Số nguyên tố là gì?

Số nguyên tố

I. Lý thuyết

1. Định nghĩa

Số nguyên tố là một tập hợp dãy số nguyên lớn hơn 1 chỉ chia hết được nó và 1. Nói cách khác, các số thuộc tập N lớn hơn 1 và chỉ chia hết được cho nó thì đó là số nguyên tố. Ví dụ số 3, chỉ chia hết cho 1 và nó. Tương tự như vậy, các số như 11, 13, 17, 19,... là số nguyên tố.

2. Tính chất

Đặc tính của số nguyên tố là gì? Số nguyên tố có các đặc tính gồm:

• Không bao gồm số 1.
• Các số nguyên tố đều không chia hết cho 2 trừ số 2.
• Dãy số nguyên tố là vô cực, không có giới hạn tương tự như tập N.
• Ước bé nhất của số bất kỳ thuộc tập N luôn là số nguyên tố. Ví dụ 15 chia hết cho 3 (ước nhỏ nhất của 15), 3 là số nguyên tố.
• Số X có ước nhỏ nhất là số dương, số này khác 1 và nhỏ hơn căn bậc hai của X thì đó chính là số nguyên tố. Ví dụ 30 có ước nhỏ nhất là 5, tính chất của 5 khác 1 vả nhỏ hơn căn bậc 2 của 30 thì lúc này 5 được xác định là số nguyên tố.

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hai số 7 và 8. Hỏi hai số đó có phải là số nguyên tố cùng nhau hay không?

Lời giải:

- Ta có: 7 = 1 x 7, 8 = 1 x 2 x 2 x 2

- Nhận thấy ước chung lớn nhất của 7 và 8 là 1. Như vậy có thể kết luận 7 và 8 là hai số nguyên tố cùng nhau.

Ví dụ 2: Cho p và 2p + 1 đều là số nguyên tố (p > 5). Hỏi 4p + 1 là số nguyên tố hay hợp số.

Lời giải

Do p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p không chi hết cho 3 suy ra 4p cũng không chia hết cho 3.

Do 2p + 1 là số nguyên tố lớn hơn 3 nên 2p + 1 không chia hết cho 3 suy ra 2 x (2p + 1) không chia hết cho 3 hay 4p + 2 không chia hết cho 3. Mặt khác trong 3 số tự nhiên liên tiếp 4p, 4p + 1, 4p + 2 có một số chia hết cho 3 do đó 4p +1 chia hết cho 3, mà 4p + 1 > 3 suy ra 4p + 1 là hợp số.

III. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho p và p + 4 là số nguyên tố (p > 3) chứng tỏ rằng p + 8 là hợp số.

Lời giải

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2

Nếu p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 6 chia hết cho 3 => loại

Nếu p = 3k + 1 thì p + 7 = 3k + 8 không chia hết cho 3 => 2 x (3k + 7) không chia hết cho 3 hay 2p + 14 không chia hết cho 3 mà trong ba số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 3 mà 2p + 14 và 2p + 15 không chia hết cho 3 suy ra 2p + 16 chia hết cho 3 hay p + 8 chia hết cho 3

Suy ra p + 8 là một hợp số.

Bài 2: Hai số nguyên tố được gọi là sinh đôi nếu chúng hơn kém nhau hai đơn vị. Ví dụ 17 và 19 là hai số nguyên tố sinh đôi. Em hãy liệt kê các cặp số nguyên tố sinh đôi nhỏ hơn 40. Có tất cả bao nhiêu cặp?

Giải:

Các cặp số nguyên tố sinh đôi nhỏ hơn 40:

+) 3 và 5

+) 5 và 7

+) 11 và 13

+) 17 và 19

+) 29 và 31

Vậy có tất cả 5 cặp.

Bài 4: Trong nghi lễ thượng cờ lúc 6 giờ sáng và hạ cờ lúc 21 giờ hàng ngày ở Quảng trường Ba Đình, đội tiêu binh có 34 người gồm 1 sĩ quan chỉ huy đứng đầu và 33 chiến sĩ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 33 chiến sĩ thành các hàng, sao cho mỗi hàng có số người như nhau?

Giải:

Ta có: 33 = 3 . 11

Vì xếp 33 chiến sĩ thành các hàng thì số hàng là ước của 33

Ư(33) = 1; 3; 11; 33.

Với số hàng là 1 thì số người mỗi hàng là: 33 : 1 = 33 (người)

Với số hàng là 3 thì số người mỗi hàng là: 33 : 3 = 11 (người)

Với số hàng là 11 thì số người mỗi hàng là: 33 : 11 = 3 (người)

Với số hàng là 33 thì số người mỗi hàng là: 33 : 33 = 1 (người)

Vậy có 4 cách cách sắp xếp 33 chiến sĩ thành các hàng.

Bài 5: Một lớp có 30 học sinh. Cô giáo muốn chia lớp thành các nhóm để thực hiện các dự án học tập nhỏ. Biết rằng, các nhóm đều có số người bằng nhau, số người trong một nhóm là các số nguyên tố. Hỏi có bao nhiêu cách chia?

Giải:

Phân tích 30 ra thừa số nguyên tố ta được: 30 = 2.3.5

Vì cô giáo muốn chia lớp 30 học sinh thành các nhóm, các nhóm có số người bằng nhau nên số người của mỗi ngóm là ước của 30.

Mà số người mỗi nhóm là số nguyên tố nên số người mỗi nhóm là ước nguyên tố của 30.

Ta có bảng sau:

Số nhóm	Số người một nhóm
30:2 = 15	2
30:3 = 10	3
30:5 = 6	5

Do đó có thể chia thành 15 nhóm, 10 nhóm hoặc 6 nhóm.

Bài 6: Tìm các số thích hợp điền vào ô trống trong sơ đồ sau:

Bài 7: Tìm các số còn thiếu trong sơ đồ phân tích một số ra thừa số nguyên tố sau:

Bài 8: Hãy phân tích A = 4².9⁵ ra thừa số nguyên tố.

Bài 9: Bạn Nam phân tích số 120 ra thừa số nguyên tố như sau: 120 = 23.3.5.

Bạn An phân tích 105 ra thừa số nguyên tố như sau: 105 = 3.5.7.

Chọn đáp án đúng.

A. Bạn Nam;

B. Bạn An;

C. Cả Nam và An đều sai.

D. Cả Nam và An đều đúng.