Hợp số là gì? Đặc điểm của hợp số. Cách phân tích một số ra thừa số nguyên tố

Hợp số là gì? Đặc điểm của hợp số. Cách phân tích một số ra thừa số nguyên tố

I. Hợp số là gì?

Hợp số là một số tự nhiên lớn hơn 1 và có thể biểu diễn thành tích của hai số tự nhiên khác nhỏ hơn nó. Nói cách khác, hợp số là số chia hết cho các số khác ngoài 1 và chính nó.

Ví dụ:

• 4 là hợp số vì 4 = 2 x 2
• 6 là hợp số vì 6 = 2 x 3
• 9 là hợp số vì 9 = 3 x 3

Lưu ý:

- Nhiều người băn khoăn liệu số 1 có phải là hợp số hay không. Tuy nhiên, cả số 0 và số 1 đều không thuộc nhóm số nguyên tố hay hợp số. Chúng mang những đặc điểm riêng biệt, nằm ngoài quy luật chung của hai nhóm số này.

- Bất kỳ số tự nhiên nào lớn hơn 1 đều sở hữu ít nhất một ước số.

- Số 2 là số nguyên tố nhỏ nhất và đồng thời là số chẵn duy nhất trong dãy số nguyên tố. Do đó, tất cả các số nguyên tố còn lại đều là số lẻ. Tuy nhiên, điều này không đồng nghĩa với việc mọi số lẻ đều là số nguyên tố.

- Để xác định một số tự nhiên lớn hơn 1 có phải là số nguyên tố hay không, ta cần tìm tập hợp các ước số của nó. 2, 5, 11, 17, 23… là những ví dụ điển hình về số nguyên tố. Có vô số các số nguyên tố khác tồn tại.

II. Đặc điểm của hợp số

- Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 không phải là số nguyên tố đều là hợp số.

- Có vô số hợp số.

- Mọi hợp số đều có ít nhất một ước số nguyên tố không vượt quá căn bậc hai của nó.

- Hai hợp số bất kỳ luôn có ít nhất một ước số chung là 1.

- Tích của hai số nguyên tố bất kỳ là một hợp số.

III. Cách phân tích một số ra thừa số nguyên tố

1. Số nguyên tố là gì?

Số nguyên tố được định nghĩa là số tự nhiên có đặc điểm lớn hơn 1 và chỉ có hai ước số là số 1 và chính nó.

2. Tính chất của số nguyên tố

- Số nguyên tố không có hạn.

- Nếu số nguyên tố q chia hết cho số nguyên tố p, thì q bằng p.

- Cho tích a*b*c chia hết cho số nguyên tố p, thì ít nhất một thừa số của a*b*c cũng chia hết cho p.

- Nếu a và b đều cùng không chia hết cho số nguyên tố p, thì tích a*b không chia hết cho p.

- Nếu một số A là hợp số thì A sẽ có ít nhất một ước số nguyên tố không vượt quá căn bậc hai của A.

3. Cách phân tích một số ra thừa số nguyên tố

Phương pháp rẽ nhánh

• Bước 1: Tìm ước số nguyên tố nhỏ nhất của số cần phân tích.

• Bước 2: Viết số đó thành tích của ước số nguyên tố vừa tìm được và một số khác.

• Bước 3: Tiếp tục tìm ước số nguyên tố của số vừa tìm được ở bước 2, lặp lại quá trình cho đến khi tất cả các thừa số đều là số nguyên tố.

• Bước 4: Lấy tích các thừa số nguyên tố để có kết quả cuối cùng.

Ví dụ: Phân tích số 72 ra thừa số nguyên tố bằng phương pháp rẽ nhánh:

• 72 chia hết cho 2, ta có 72 = 2 x 36.
• 36 chia hết cho 2, ta có 36 = 2 x 18.
• 18 chia hết cho 2, ta có 18 = 2 x 9.
• 9 chia hết cho 3, ta có 9 = 3 x 3.

Kết quả: 72 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 (hay 72 = 2³ x 3²).

Phương pháp cột dọc

• Bước 1: Chia số cần phân tích cho ước số nguyên tố nhỏ nhất của nó.

• Bước 2: Tiếp tục chia thương vừa tìm được cho cùng ước số nguyên tố cho đến khi thương bằng 1.

• Bước 3: Ghi chú các số chia ở mỗi bước.

Lưu ý:

• Luôn chia số cho ước số nguyên tố nhỏ nhất.
• Chia cho đến khi thương bằng 1.

Ví dụ: Phân tích số 72 ra thừa số nguyên tố bằng phương pháp cột dọc:

72 | 2

36 | 2

18 | 2

9 | 3

3 | 3

1

Kết quả: 72 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 (hay 72 = 2³ x 3²).

IV. Ứng dụng của hợp số

Phân tích số

• Hợp số là công cụ thiết yếu để phân tích các số ra thừa số nguyên tố, giúp giải quyết nhiều bài toán và ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau.

• Ví dụ: Phân tích số 12 ra thừa số nguyên tố, ta có 12 = 2^2 x 3.

Chia hết

• Hợp số giúp ta xác định các số chia hết cho nhau.

• Ví dụ: Số 15 chia hết cho 3 vì 15 = 3 x 5, và 5 là hợp số.

Giải mã

• Hợp số được sử dụng trong các thuật toán mã hóa và giải mã, đảm bảo an toàn thông tin.

• Ví dụ: Hệ thống RSA sử dụng các số nguyên tố lớn để mã hóa thông tin.

Lý thuyết số

• Hợp số là chủ đề nghiên cứu quan trọng trong lý thuyết số, giúp giải mã các bí ẩn về các số tự nhiên.

• Ví dụ: Bảng nguyên tố được xây dựng dựa trên các số nguyên tố và hợp số.

V. Bài tập về hợp số

Dạng 1: Phân tích số ra thừa số nguyên tố

Ví dụ: Phân tích số 144 ra thừa số nguyên tố.

Lời giải:

144 | 2

72 | 2

36 | 2

18 | 2

9 | 3

3 | 3

1

Kết quả: 144 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 (hay 144 = 2⁴ x 3²).

Dạng 2: Tìm số nguyên tố nhỏ nhất chia hết cho n

Ví dụ: Tìm số nguyên tố nhỏ nhất chia hết cho 20.

Lời giải:

• Liệt kê các số nguyên tố bé hơn hoặc bằng 20: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.

• 20 chia hết cho 2.

Kết quả: Số nguyên tố nhỏ nhất chia hết cho 20 là 2.

Dạng 3: Tìm số ước số của một hợp số

Ví dụ: Tìm số ước số của số 30.

Lời giải:

• Số ước số của một hợp số có dạng n = (a + 1)(b + 1), với a và b là các số mũ trong phân tích thừa số nguyên tố của hợp số đó.

• 30 = 2 * 3 * 5 => a = 1, b = 1, c = 1.

Kết quả: Số ước số của 30 là (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 8

Dạng 4: Chứng minh một số là hợp số

Ví dụ: Chứng minh rằng 123456789 là hợp số.

Lời giải:

• Tìm một ước số khác 1 và chính nó của số cần chứng minh. Số cần chứng minh là hợp số.

• 123456789 chia hết cho 3.

Kết quả: 123456789 là hợp số.

Dạng 5: Giải bài toán ứng dụng liên quan đến hợp số

Ví dụ: Một lớp học có 30 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chia tổ sao cho số học sinh trong mỗi tổ là một hợp số?

Lời giải:

• Liệt kê các hợp số bé hơn hoặc bằng 30: 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 24, 25, 30.

• Có 19 hợp số trong danh sách.

• Mỗi cách chia tổ là một tập hợp con của tập hợp 19 hợp số này.

• Số cách chia tổ là số tập con của tập hợp 19 hợp số.

• Theo công thức số tập con, số cách chia tổ là: 2¹⁹ = 524.288

Kết quả: Có 524.288 cách chia tổ sao cho số học sinh trong mỗi tổ là một hợp số.