Lý thuyết, cách xác định và bài tập các cách viết phương trình đương thẳng
Với tài liệu về các viết phương trình đương thẳng bao gồm: lý thuyết và bài tập cũng như những định nghĩa, tính chất, các dạng bài sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức và học tốt môn Toán hơn.
Viết phương trình đương thẳng
A. Lí thuyết tổng hợp
1. Các vectơ của đường thẳng:
+) Vectơ chỉ phương: Vectơ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng
nếu
# 0 và giá của song song hoặc trùng với
.
+) Vectơ pháp tuyến: Vectơ được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng
nếu
# 0 và vuông góc với vectơ chỉ phương của
.
+) Nhận xét:
- Nếu là một vectơ chỉ phương của đường thẳng
thì k
(k#0) cũng là một vectơ chỉ phương của
.
- Nếu là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng
thì k
(k#0) cũng là một vectơ pháp tuyến của
.
- Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một vectơ chỉ phương hoặc một vectơ pháp tuyến của đường thẳng đó.
- Một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương, vô số vectơ pháp tuyến.
2. Phương trình tổng quát của đường thẳng:
+) Định nghĩa: Phương trình : ax + by + c = 0 (a2 + b2 # 0) là phương trình tổng quát của đường thẳng
nhận
(a; b) làm vectơ pháp tuyến.
+) Các dạng đặc biệt:
: ax + c = 0 , a#0
song song với Oy hoặc trùng với Oy khi a = 1 và c = 0.
: ay + c = 0 , a#0
song song với Ox hoặc trùng với Ox khi a = 1 và c = 0.
: ax + by = 0 , a2 + b2 # 0
đi qua gốc tọa độ O(0; 0)
3. Phương trình tham số của đường thẳng:
+) Định nghĩa: Hệ , a2 + b2 # 0 là phương trình tham số của đường thẳng
đi qua điểm A(x0;y0) và nhận vectơ
(a;b) làm vectơ chỉ phương, với t là tham số.
+) Chú ý:
Với mỗi t R thay vào phương trình tham số ta được một điểm M (x; y)
Một đường thẳng có vô số phương trình tham số.
- Phương trình chính tắc: (a.b#0) là phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M(x0;y0) và nhận
(a;b) làm vectơ chỉ phương.
- Phương trình đoạn chắn: Đường thẳng cắt hai trục Ox và Oy lần lượt tại hai điểm A (a; 0), B (0; b) với a.b#0 có phương trình đoạn chắn là
= 1.
4. Hệ số góc:
Phương trình đường thẳng đi qua điểm M(x0;y0) có hệ số góc k thỏa mãn: y - y0 = k(x-x0)
+ Nếu có vectơ chỉ phương
= (u1;u2) với u1#0 thì hệ số góc của
là k =
+ Nếu có hệ số góc k thì
có vectơ chỉ phương là
= (1;k)
5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng:
+) Xét hai đường thẳng d1: a1x + b1y + c1 = 0 và d2: a2x + b2y + c2 = 0 với a12 + b12 # 0, a22 + b22 #0. Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng đó là nghiệm của hệ phương trình:
(1)
Ta có các trường hợp sau:
TH1: Hệ (1) có duy nhất một nghiệm (x0;y0) d1
d2 tại M(x0;y0)
TH2: Hệ (1) có vô số nghiệm d1 trùng với d2
TH3: Hệ (1) vô nghiệm d1//d2
+) Chú ý: Với a2, b2, c2 #0 ta có:
d1 d2
d1//d2
d1 d2
6. Góc giữa hai đường thẳng:
+ Cho hai đường thẳng d1: a1x + b1y + c1 = 0 có vectơ pháp tuyến và d2: a2x + b2y + c2 = 0 có vectơ pháp tuyến
với a12 + b12 # 0, a22 + b22 #0, góc giữa hai đường thẳng đó được kí hiệu là (d1,d2), (d1,d2) luôn nhỏ hơn hoặc bằng
. Đặt
= (d1,d2) ta có:
cos = |cos
| =
+ Chú ý:
d1d2
a1a2 + b1b2 = 0
Nếu d1 và d2 có phương trình đường thẳng là y = k1x + m1 và y = k2x + m2 thì d1d2
k1k2 = -1
7. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:
Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng có phương trình ax + by + c = 0 và điểm M(x0;y0). Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng
được kí hiệu là d (M,
) và tính bằng công thức:
d (M, ) =
B. Các dạng bài.
Dạng 1: Cách viết các dạng phương trình đường thẳng.
Phương pháp giải:
a) Cách viết phương trình tổng quát của đường thẳng
+ Tìm vectơ pháp tuyến (a; b) của đường thẳng
+ Tìm một điểm M(x0;y0) thuộc
+ Viết phương trình theo công thức: a(x-x0) + b(y-y0) = 0
+ Biến đổi thành dạng ax + by + c = 0
Nếu đường thẳng song song với đường thẳng
: ax + by + c = 0 thì
có phương trình tổng quát ax + by + c’ = 0, c ≠ c’.
Nếu đường thẳng vuông góc với đường thẳng
: ax + by + c = 0 thì có phương trình tổng quát -bx + ay + c’ = 0, c ≠ c’.
b) Cách viết phương trình tham số của đường thẳng
+ Tìm vectơ chỉ phương = (u1;u2) của đường thẳng
+ Tìm một điểm M(x0;y0) thuộc
+ Viết phương trình tham số:
Nếu có hệ số góc k thì
có vectơ chỉ phương
= (1;k)
Nếu có vectơ pháp tuyến
(a;b) thì
có vectơ chỉ phương
= (-b;a) hoặc
= (b;-a) và ngược lại.
c) Cách viết phương trình chính tắc của đường thẳng . (chỉ áp dụng khi có vectơ chỉ phương
= (a;b) với a.b#0)
+ Tìm vectơ chỉ phương = (a;b) (a.b#0) của đường thẳng
+ Tìm một điểm M(x0;y0) thuộc
+ Viết phương trình chính tắc:
d) Cách viết phương trình đoạn chắn của đường thẳng (chỉ áp dụng khi đường thẳng cắt hai trục Ox, Oy)
+ Tìm hai giao điểm của với trục Ox, Oy lần lượt là A(a; 0), B(0; b)
+ Viết phương trình đoạn chắn = 1 (a.b#0).
Ví dụ minh họa:
Bài 1: Cho đường thẳng d cắt trục Ox, Oy tại hai điểm A(0; 5) và B(6; 0). Viết phương trình tổng quát và phương trình đoạn chắn của đường thẳng d.
Lời giải:
Vì A(0; 5) và B(6; 0) thuộc đường thẳng d nên ta có là vectơ chỉ phương của đường thẳng d.
= (6-0;0-5) = (6;-5)
Vectơ pháp tuyến của d là
(5;6)
Chọn điểm A(0; 5) thuộc đường thẳng d, ta có phương trình tổng quát của đường thẳng d:
5.(x – 0) + 6.(y – 5) = 0
5x + 6y – 30 = 0
Vì đường thẳng d cắt trục Ox, Oy lần lượt tại hai điểm A(0; 5) và B(6; 0) nên ta có phương trình đoạn chắn: = 1.
Bài 2: Cho đường thẳng d đi qua hai điểm M(5; 8) và N(3; 1). Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng d.
Lời giải:
Vì M(5; 8) và N(3; 1) thuộc đường thẳng d nên ta có là vectơ chỉ phương của đường thẳng d, có
= (3 – 5; 1 – 8) = (-2; -7)
Chọn điểm N(3; 1) thuộc đường thẳng d ta có phương trình tham số của đường thẳng d:
Chọn điểm M(5; 8) thuộc đường thẳng d ta có phương trình chính tắc của đường thẳng d:
Dạng 2: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng.
Phương pháp giải:
Áp dụng lí thuyết về vị trí tương đối giữa hai đường thẳng: d1: a1x + b1y + c1 = 0 và d2: a2x + b2y + c2 = 0 với a12 + b12 # 0, a22 + b22 #0.
Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng đó là nghiệm của hệ phương trình:
(1)
Với a2, b2, c2 #0 ta có:
d1 d2
d1//d2
d1 d2
Xem thêm phương pháp giải các dạng bài tập Toán lớp 10 hay, chi tiết khác:
Xem thêm các chương trình khác:
- Các dạng bài tập Tiếng Anh thông dụng nhất
- 3000 câu hỏi ôn tập môn Tiếng Anh có đáp án
- Toàn bộ kiến thức về cụm động từ | Định nghĩa và cách dùng
- 500 đoạn văn Tiếng Anh thông dụng nhất và cách làm
- 1000 câu hỏi ôn tập môn Công nghệ có đáp án
- 1000 câu hỏi ôn tập Giáo dục công dân
- 3000 câu hỏi ôn tập môn Vật lí có đáp án
- Tổng hợp Dạng bài - Công thức môn Vật lí
- Phương trình hóa học | Tổng hợp PTHH của các chất hữu cơ, vô cơ chính xác nhất
- Đồng phân & Công thức cấu tạo của các chất hữu cơ
- Nhận biết các chất Hóa học
- Cấu hình electron
- So sánh bán kính nguyên tử và bán kính ion
- 1000 câu hỏi ôn tập môn Hóa có đáp án
- Wiki các chất hóa học | Định nghĩa, tính chất, nhận biết, điều chế, ứng dụng
- Cách đọc danh pháp hóa học (chương trình mới) đầy đủ nhất
- Công thức Lewis của một số chất thường gặp (chương trình mới)
- Công thức electron của một số chất thường gặp (chương trình mới)
- Công thức cấu tạo của một số chất thường gặp (chương trình mới)
- Công thức hợp chất khí với hidro của các nguyên tố (phổ biến) | Cách viết công thức hợp chất khí với hidro
- Công thức hidroxit cao nhất của các nguyên tố (phổ biến) | Cách viết công thức hidroxit cao nhất
- Công thức oxit cao nhất của các nguyên tố (phổ biến) | Cách viết công thức oxit cao nhất
- 2000 câu hỏi ôn tập môn Tin học có đáp án
- 3000 câu hỏi ôn tập môn Lịch sử có đáp án
- 3000 câu hỏi ôn tập môn Địa lí có đáp án
- 2000 câu hỏi ôn tập môn Sinh học có đáp án
- Tổng hợp Dạng bài - Công thức môn Sinh học
- Tổng hợp về các tác giả văn học
- 3000 câu hỏi ôn tập môn Ngữ văn có đáp án
- Tổng hợp kiến thức Ngữ Văn
- Trò chơi Powerpoint | Game Powerpoint
- Tổng hợp bài thu hoạch BDTX Giáo viên mầm non (2024) theo Thông tư 12
- Tổng hợp bài thu hoạch BDTX Giáo viên tiểu học (2024)
- Tổng hợp bài thu hoạch BDTX Giáo viên THCS (2024)
- Tổng hợp bài thu hoạch BDTX Giáo viên THPT (2024)