Lý thuyết, cách xác định và bài tập các công thức tính cấp số cộng

Cấp số cộng

I. Lý thuyết Cấp số cộng

1) Định nghĩa

(u_n) là cấp số cộng khi $u_{n+1}=u_n+d,n\in {\mathbb{N}}^{*}$ (d gọi là công sai)

Nhận xét:

- Cấp số cộng (u_n) là một dãy số tăng khi và chỉ khi công sai d > 0.

- Cấp số cộng (u_n) là một dãy số giảm khi và chỉ khi công sai d < 0.

- Đặc biệt, khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau).

2) Số hạng tổng quát của cấp số cộng (u_n) được xác định bởi công thức:

u_n = u₁ + (n – 1)d với $n\in {\mathbb{N}}^{*},n\ge 2$.

3) Tính chất

Ba số hạng là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi $u_k=\frac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2}$.

II. Công thức cấp số cộng

- Công thức tính công sai: d = u_n+1 – u_n với $n\in {\mathbb{N}}^{*}$.

- Công thức tìm số hạng tổng quát: u_n = u₁ + (n – 1)d với $n\in {\mathbb{N}}^{*},n\ge 2$.

- Tính chất của 3 số hạng $u_{k-1},u_k,u_{k+1}\left(k\ge 2\right)$ liên tiếp của cấp số cộng: $u_k=\frac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2}$.

- Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng: $S_n=\frac{n\left(u_1+u_n\right)}{2}=\frac{n\left[2u_1+\left(n-1\right)d\right]}{2}$.

III. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho cấp số cộng (u_n) thỏa mãn: $\left\{\begin{array}{c}{u}_2-u_3+u_5=10\\ u_4+u_6=26\end{array}\right.$

a) Xác định công sai và số hạng đầu tiên của cấp số cộng.

b) Xác định công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng.

c) Tính số hạng thứ 100 của cấp số cộng.

d) Tính tổng 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng.

Lời giải

a) Gọi d là công sai của cấp số cộng, ta có:

$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{c}{u}_2-u_3+u_5=10\\ u_4+u_6=26\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}(u_1+d)-(u_1+2d)+(u_1+4d)=10\\ (u_1+3d)+(u_1+5d)=26\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1+3d=10\\ u_1+4d=13\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1=1\\ d=3\end{array}\right.\end{array}$

Vậy công sai d = 3 và số hạng đầu tiên u₁ = 1.

b) Số hạng tổng quát: u_n = u₁ + (n – 1)d = 1 + (n – 1).3 = 3n – 2.

c) Số hạng thứ 100 là: u₁₀₀ = 3.100 – 2 = 298.

d) Tổng 15 số hạng đầu tiên:

$S_{15}=\frac{n\left[2u_1+\left(n-1\right)d\right]}{2}=\frac{15.\left(2.1+14.3\right)}{2}=330$

Ví dụ 2: Cho cấp số cộng (u_n) thỏa mãn: u_n = 2n – 3.

a) Xác định công sai của cấp số cộng.

b) Số 393 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng.

c) Tính S = u₁ + u₃ + u₅ + … + u_2021.

Lời giải

a) Ta có: u_{n + 1} = 2(n + 1) – 3 = 2n – 1

Công sai của cấp số cộng: d = u_n+1 – u_n = (2n – 1) – (2n – 3) = 2

b) Gọi số hạng thứ k của cấp số cộng là 393, ta có u_k = 393.

Khi đó: 2k – 3 = 393. Suy ra k = 198.

Vậy số 393 là số hạng thứ 198 của cấp số cộng.

c) Ta có: u₁ = 2 . 1 – 3 = – 1

Dãy số là (v_n): u₁; u₃; u₅; … u₂₀₂₁ là cấp số cộng với số hạng đầu tiên là u₁ = – 1 và công sai d’ = u₃ – u₁ = 2d = 4

Dãy (v_n) có: (2021 – 1) : 2 + 1 = 1011 số hạng

Vậy tổng $S=u_1+u_3+u_5+\dots +u_{2021}$$=\frac{1011.\left(2.\left(-1\right)+1010.4\right)}{2}=2041209$.

IV. Bài tập

Bài 1: Cho cấp số cộng (u_n) có u₁ = 1 và d = – 3.

a) Xác định số hạng tổng quát của cấp số cộng

b) Tìm số hạng thứ 2021 của cấp số cộng

c) Số – 488 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng.

Lời giải

a) Số hạng tổng quát:

u_n = u₁ + (n – 1)d = 1 + (n – 1).(– 3) = – 3n + 4.

b) Số hạng thứ 2021 của cấp số cộng:

u₂₀₂₁ = – 3.2021 + 4 = – 6059.

c) Gọi số hạng thứ k là số – 488, ta có: u_k = – 3k + 4 = – 488. Suy ra k = 164.

Vậy số – 488 là số hạng thứ 164.

Bài 2: Cho cấp số cộng (u_n) thỏa mãn

a) Tìm u₁; d?

b) Xác định số hạng tổng quát của cấp số cộng.

c) Số –1372,5 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng.

Lời giải

a) Ta có:

Vậy

b) Số hạng tổng quát:

c) Gọi số hạng thứ k là số – 1372,5, ta có:

Vậy số – 1372,5 là số hạng thứ 200.

Xem thêm tổng hợp công thức môn Toán lớp 9 đầy đủ và chi tiết khác:

Công thức tính công sai của cấp số cộng

Công thức tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng