Lý thuyết, cách xác định và bài tập tích vô hướng

Tích vô hướng của hai vectơ

A. Phương pháp giải

Trong không gian, cho hai vectơ u→ và v→ đều khác 0→ . Tích vô hướng của hai vectơ u→ và v→ là một số, kí hiệu là u→. v→, được xác định bởi công thức:

Trong trường hợp u→ = 0→ hoặc v→ = 0→, ta quy ước u→. v→ = 0→

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của cạnh BC. Khi đó cos(AB; DM) bằng :

Hướng dẫn giải

Giả sử cạnh của tứ diện là a.

Tam giác BCD đều ⇒ DM = (a√3)/2.

Tam giác ABC đều ⇒ AM = (a√3)/2.

Chọn B.

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và ∠BAC = ∠BAD = 60° . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB→ và CD→ ?

A. 60° B. 45° C . 120° D. 90°

Hướng dẫn giải

Chọn D

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC và . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ SC→ và AB→ ?

A. 120° B. 45° C. 60° D. 90°

Hướng dẫn giải

Chọn D

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB và CA = CB. Tính số đo của góc giữa hai đường thẳng chéo nhau SC và AB

A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°

Hướng dẫn giải

Xét:

Vậy SC và AB vuông góc với nhau

Chọn D

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABC có AB = AC và ∠SAC = ∠SAB . Tính số đo của góc giữa hai đường thẳng chéo nhau SA và BC

A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°

Hướng dẫn giải

Vậy SA ⊥ BC

Chọn D

Ví dụ 6: Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng nếu

thì AB ⊥ CD , AC ⊥ BD, AD ⊥ BC. Điều ngược lại đúng không?

Sau đây là lời giải:

Bước 1:

⇔ AC ⊥ BD

Bước 2: Chứng minh tương tự, từ AC→.AD→ = AD→.AB→ ta được AD→ ⊥ BC→ và AB→.AC→ = AD→.AB→ ta được AB→ ⊥ CD→

Bước 3: Ngược lại đúng, vì quá trình chứng minh ở bước 1 và 2 là quá trình biến đổi tương đương

Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở đâu?

A. Sai ở bước 3

B. Đúng

C. Sai ở bước 2

D. Sai ở bước 1

Hướng dẫn giải

Chọn B

Bài giải đúng

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho tứ diện ABCD có AC = (3/2)AD, ∠CAB = ∠DAB = 60°, CD = AD. Gọi α là góc giữa AB và CD. Chọn khẳng định đúng?

A. cosα = (3/4) B. α = 60° C. α = 30° D. cosα = 1/4

Lời giải:

Chọn D

Câu 2: Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và ∠BAC = ∠BAD = 60°, ∠CAD = 90°. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ AB→ và IJ→ ?

A. 120° B. 90° C. 60° D. 45°

Lời giải:

Xét tam giác ICD có J là trung điểm đoạn CD ⇒ IJ→ = (1/2)(IC→ + ID→)

Tam giác ABC có AB = AC và ∠BAC = 60° nên tam giác ABC đều ⇒ CI ⊥ AB (1)

Tương tự, ta có tam giác ABD đều nên DI ⊥ AB (2)

Từ ( 1) và (2) ta có

Chọn B

Câu 3: Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD. Số đo của góc (MN ; SC) bằng

A. 45° B. 30° C. 90° D.60°

Lời giải:

Do ABCD là hình vuông cạnh a ⇒ AC = a√2

Ta có : AC² = 2a²= SA² + SC²

⇒ tam giác SAC vuông taị S.

Từ giả thiết ta có MN là đường trung bình của tam giác DSA ⇒ MN→ = (1/2).SA→

Khi đó

Chọn C

Câu 4: Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng a. Tính AB→.EG→

Lời giải:

Ta có: EGCA là hình bình hành nên EG→ = AC→ ⇒ AB→.EG→ = AB→.AC→

Mặt khác AC→ = AB→ + AD→ ( quy tắc hình hộp) .

Suy ra

Chọn B

Câu 5: Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 có cạnh a. Gọi M là trung điểm AD. Giá trị B₁M→.BD₁→ là:

Lời giải:

Chọn A

Câu 6: Cho tứ diện đều ABCD. Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng:

A. 60° B. 30° C. 90° D. 45°

Lời giải:

+ Gọi M là trung điểm của CD

+ Tam giác ACD và tam giác BCD là tam giác đều ( vì ABCD là tứ diện đều) có AM ; BM là hai đường trung tuyến ứng với cạnh CD nên đồng thời là đường cao.

Suy ra AB→ ⊥ CD→ nên số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng 90°.

Chọn C

Câu 7: Cho tứ diện ABCD đều cạnh bằng a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Góc giữa AO và CD bằng bao nhiêu ?

A. 0° B. 30° C. 90° D. 60°

Lời giải:

Câu 8: Cho hai vectơ a→ và b→ thỏa mãn: . Gọi α là góc giữa hai vectơ a→ và b→. Chọn khẳng định đúng?

Lời giải:

Câu 9: Cho tứ diện ABCD. Tìm giá trị của k thích hợp thỏa mãn:

A. k = 1 B. k = 2 C. k = 0 D. k = 4

Lời giải:

Chọn đáp án C