Lý thuyết, cách xác định và bài tập các cách giải phương trình bậc hai

Cách giải phương trình bậc hai

1. Phương pháp giải

a) Định nghĩa:

– Bất phương trình bậc hai ẩn x là bất phương trình có dạng:

ax² + bx + c > 0, ax² + bx + c ≥ 0, ax² + bx + c < 0, ax² + bx + c ≤ 0,

trong đó a, b, c là những số thực đã cho và a ≠ 0.

– Số thực x₀ gọi là một nghiệm của bất phương trình bậc hai ax² + bx + c > 0, nếu ax₀² + bx₀ + c > 0.

Tập hợp gồm tất cả các nghiệm của bất phương trình bậc hai ax² + bx + c > 0 gọi là tập nghiệm của bất phương trình này.

– Giải bất phương trình bậc hai f(x) = ax² + bx + c > 0 là tìm tập nghiệm của nó.

b) Phương pháp giải bất phương trình bậc hai:

Bước 1. Xét dấu tam thức f(x) = ax² + bx + c.

Bước 2. Tìm các khoảng mà tam thức f(x) = ax² + bx + c có dấu phù hợp với yêu cầu và kết luận.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Giải các bất phương trình sau:

a) –3x² + 2x + 1 < 0.

b) x² + x – 12 ≤ 0.

Hướng dẫn giải:

a) Xét f(x) = –3x² + 2x + 1

f(x) = –3x² + 2x + 1 = 0 ⇔ x = 1 hoặc $x=-\frac{1}{3}.$

Bảng xét dấu:

Từ bảng xét dấu, ta có tập nghiệm của bất phương trình f(x) < 0 là

$S=\left(-\infty ;-\frac{1}{3}\right)\cup \left(1;+\infty \right).$

b) Xét f(x) = x² + x – 12

f(x) = x² + x – 12 = 0 ⇔ x = 3 hoặc x = –4.

Bảng xét dấu:

Từ bảng xét dấu, ta có tập nghiệm của bất phương trình f(x) ≤ 0 là S = [–4; 3].

Ví dụ 2. Giải các bất phương trình sau:

a) (1 – 2x)(x² – x – 1) > 0.

b) $\frac{x^2-1}{\left(x^2-3\right)\left(-3x^2+2x+8\right)}>0.$

c) $x^2+10\le \frac{2x^2+1}{x^2-8}.$

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: (1 – 2x)(x² – x – 1) = 0

$\iff \left[\begin{array}{l}1–2x=0\\ x^2–x–1=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}\\ x=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}\end{array}\right.$

Bảng xét dấu:

Dựa vào bảng xét dấu, ta có tập nghiệm của bất phương trình là

$S=\left(–\infty ;\frac{1–\sqrt{5}}{2}\right)\cap \left(\frac{1}{2};\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right).$

b) $\frac{x^2-1}{\left(x^2-3\right)\left(-3x^2+2x+8\right)}>0$

Ta có:

x² – 1 = 0 ⇔ x = ±1

x² – 3 = 0 ⇔ x = ±$\sqrt{3}$

–3x² + 2x + 8 = 0 ⇔ x = 2 hoặc $x=-\frac{4}{3}.$

Bảng xét dấu:

Dựa vào bảng xét dấu, ta có tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $S=\left(-\sqrt{3};-\frac{4}{3}\right)\cup \left(-1;1\right)\cup \left(\sqrt{3};2\right).$

c) Bất phương trình $x^2+10\le \frac{2x^2+1}{x^2-8}$ tương đương với

$\frac{2x^2+1}{x^2-8}-\left(x^2+10\right)\ge 0$

$\iff \frac{2x^2+1-\left(x^2-8\right)\left(x^2+10\right)}{x^2-8}\ge 0$

$\iff \frac{81-x^4}{x^2-8}\ge 0$

$\iff \frac{\left(9-x^2\right)\left(9+x^2\right)}{\left(x^2-8\right)}\ge 0$

$\iff \frac{9-x^2}{x^2-8}\ge 0$ (vì x² + 9 ≥ 0 với mọi x)

Ta có 9 – x² = 0 ⇔ x = ±3

x² – 8 = 0 ⇔ x = ±$2\sqrt{2}$

Bảng xét dấu:

Dựa vào bảng xét dấu, ta có tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left[-3;-2\sqrt{2}\right)\cup \left(2\sqrt{2};3\right].$

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tập nghiệm của bất phương trình: 2x² – 7x – 15 ≥ 0 là

A. $\left(–\infty ;–\frac{3}{2}\right]\cup \left[5;+\infty \right);$

B. $\left[–\frac{3}{2};5\right]$

C. $\left(–\infty ;–5\right]\cup \left[\frac{3}{2};+\infty \right)$

D. $\left[–5;\frac{3}{2}\right]$

Bài 2. Tập nghiệm của bất phương trình –x² + 6x + 7 ≥ 0 là

A. (–∞; –1] ∪ [7; +∞);

B. [–1; 7];

C. (–∞; –7] ∪ [1; +∞);

D. [–7; 1].

Bài 3. Tập nghiệm của bất phương trình –2x² + 3x – 7 ≥ 0 là

A. S = 0;

B. S = {0};

C. S = Ø;

D. S = ℝ.

Bài 4. Tập nghiệm của bất phương trình x² – 3x + 2 < 0 là

A. (–∞; 1) ∪ (2; +∞);

B. (2; +∞);

C. (1; 2);

D. (–∞; 1).

Bài 5. Số thực x dương lớn nhất thỏa mãn x² – x – 12 ≤ 0 là

A. 1;

B. 2;

C. 3;

D. 4.

Bài 6. Bất phương trình nào sau đây có tập nghiệm là ℝ?

A. –3x² + x – 1 ≥ 0;

B. –3x² + x – 1 > 0;

C. –3x² + x – 1 < 0;

D. –3x² + x – 1 ≤ 0.

Bài 7. Cho bất phương trình x² – 8x + 7 ≥ 0. Trong các tập hợp sau đây, tập nào có chứa phần tử không phải là nghiệm của bất phương trình?

A. (–∞; 0];

B. [8; +∞);

C. (–∞; 1);

D. [6; +∞).

Bài 8. Tập nghiệm của bất phương trình x(x + 5) ≤ 2(x² + 2) là

A. (–∞; 1];

B. [1; 4];

C. (–∞; 1] ∪ [4; +∞);

D. [4; +∞).

Bài 9. Tập nghiệm S của bất phương trình $\frac{x–7}{4x^2–19x+12}>0$ là

A. $S=\left(–\infty ;\frac{3}{4}\right)\cup \left(4;7\right);$

B. $S=\left(\frac{3}{4};4\right)\cup \left(7;+\infty \right);$

C. $S=\left(\frac{3}{4};4\right)\cup \left(4;+\infty \right);$

D. $S=\left(\frac{3}{4};7\right)\cup \left(7;+\infty \right).$

Bài 10. Có bao nhiêu giá trị nguyên của x thỏa mãn bất phương trình $\frac{x^4–x^2}{x^2+5x+6}\le 0?$

A. 0;

B. 2;

C. 1;

D. 3.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 10 hay, chi tiết khác:

• Bài toán chứa tham số liên quan đến dấu của tam thức bậc hai

• Ứng dụng tam thức bậc hai, bất phương trình bậc hai trong chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất