Nội dung bài viết

    Xem thêm

    Lý thuyết, cách xác định và bài tập các cách giải phương trình bậc hai

    Với tài liệu về các cách giải phương trình bậc hai bao gồm: lý thuyết và bài tập cũng như những định nghĩa, tính chất, các dạng bài sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức và học tốt môn Toán hơn.

    1 757 24/10/2025
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Cách giải phương trình bậc hai

    I. Phương pháp giải

    1) Định nghĩa

    – Bất phương trình bậc hai ẩn x là bất phương trình có dạng:

    ax2 + bx + c > 0, ax2 + bx + c ≥ 0, ax2 + bx + c < 0, ax2 + bx + c ≤ 0,

    trong đó a, b, c là những số thực đã cho và a ≠ 0.

    – Số thực x0 gọi là một nghiệm của bất phương trình bậc hai ax2 + bx + c > 0, nếu ax02 + bx0 + c > 0.

    Tập hợp gồm tất cả các nghiệm của bất phương trình bậc hai ax2 + bx + c > 0 gọi là tập nghiệm của bất phương trình này.

    – Giải bất phương trình bậc hai f(x) = ax2 + bx + c > 0 là tìm tập nghiệm của nó.

    2) Phương pháp giải bất phương trình bậc hai

    Bước 1. Xét dấu tam thức f(x) = ax2 + bx + c.

    Bước 2. Tìm các khoảng mà tam thức f(x) = ax2 + bx + c có dấu phù hợp với yêu cầu và kết luận.

    II. Ví dụ minh họa

    Ví dụ 1. Giải các bất phương trình sau:

    a) –3x2 + 2x + 1 < 0.

    b) x2 + x – 12 ≤ 0.

    Hướng dẫn giải:

    a) Xét f(x) = –3x2 + 2x + 1

    f(x) = –3x2 + 2x + 1 = 0 ⇔ x = 1 hoặc x=−13.

    Bảng xét dấu:

    Giải bất phương trình bậc hai (cách giải + bài tập)

    Từ bảng xét dấu, ta có tập nghiệm của bất phương trình f(x) < 0 là

    S=−∞ ;− 13∪1 ; +∞.

    b) Xét f(x) = x2 + x – 12

    f(x) = x2 + x – 12 = 0 ⇔ x = 3 hoặc x = –4.

    Bảng xét dấu:

    Giải bất phương trình bậc hai (cách giải + bài tập)

    Từ bảng xét dấu, ta có tập nghiệm của bất phương trình f(x) ≤ 0 là S = [–4; 3].

    Ví dụ 2. Giải các bất phương trình sau:

    a) (1 – 2x)(x2 – x – 1) > 0.

    b) x2−1x2−3−3x2+2x+8>0.

    c) x2+10≤2x2+1x2−8.

    Hướng dẫn giải:

    a) Ta có: (1 – 2x)(x2 – x – 1) = 0

    ⇔1–2x=0x2–x–1=0⇔x=12x=1±52

    Bảng xét dấu:

    Giải bất phương trình bậc hai (cách giải + bài tập)

    Dựa vào bảng xét dấu, ta có tập nghiệm của bất phương trình là

    S=–∞; 1–52∩12 ; 1+52.

    b) x2−1x2−3−3x2+2x+8>0

    Ta có:

    x2 – 1 = 0 ⇔ x = ±1

    x2 – 3 = 0 ⇔ x = ±3

    –3x2 + 2x + 8 = 0 ⇔ x = 2 hoặc x=−43.

    Bảng xét dấu:

    Giải bất phương trình bậc hai (cách giải + bài tập)

    Dựa vào bảng xét dấu, ta có tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S=−3 ; −43∪−1 ; 1∪ 3 ; 2.

    c) Bất phương trình x2+10≤2x2+1x2−8 tương đương với

    2x2+1x2−8−x2+10≥0

    ⇔2x2+1−x2−8x2+10x2−8≥0

    ⇔81−x4x2−8≥0

    ⇔9−x29+x2x2−8≥0

    ⇔9−x2x2−8≥0 (vì x2 + 9 ≥ 0 với mọi x)

    Ta có 9 – x2 = 0 ⇔ x = ±3

    x2 – 8 = 0 ⇔ x = ±22

    Bảng xét dấu:

    Giải bất phương trình bậc hai (cách giải + bài tập)

    Dựa vào bảng xét dấu, ta có tập nghiệm của bất phương trình là S=−3 ; −22∪22 ; 3.

    III. Bài tập tự luyện

    Bài 1. Tập nghiệm của bất phương trình: 2x2 – 7x – 15 ≥ 0 là

    A. –∞;–32∪5;+∞;

    B. –32;5

    C. –∞;–5∪32;+∞

    D. –5;32

    Bài 2. Tập nghiệm của bất phương trình –x2 + 6x + 7 ≥ 0 là

    A. (–∞; –1] ∪ [7; +∞);

    B. [–1; 7];

    C. (–∞; –7] ∪ [1; +∞);

    D. [–7; 1].

    Bài 3. Tập nghiệm của bất phương trình –2x2 + 3x – 7 ≥ 0 là

    A. S = 0;

    B. S = {0};

    C. S = Ø;

    D. S = ℝ.

    Bài 4. Tập nghiệm của bất phương trình x2 – 3x + 2 < 0 là

    A. (–∞; 1) ∪ (2; +∞);

    B. (2; +∞);

    C. (1; 2);

    D. (–∞; 1).

    Bài 5. Số thực x dương lớn nhất thỏa mãn x2 – x – 12 ≤ 0 là

    A. 1;

    B. 2;

    C. 3;

    D. 4.

    Bài 6. Bất phương trình nào sau đây có tập nghiệm là ℝ?

    A. –3x2 + x – 1 ≥ 0;

    B. –3x2 + x – 1 > 0;

    C. –3x2 + x – 1 < 0;

    D. –3x2 + x – 1 ≤ 0.

    Bài 7. Cho bất phương trình x2 – 8x + 7 ≥ 0. Trong các tập hợp sau đây, tập nào có chứa phần tử không phải là nghiệm của bất phương trình?

    A. (–∞; 0];

    B. [8; +∞);

    C. (–∞; 1);

    D. [6; +∞).

    Bài 8. Tập nghiệm của bất phương trình x(x + 5) ≤ 2(x2 + 2) là

    A. (–∞; 1];

    B. [1; 4];

    C. (–∞; 1] ∪ [4; +∞);

    D. [4; +∞).

    Bài 9. Tập nghiệm S của bất phương trình x–74x2–19x+12>0 là

    A. S=–∞;34∪4;7;

    B. S=34;4∪7;+ ∞;

    C. S=34;4∪4;+ ∞;

    D. S=34;7∪7;+ ∞.

    Bài 10. Có bao nhiêu giá trị nguyên của x thỏa mãn bất phương trình x4–x2x2+5x+6≤0?

    A. 0;

    B. 2;

    C. 1;

    D. 3.

    Xem thêm các dạng bài tập Toán 10 hay, chi tiết khác:

    Tham khảo các loạt bài Toán khác:

    Bài viết cùng lớp mới nhất

    Xem thêm
    1 757 24/10/2025
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Xem thêm các chương trình khác: