Lý thuyết, cách xác định và bài tập các cách xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

Cách xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

A. Phương pháp giải

+ Đa giác đều n cạnh có độ dài mỗi cạnh là a, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp và r là bán kính đường tròn nội tiếp đa giác. Ta có:

+ Ngoài ra có thể sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, định lý Py – ta – go,… để tính R và r.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 : Cho một đa giác đều n cạnh có độ dài mỗi cạnh là a. Hãy tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp và bán kính r của đường tròn nội tiếp đa giác đều đó

Hướng dẫn giải

Giả sử: OA = OB = R, OC = r

Ta có:

Trong tam giác COB, ta có:

Nên

Ta lại có

Ví dụ 2 :

a) Vẽ đường tròn tâm O, bán kính 2cm.

b) Vẽ hình vuông nội tiếp đường tròn (O) ở câu a).

c) Tính bán kính r của đường tròn nội tiếp hình vuông ở câu b) rồi vẽ đường tròn (O; r).

Hướng dẫn giải

a) Chọn điểm O là tâm, mở compa có độ dài 2cm vẽ đường tròn tâm O, bán kính 2cm.

b) Vẽ đường kính AC và BD vuông góc với nhau. Nối A với B, B với C, C với D, D với A ta được tứ giác ABCD là hình vuông nội tiếp đường tròn (O; 2cm).

c) Vẽ OH ⊥ BC.

⇒ OH là khoảng cách từ tâm O đến BC

Vì AB = BC = CD = DA ( ABCD là hình vuông) nên khoảng cách từ tâm O đến AB, BC, CD, DA bằng nhau ( định lý lien hệ giữa dây cung và khoảng cách từ tâm đến dây)

⇒ O là tâm đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD

OH là bán kính r của đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD.

Tam giác vuông OBC có OH là đường trung tuyến ⇒ .

Xét tam giác vuông OHB có : .

Vẽ đường tròn (O; OH). Đường tròn này nội tiếp hình vuông, tiếp xúc bốn cạnh hình vuông tại các trung điểm của mỗi cạnh.

Ví dụ 3 :

a) Vẽ tam giác đều ABC cạnh a = 3cm.

b) Vẽ tiếp đường tròn (O; R) ngoại tiếp tam giác đều ABC. Tính R.

c) Vẽ tiếp đường tròn (O; r) nội tiếp tam giác đều ABC. Tính r.

d) Vẽ tiếp tam giác đều IJK ngoại tiếp đường tròn (O; R).

Hướng dẫn giải

a) Vẽ tam giác đều ABC có cạnh bằng 3cm (dùng thước thẳng và compa).

+ Dựng đoạn thẳng AB = 3cm .

+ Dựng cung tròn (A, 3) và cung tròn (B, 3). Hai cung tròn này cắt nhau tại điểm C.

Nối A với C, B với C ta được tam giác đều ABC cạnh 3cm.

b) * Vẽ đường tròn:

Tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC là giao điểm của ba đường trung trực.

Dựng đường trung trực của đoạn thẳng BC và CA.

Hai đường trung trực cắt nhau tại O.

Vẽ đường tròn tâm O, bán kính OA = OB = OC ta được đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

* Tính bán kính đường tròn.

+ Gọi A’ là trung điểm BC ⇒

và AA’ ⊥ BC

⇒ .

+ Do tam giác ABC là tam giác đều nên 3 đường trung trực đồng thời là ba đường trung tuyến

⇒ Giao điểm ba đường trung trực cũng là giao điểm ba đường trung tuyến

Suy ra O là trọng tâm tam giác ABC.

⇒

Vậy R = (cm).

c) * Vẽ đường tròn:

Gọi A’; B’; C’ lần lượt là chân đường phân giác trong ứng với các góc

Do tam giác ABC là tam giác đều nên A’; B’; C’ đồng thời là trung điểm BC; CA; AB.

Đường tròn (O; r) là đường tròn tâm O; bán kính OA’ = OB’ = OC’.

* Tính r:

Vậy

d) Vẽ các tiếp tuyến với đường tròn (O; R) tại A, B, C. Ba tiếp tuyến này cắt nhau tại I, J, K. Ta có ΔIJK là tam giác đều ngoại tiếp (O; R).

Hướng dẫn giải

Đáp án B

Lục giác đều ABCDEF nên chia đường tròn ngoại tiếp thành 6 cung bằng nhau, suy ra

Tam giác AOF cân tại O có nên ΔAOF đều

Vẽ đường cao AH của ΔAOF

Khi đó

Xét ΔAOH vuông tại H nên

Câu 3 : Đường tròn nội tiếp hình vuông cạnh a có bán kính là

Hướng dẫn giải

Đáp án C

Áp dụng công thức:

Câu 4 : Cho tam giác ABC có AB = 6cm; BC= 10 cm và AC = 8cm. Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là điểm nào?

A. Trung điểm AB

B. Trung điểm BC

C. Trung điểm AC

D. Trọng tâm tam giác ABC

Hướng dẫn giải

Đáp án B

Xét ΔABC , có:

BC² = 10² = 100

AB² + AC² = 6² + 8² = 100

⇒ BC² = AB² + AC²

Theo định lý Py – ta – go đảo suy ra tam giác ABC vuông tại A

⇒

⇒ A, B, C nội tiếp đường tròn đường kính BC hay đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm là trung điểm của BC.

Câu 5 : Cho tam giác ABC cân tại A, có và BC = 6cm. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Hướng dẫn giải

Đáp án B

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, H là giao điểm của OA và BC

Xét tam giác OAC, có OA = OC

Suy ra tam giác OAC cân tại O

Ta có ΔABC cân tại A

AO là tia phân giác của

⇒

⇒ ΔOAC đều

Đặt OA = OC = AC = x,

Vì OA là đường trung trực của BC nên H là trung điểm của BC

⇒

Vì CH ⊥ OA nên CH cũng là đường trung tuyến nên H là trung điểm của AO

⇒

Xét ΔCHA vuông tại H, ta có :

AC² = AH² + CH² (định lý Py – ta – go)

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là .

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 chọn lọc, có lời giải chi tiết hay khác:

• Tính các đại lượng liên quan đến đa giác ngoại tiếp, nội tiếp đường tròn
• Cách tính độ dài đường tròn, cung tròn cực hay, chi tiết