Lý thuyết, cách xác định và bài tập các cách giải bài toán bằng cách lập phương trình

Giải bài toán bằng cách lập phương trình

A. Phương pháp giải

* Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình:

Bước 1: Lập phương trình

- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết khác theo ẩn và các đại lượng đã biết.

- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải phương trình

Bước 3: Trả lời

Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không rồi kết luận.

* Cách ghi số tự nhiên trong hệ thập phân:

Số có hai chữ số: = a.10 + b (a ≠ 0)

Số có ba chữ số: = 100.a + 10.b + c (a ≠ 0); …

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng:

– Tổng hai chữ số là 12

– Nếu đổi chỗ hai chữ số thì được một số mới lớn hơn số đó là 36.

Lời giải:

Gọi số cần tìm là = 10a +b (a, b ∈ N; 0 < a < b < 10) .

Ta có a + b = 12 hay b = 12 - a

Khi đổi chỗ hai chữ số thì ta được số mới là = 10b + a

Số mới lớn hơn số cũ 36 đơn vị nên ta có phương trình 10a + b + 36 = 10b + a

Giải phương trình:

10a + b + 36 = 10b + a

⇔ 9a + 36 = 9b

⇔ a + 4 = b

⇔ a + 4 = 12 – a

⇔ 2a = 8

⇔ a = 4 ⇒ b = 8 (tmđk)

Vậy số cần tìm là 48.

Ví dụ 2: Một số tự nhiên có 5 chữ số. Nếu thêm chữ số 1 vào bên phải hay bên trái số đó ta được một số có 6 chữ số. Biết rằng nếu viết thêm vào bên phải số đó thì được một số lớn gấp ba lần số nhận được khi ta viết thêm vào bên trái số đó. Tìm số đó.

Lời giải:

Gọi số có 5 chữ số cần tìm là x (x ∈ N; 10000 ≤ x ≤ 99999)

Khi thêm 1 vào bên phải số đó ta được số mới là số có 6 chữ số với chữ số hàng đơn vị là 1:

Khi đó số đã cho là số chục và số mới được viết là: 10x + 1.

Khi thêm 1 vào bên trái số đó ta được số mới là số có 6 chữ số với chữ số hàng trăm nghìn là 1

Khi đó số đã cho là số đơn vị và số mới được viết là: 100000 + x.

Theo đề bài ra nếu viết thêm 1 vào bên phải số đó thì được một số lớn gấp ba lần số nhận được khi ta viết thêm 1 vào bên trái số đó nên ta có phương trình

10x + 1 = 3(100000 + x)

⇔ 7x = 299999

⇔ x = 42857 (tmđk)

Vậy số cần tìm là 42857

Ví dụ 3: Một số có hai chữ số, trong đó chữ số hàng chục gấp 3 lần chữ số hàng đơn vị. Nếu đổi chỗ hai chữ số ta được một số có hai chữ số nhỏ hơn số ban đầu 18 đơn vị. Tìm số đó.

Lời giải:

Gọi chữ số hàng đơn vị của số cần tìm là x (0 < x ≤ 3)

Chữ số hàng chục là 3x

Khi viết số đó trong hệ thập phân ta viết được là: 3x.10 + x = 31x

Khi đổi chỗ hai chữ số ta được số mới có chữ số hàng chục là x và chữ số hàng đơn vị là 3x. Khi viết số mới trong hệ thập phân ta viết được là: x.10 + 3x = 13x.

Vì số mói nhận được nhỏ hơn số ban đầu là 18 đơn vị nên ta có phương trình:

13x + 18 = 31x

⇔ 18 = 18x

⇔ x = 1 (thỏa mãn ĐK)

Vậy số có hai chữ số cần tìm là 31

C. Bài tập vận dụng

Bài 1: Một số tự nhiên có hai chữ số có tổng các chữ số bằng 7. Nếu thêm chữ số 0 vào giữa hai chữ số ta được một số có 3 chữ số lớn hơn số đã cho là 180. Tìm số đó.

Lời giải:

Gọi số tự nhiên có hai chữ số cần tìm là = 10a + b (a, b ∈ N,0 < a ≤ 7, 0 ≤ b < 7)

Ta có a + b = 7 .

Khi thêm chữ số 0 vào giữa ta được số = 100a + b

Vì số mới hơn số đã cho 180 nên ta có phương trình:

100a + b = 10a + b + 180

⇔ 90a = 180

⇔ a = 2 (tmđk)

⇒ b = 7- a = 5

Vậy số tự nhiên có hai chữ số cần tìm là 25.

Bài 2: Hiệu của hai số bằng 50. Số này gấp ba lần số kia. Tìm hai số đó.

Lời giải:

gọi số nhỏ là x (x > 0), số lớn là 3x

Vì hiệu hai số là 50 nên ta có phương trình:

3x – x = 50 ⇔ 2x = 50 ⇔ x = 25 (tmđk)

Vậy hai số cần tìm là 25 và 25.3 = 75

Bài 3: Một số có 2 chữ số . Biết rằng chữ số hàng đơn vị gấp 3 lần chữ số hàng chục. Nếu đổi chỗ 2 chữ số cho nhau được số mới lớn hơn số cũ 54 đơn vị. Tìm số ban đầu ?

Lời giải:

Lời giải:

Gọi số cần tìm là = 10a + b (a, b ∈ N. 0 < a < b < 10)

Ta có b = 3a

Khi đổi hai chữ số ta được số = 10b + a

Vì số mới lớn hơn số cũ 54 đơn vị nên ta có phương trình: 10b + a – 54 = 10a + b

⇔ 9b – 9a = 54

⇔ 9.3a – 9a = 54

⇔ 18a = 54

⇔ a =3 (tmđk)

Vậy số ban đầu cần tìm là 39.

Bài 4: Tìm một số có hai chữ số biết rằng nếu viết thêm 5 vào bên phải số đó ta được số gấp 9 lần số đã cho khi cộng thêm 3.

Lời giải:

Gọi số cần tìm là x (x∈ N, 10 ≤ x ≤ 99)

Khi viết thêm 5 vào bên phải số đó ta được số mới là số có 3 chữ số với chữ số hàng đơn vị là chữ số 5. Khi đó số đã cho là số chục và số mới được viết là: 10x + 5.

Số ban đầu khi cộng thêm 3 là: x + 3

Theo bài ra ta có phương trình:

10x + 5 = 9(x + 3)

⇔ 10x + 5 = 9x + 27

⇔ x = 22

Vậy số cần tìm là số 22.

Bài 5: Tìm số tự nhiên có bốn chữ số biết rằng nếu viết thêm một chữ số 1 vào đằng trước và một chữ số 1 vào đằng sau số đó thì số đó tăng gấp 21 lần

Lời giải:

Gọi số có 4 chữ số cần tìm là x (x ∈ N, 1000 ≤ x ≤ 9999)

Khi viết thêm 1 vào đằng trước và đằng sau số đã cho ta được số có sáu chữ số với chữ số hàng trăm nghìn và chữ số hàng đơn vị đều là chữ số 1. Số mới được viết là: 100000 + 10x + 1

Vì số mới gấp 21 lần số cũ nên ta có phương trình: 100000 + 10x + 1 = 21x

⇔ 11x = 100001 ⇔ x = 9091(tmđk)

Vậy số cần tìm là 9091

Bài 6: Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11, nếu bớt tử số đi 7 đơn vị, tăng mẫu số lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho. Tìm phân số ban đầu?

Lời giải:

Gọi tử số của phân số cần tìm là x (x ϵ Z)

Mẫu số của phân số đó là x + 11

Ta được phân số:

Khi giảm tử số đi 7 đơn vị ta được x – 7, tăng mẫu lên 4 đơn vị thì mẫu mới là x + 15

được phân số mới là

phân số mới là nghịch đảo của phân số ban đầu nên ta có:

Bài 7: Tổng của hai số bằng 51. Tìm hai số đó biết rằng số thứ nhất bằng số thứ hai.

Lời giải:

Gọi số thứ nhất là x (x < 51)

Số thứ hai là 51 – x

Theo điều kiện đề bài số thứ nhất bằng số thứ hai nên ta có phương trình:

Bài 8: Tìm hai số chẵn nguyên dương liên tiếp, biết tổng bình phương của chúng bằng 244.

Lời giải:

Gọi số bé là x (x ∈ N*, x = 2k), số lớn là x + 2.

Tổng bình phương của chúng là 244 nên ta có phương trình:

x² + (x + 2)² = 244 ⇔ 2x² + 4x + 4 = 244

⇔ x² + 2x + 2 = 122 ⇔ x² + 2x + 1 + 1 = 122

⇔ (x + 1)² = 121 ⇔ (x + 1)² = 11²

⇔ x + 1 = 11 ⇔ x = 10 (tm đk)

Vậy hai số cần tìm là 10 và 12.

Bài 9: Tìm hai số lẻ nguyên dương liên tiếp, biết tổng bình phương của chúng bằng 514.

Lời giải:

Gọi số bé là x (x ∈ N*, x = 2k + 1), số lớn là x + 2.

Tổng bình phương của chúng là 514 nên ta có phương trình:

x² + (x + 2)² = 514

⇔ 2x² + 4x + 4 = 514

⇔ x² + 2x + 2 = 257

⇔ x² + 2x + 1 + 1 = 257

⇔ (x + 1)² = 256

⇔ (x + 1)² = 16²

⇔ x + 1 = 16

⇔ x = 15 (tm đk)

Vậy hai số cần tìm là 15 và 17.

Bài 10: Cho hai số tự nhiên, biết thương của hai số là 3. Nếu thêm 10 vào số bị chia và giảm số chia đi một nửa thì hiệu của hai số mới là 30. Tìm hai số đó.

Lời giải:

Gọi số chia ban đầu là x (x > 0)

Số bị chia là 3x

Khi thêm 10 vào số bị chia ta được số bị chia mới là 3x + 10, và giảm số chia đi một nửa thì số chia mới là

Hiệu của hai số mới là 30 nên ta có phương trình:

3x + 10 - = 30

⇔ 6x + 20 – x = 60

⇔ 5x = 40 ⇔ x = 8 (tm đk)

Vậy số chia ban đầu là 8 và số bị chia là 24.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 8 chọn lọc, có đáp án hay khác:

• Cách giải bài toán bằng cách lập phương trình cực hay: Bài toán so sánh, thêm bớt

• Cách giải bài toán bằng cách lập phương trình cực hay: Bài toán năng suất