Lý thuyết, cách xác định và bài tập các công thức tính đường sinh

Đường sinh

1. Công thức tính đường sinh

Cho hình nón có bán kính đáy r và chiều cao h.

Khi đó độ dài đường sinh $l=\sqrt{r^2+h^2}$

2. Các dạng bài tập

a. Tính độ dài đường sinh khi biết chiều cao và bán kính đáy

VD1. Cho hình nón có bán kính đáy bằng 6 và đường cao bằng 8. Tính độ dài đường sinh của hình nón.

Lời giải:

Độ dài đường sinh là :

$l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$

VD2. Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH. Biết $AB:AC=3:4$ và độ dài AH là 12. Hình nón tạo thành khi quay tam giác ABC quanh trục AB có đường sinh bằng?

Lời giải:

b. Hình nón có đường sinh tạo với trục góc $\alpha$

Khi đó: $l=\frac{r}{\sin \alpha }$ hoặc $l=\frac{h}{\cos \alpha }$

VD. Cho tam giác ABC vuông tại A có $AB=a$ và $\widehat{ABC}={30}^{\circ }$.Tính độ dài đường sinh l của hình nón nhận được khi quay tam giác ABC quanh trục AB.

Lời giải:

Độ dài đường sinh:

$l=\frac{h}{\cos \alpha }=\frac{a}{\cos {30}^{\circ }}=\frac{2a\sqrt{3}}{3}$

c. Hình nón có đường sinh tạo với đáy góc $\alpha$

$\alpha =\widehat{OMI}\Rightarrow \left[\begin{array}{l}l=\frac{r}{\cos \alpha }\\ l=\frac{h}{\sin \alpha }\end{array}\right.$

VD. Tính độ dài đường sinh của hình nón có chu vi đáy là $6\pi$ và góc giữa đường sinh với đáy bằng ${45}^{\circ }$.

Lời giải:

Chu vi đáy:

$C=2\pi r=6\pi \Rightarrow r=3$

Suy ra độ dài đường sinh là:

$l=\frac{r}{\cos \alpha }=\frac{3}{\cos 45}=3\sqrt{2}$

d. Thiết diện qua trục là tam giác đặc biệt

- Tam giác vuông:

$l=r\sqrt{2}=h\sqrt{2}$

- Tam giác đều: $l=2r$ hoặc $l=\frac{2h}{\sqrt{3}}$

VD. Cho hình nón có chiều cao bằng 3. Tính độ dài đường sinh trong các trường hợp sau:

a. Thiết diện qua trục là một tam giác vuông

b. Thiết diện qua trục là một tam giác đều

Lời giải:

a. Do thiết diện qua trục là tam giác vuông nên

$l=h\sqrt{2}=3\sqrt{2}$

b. Do thiết diện qua trục là tam giác đều nên

$l=\frac{2h}{\sqrt{3}}=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}$