuông tại F, có M là trung điểm của AI

⇒ FM = MA = MI

⇒ ΔFMA cân tại M

⇒ (hai góc ở đáy) (1)

Xét tam giác OFC, có OF = OC

⇒ FOC cân tại O

⇒ (hai góc ở đáy) (2)

Xét tam giác AHC vuông tại H, có: (hai góc phụ nhau)(3)

Từ (1), (2) và (3)

Mà

⇒

⇒ MF ⊥ OF

Vậy MF là tiếp tuyến của (O).

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 chọn lọc, có lời giải chi tiết hay khác:

• Cách chứng minh hai góc hoặc hai đoạn thẳng bằng nhau cực hay, chi tiết
• Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết