Nội dung bài viết

    Xem thêm

    Giải bất phương trình bằng cách đặt ẩn phụ

    Với tài liệu về Giải bất phương trình bằng cách đặt ẩn phụ bao gồm: lý thuyết và bài tập cũng như những định nghĩa, tính chất, các dạng bài sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức và học tốt môn Toán hơn.

    1 588 24/12/2023
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Giải bất phương trình bằng cách đặt ẩn phụ

    I. Lý thuyết

    1. Đặt một ẩn phụ
    Tìm mối liên hệ giữa các biến để đặt ẩn phụ thích hợp. Một số dạng cơ bản thường gặp:
    Tài liệu VietJack

    Xin nhắc lại,hầu hết các đề bài sẽ không cho ngay mối quan hệ để nhìn thấy cách đặt ẩn phụ ngay do đó ta cần biết phán đoán hướng đi của bài toán dựa trên cơ sở phân tích hợp lý

    2. Đặt hai ẩn phụ

    Giải bất phương trình bằng cách đặt ẩn phụ (ảnh 1)

    3. Đặt ẩn phụ không hoàn toàn

    Đặt ẩn số phụ không hoàn toàn là một hình thức phân tích thành nhân tử. Khi đặt ẩn phụ t thì biến x vẫn tồn tại và ta xem x là tham số. Thông thường thì đó là phương trình bậc hai theo t (tham số x) và giải bằng cách lập Δ.

    II. Ví dụ

    Ví dụ 1: Giải bất phương trình: \left( x-1 \right)\sqrt{2x-1}\le 3\left( x-1 \right)

    Lời giải

    Điều kiện xác định: 2x-1\ge 0\Leftrightarrow x\ge \frac{1}{2}

    Đặt t=\sqrt{2x-1},t\ge 0\Rightarrow x=\frac{{{t}^{2}}+1}{2}

    BPT trở thành: \frac{{{t}^{2}}-1}{2}.t\le 3\left( \frac{{{t}^{2}}+1}{2}-1 \right) \Leftrightarrow {{t}^{3}}-3{{t}^{2}}-t+3\le 0

    \Leftrightarrow \left( t-3 \right)\left( t-1 \right)\left( t+1 \right)\le 0 \Rightarrow t\in \left[ 1,3 \right]\Rightarrow 1\le \sqrt{2x-1}\le 3 \Leftrightarrow 1\le x\le 5

    Kết hợp với điều kiện ta có: 1\le x\le 5

    Vậy bất phương trình có nghiệm 1\le x\le 5

    Vậy bất phương trình có tập nghiệm x\ge \frac{1}{4}

    Ví dụ 2: Giải bất phương trình: {{x}^{2}}-1\le 2x\sqrt{{{x}^{2}}+2x}

    Lời giải:

    Điều kiện xác định: {{x}^{2}}+2x\ge 0\Leftrightarrow x\in (-\infty ,2]\cup [0,+\infty )

    Đặt t=\sqrt{{{x}^{2}}+2x},t\ge 0

    Xét y={{x}^{2}}-2xt-1 ta coi y như một tam thức bậc 2 đối với x

    \Delta '={{t}^{2}}+1={{x}^{2}}+2x+1={{\left( x+1 \right)}^{2}}\ge 0\forall x\Rightarrow \left[ \begin{matrix} x=t+x+1 \\ x=t-x-1 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} t+1=0 \\ 2x-t+1=0 \\ \end{matrix} \right.

    \sqrt{{{x}^{2}}+2x}+1\ge 1\forall x \Rightarrow 2x+1-\sqrt{{{x}^{2}}+2x}\le 0

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x-1\ge 0 \\ {{\left( 2x+1 \right)}^{2}}\ge {{x}^{2}}+2x \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow x\ge 0

    Vậy bất phương trình có nghiệm duy nhất x\ge 0\text{ }

    Ví dụ 3: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: \sqrt{1-x}+\sqrt{x}\le m

    Lời giải:

    Điều kiện xác định: x-1\ge 0\Leftrightarrow x\ge 1

    Đặt \left\{ \begin{matrix} a=\sqrt{1-x} \\ b=\sqrt{x} \\ \end{matrix} \right.,a\ge 0,b\le 1\Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=1

    Bất phương trình tương đương: \left\{ \begin{matrix} {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=1 \\ a+b\le m \\ \end{matrix} \right. {{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{\left( a+b \right)}^{2}}-2ab=1 \Rightarrow a+b=\sqrt{1+2ab}\ge 1

    Ta có vế trái có GTNN là 1 khi ab = 0. Vậy để BPT có nghiệm thì m\ge 1

    Vậy BPT có nghiệm khi m\ge 1

    Ví dụ 4: Giải bất phương trình: \sqrt{2{{x}^{2}}+12x+6}-\sqrt{2x-1}>x+2

    Lời giải:

    Điều kiện xác định: \left\{ \begin{matrix} 2{{x}^{2}}+12x+6\ge 0 \\ 2x-1\ge 0 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x\in \mathbb{R}\backslash \left( -3-\sqrt{6},-3+\sqrt{6} \right) \\ x\ge \frac{1}{2} \\ \end{matrix}\Leftrightarrow \right.x\ge \frac{1}{2}

    Bất phương trình tương đương: \sqrt{2{{\left( x+2 \right)}^{2}}+2\left( 2x-1 \right)}-\sqrt{2x-1}>x+2(*) \left\{ \begin{matrix} a=\sqrt{2x-1} \\ b=x+2 \\ \end{matrix},a\ge 0 \right.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a+b\ge 0 \\ {{\left( a-b \right)}^{2}}>0 \\ \end{matrix}\Leftrightarrow a\ne b \right. \Leftrightarrow a=b\Rightarrow \left[ \begin{matrix} x=5 \\ x=1 \\ \end{matrix} \right.

    Với a\ne b\Rightarrow x\in \left[ 1,5 \right]\cup [\frac{1}{2},+\infty )

    Vậy bất phương trình có nghiệm x\in \left[ 1,5 \right]\cup [\frac{1}{2},+\infty )

    III. Bài tập vận dụng

    Bài 1: Giải các bất phương trình sau:

    a. x+\frac{2x}{\sqrt{{{x}^{2}}-4}}>3\sqrt{5}

    b. \sqrt{2{{x}^{2}}-10x+16}-x+3\le \sqrt{x+1}

    c. \frac{1}{1-{{x}^{2}}}+1>\frac{3x}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}

    d. 2{{x}^{2}}-2x+1>\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}

    e. x+\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}-1}}>\frac{35}{12}

    Bài 2: Giải các bất phương trình sau:

    a. {{x}^{2}}-1\ge 2x\sqrt{{{x}^{2}}-2x}

    b. \left( 4x-1 \right)\sqrt{{{x}^{3}}+1}\le 2{{x}^{3}}+2x+1

    Bài 4: Tìm m để bất phương trình mx-\sqrt{x-3}\le m+1 có nghiệm

    Bài 5: Tìm m để bất phương trình \sqrt{\left( 6-x \right)\left( x+4 \right)}\le {{x}^{2}}-2x+m có nghiệm đúng với mọi x\in \left[ -4,6 \right].

    Tham khảo các loạt bài Toán khác:

    Bài viết cùng lớp mới nhất

    Xem thêm
    1 588 24/12/2023
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Xem thêm các chương trình khác: