Lý thuyết, cách xác định và bài tập các cách viết phương trình đương thẳng

Viết phương trình đương thẳng

A. Lí thuyết tổng hợp

1. Các vectơ của đường thẳng:

+) Vectơ chỉ phương: Vectơ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng nếu # 0 và giá của song song hoặc trùng với .

+) Vectơ pháp tuyến: Vectơ được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng nếu # 0 và vuông góc với vectơ chỉ phương của .

+) Nhận xét:

- Nếu là một vectơ chỉ phương của đường thẳng thì k (k#0) cũng là một vectơ chỉ phương của .

- Nếu là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng thì k (k#0) cũng là một vectơ pháp tuyến của .

- Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một vectơ chỉ phương hoặc một vectơ pháp tuyến của đường thẳng đó.

- Một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương, vô số vectơ pháp tuyến.

2. Phương trình tổng quát của đường thẳng:

+) Định nghĩa: Phương trình : ax + by + c = 0 (a² + b² # 0) là phương trình tổng quát của đường thẳng nhận (a; b) làm vectơ pháp tuyến.

+) Các dạng đặc biệt:

: ax + c = 0 , a#0 song song với Oy hoặc trùng với Oy khi a = 1 và c = 0.

: ay + c = 0 , a#0 song song với Ox hoặc trùng với Ox khi a = 1 và c = 0.

: ax + by = 0 , a² + b² # 0 đi qua gốc tọa độ O(0; 0)

3. Phương trình tham số của đường thẳng:

+) Định nghĩa: Hệ , a² + b² # 0 là phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A(x₀;y₀) và nhận vectơ (a;b) làm vectơ chỉ phương, với t là tham số.

+) Chú ý:

Với mỗi t R thay vào phương trình tham số ta được một điểm M (x; y)

Một đường thẳng có vô số phương trình tham số.

- Phương trình chính tắc: (a.b#0) là phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M(x₀;y₀) và nhận (a;b) làm vectơ chỉ phương.

- Phương trình đoạn chắn: Đường thẳng cắt hai trục Ox và Oy lần lượt tại hai điểm A (a; 0), B (0; b) với a.b#0 có phương trình đoạn chắn là = 1.

4. Hệ số góc:

Phương trình đường thẳng đi qua điểm M(x₀;y₀) có hệ số góc k thỏa mãn: y - y₀ = k(x-x₀)

+ Nếu có vectơ chỉ phương = (u₁;u₂) với u₁#0 thì hệ số góc của là k =

+ Nếu có hệ số góc k thì có vectơ chỉ phương là = (1;k)

5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng:

+) Xét hai đường thẳng d₁: a₁x + b₁y + c₁ = 0 và d₂: a₂x + b₂y + c₂ = 0 với a₁² + b₁² # 0, a₂² + b₂² #0. Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng đó là nghiệm của hệ phương trình:

(1)

Ta có các trường hợp sau:

TH1: Hệ (1) có duy nhất một nghiệm (x₀;y₀) d₁d₂ tại M(x₀;y₀)

TH2: Hệ (1) có vô số nghiệm d₁ trùng với d₂

TH3: Hệ (1) vô nghiệm d₁//d₂

+) Chú ý: Với a₂, b₂, c₂ #0 ta có:

d₁ d₂

d₁//d₂

d₁ d₂

6. Góc giữa hai đường thẳng:

+ Cho hai đường thẳng d₁: a₁x + b₁y + c₁ = 0 có vectơ pháp tuyến và d₂: a₂x + b₂y + c₂ = 0 có vectơ pháp tuyến với a₁² + b₁² # 0, a₂² + b₂² #0, góc giữa hai đường thẳng đó được kí hiệu là (d₁,d₂), (d₁,d₂) luôn nhỏ hơn hoặc bằng . Đặt = (d₁,d₂) ta có:

cos = |cos| =

+ Chú ý:

d₁d₂ a₁a₂ + b₁b₂ = 0

Nếu d₁ và d₂ có phương trình đường thẳng là y = k₁x + m₁ và y = k₂x + m₂ thì d₁d₂ k₁k₂ = -1

7. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:

Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng có phương trình ax + by + c = 0 và điểm M(x₀;y₀). Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng được kí hiệu là d (M, ) và tính bằng công thức:

d (M, ) =

B. Các dạng bài.

Dạng 1: Cách viết các dạng phương trình đường thẳng.

Phương pháp giải:

a) Cách viết phương trình tổng quát của đường thẳng

+ Tìm vectơ pháp tuyến (a; b) của đường thẳng

+ Tìm một điểm M(x₀;y₀) thuộc

+ Viết phương trình theo công thức: a(x-x₀) + b(y-y₀) = 0

+ Biến đổi thành dạng ax + by + c = 0

Nếu đường thẳng song song với đường thẳng : ax + by + c = 0 thì có phương trình tổng quát ax + by + c’ = 0, c ≠ c’.

Nếu đường thẳng vuông góc với đường thẳng : ax + by + c = 0 thì có phương trình tổng quát -bx + ay + c’ = 0, c ≠ c’.

b) Cách viết phương trình tham số của đường thẳng

+ Tìm vectơ chỉ phương = (u₁;u₂) của đường thẳng

+ Tìm một điểm M(x₀;y₀) thuộc

+ Viết phương trình tham số:

Nếu có hệ số góc k thì có vectơ chỉ phương = (1;k)

Nếu có vectơ pháp tuyến (a;b) thì có vectơ chỉ phương = (-b;a) hoặc = (b;-a) và ngược lại.

c) Cách viết phương trình chính tắc của đường thẳng . (chỉ áp dụng khi có vectơ chỉ phương = (a;b) với a.b#0)

+ Tìm vectơ chỉ phương = (a;b) (a.b#0) của đường thẳng

+ Tìm một điểm M(x₀;y₀) thuộc

+ Viết phương trình chính tắc:

d) Cách viết phương trình đoạn chắn của đường thẳng (chỉ áp dụng khi đường thẳng cắt hai trục Ox, Oy)

+ Tìm hai giao điểm của với trục Ox, Oy lần lượt là A(a; 0), B(0; b)

+ Viết phương trình đoạn chắn = 1 (a.b#0).

Ví dụ minh họa:

Bài 1: Cho đường thẳng d cắt trục Ox, Oy tại hai điểm A(0; 5) và B(6; 0). Viết phương trình tổng quát và phương trình đoạn chắn của đường thẳng d.

Lời giải:

Vì A(0; 5) và B(6; 0) thuộc đường thẳng d nên ta có là vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

= (6-0;0-5) = (6;-5)

Vectơ pháp tuyến của d là (5;6)

Chọn điểm A(0; 5) thuộc đường thẳng d, ta có phương trình tổng quát của đường thẳng d:

5.(x – 0) + 6.(y – 5) = 0

5x + 6y – 30 = 0

Vì đường thẳng d cắt trục Ox, Oy lần lượt tại hai điểm A(0; 5) và B(6; 0) nên ta có phương trình đoạn chắn: = 1.

Bài 2: Cho đường thẳng d đi qua hai điểm M(5; 8) và N(3; 1). Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng d.

Lời giải:

Vì M(5; 8) và N(3; 1) thuộc đường thẳng d nên ta có là vectơ chỉ phương của đường thẳng d, có = (3 – 5; 1 – 8) = (-2; -7)

Chọn điểm N(3; 1) thuộc đường thẳng d ta có phương trình tham số của đường thẳng d:

Chọn điểm M(5; 8) thuộc đường thẳng d ta có phương trình chính tắc của đường thẳng d:

Dạng 2: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng.

Phương pháp giải:

Áp dụng lí thuyết về vị trí tương đối giữa hai đường thẳng: d₁: a₁x + b₁y + c₁ = 0 và d₂: a₂x + b₂y + c₂ = 0 với a₁² + b₁² # 0, a₂² + b₂² #0.

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng đó là nghiệm của hệ phương trình:

(1)

Với a₂, b₂, c₂ #0 ta có:

d₁ d₂

d₁//d₂

d₁ d₂

Xem thêm phương pháp giải các dạng bài tập Toán lớp 10 hay, chi tiết khác:

• Phương trình đường tròn và cách giải bài tập
• Phương trình đường elip và cách giải bài tập