Lý thuyết, cách xác định và bài tập các công thức tính cấp số cộng

Cấp số cộng

I. Lý thuyết Cấp số cộng

1) Định nghĩa

(u_n) là cấp số cộng khi $u_{n+1}=u_n+d,n\in {\mathbb{N}}^{*}$ (d gọi là công sai)

Nhận xét:

- Cấp số cộng (u_n) là một dãy số tăng khi và chỉ khi công sai d > 0.

- Cấp số cộng (u_n) là một dãy số giảm khi và chỉ khi công sai d < 0.

- Đặc biệt, khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau).

2) Số hạng tổng quát của cấp số cộng (u_n) được xác định bởi công thức:

u_n = u₁ + (n – 1)d với $n\in {\mathbb{N}}^{*},n\ge 2$.

3) Tính chất

Ba số hạng là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi $u_k=\frac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2}$.

II. Công thức cấp số cộng

- Công thức tính công sai: d = u_n+1 – u_n với $n\in {\mathbb{N}}^{*}$.

- Công thức tìm số hạng tổng quát: u_n = u₁ + (n – 1)d với $n\in {\mathbb{N}}^{*},n\ge 2$.

- Tính chất của 3 số hạng $u_{k-1},u_k,u_{k+1}\left(k\ge 2\right)$ liên tiếp của cấp số cộng: $u_k=\frac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2}$.

- Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng: $S_n=\frac{n\left(u_1+u_n\right)}{2}=\frac{n\left[2u_1+\left(n-1\right)d\right]}{2}$.

III. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho cấp số cộng (u_n) thỏa mãn: $\left\{\begin{array}{c}{u}_2-u_3+u_5=10\\ u_4+u_6=26\end{array}\right.$

a) Xác định công sai và số hạng đầu tiên của cấp số cộng.

b) Xác định công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng.

c) Tính số hạng thứ 100 của cấp số cộng.

d) Tính tổng 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng.

Lời giải

a) Gọi d là công sai của cấp số cộng, ta có:

$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{c}{u}_2-u_3+u_5=10\\ u_4+u_6=26\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}(u_1+d)-(u_1+2d)+(u_1+4d)=10\\ (u_1+3d)+(u_1+5d)=26\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1+3d=10\\ u_1+4d=13\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1=1\\ d=3\end{array}\right.\end{array}$

Vậy công sai d = 3 và số hạng đầu tiên u₁ = 1.

b) Số hạng tổng quát: u_n = u₁ + (n – 1)d = 1 + (n – 1).3 = 3n – 2.

c) Số hạng thứ 100 là: u₁₀₀ = 3.100 – 2 = 298.

d) Tổng 15 số hạng đầu tiên:

$S_{15}=\frac{n\left[2u_1+\left(n-1\right)d\right]}{2}=\frac{15.\left(2.1+14.3\right)}{2}=330$

Ví dụ 2: Cho cấp số cộng (u_n) thỏa mãn: u_n = 2n – 3.

a) Xác định công sai của cấp số cộng.

b) Số 393 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng.

c) Tính S = u₁ + u₃ + u₅ + … + u_2021.

Lời giải

a) Ta có: u_{n + 1} = 2(n + 1) – 3 = 2n – 1

Công sai của cấp số cộng: d = u_n+1 – u_n = (2n – 1) – (2n – 3) = 2

b) Gọi số hạng thứ k của cấp số cộng là 393, ta có u_k = 393.

Khi đó: 2k – 3 = 393. Suy ra k = 198.

Vậy số 393 là số hạng thứ 198 của cấp số cộng.

c) Ta có: u₁ = 2 . 1 – 3 = – 1

Dãy số là (v_n): u₁; u₃; u₅; … u₂₀₂₁ là cấp số cộng với số hạng đầu tiên là u₁ = – 1 và công sai d’ = u₃ – u₁ = 2d = 4

Dãy (v_n) có: (2021 – 1) : 2 + 1 = 1011 số hạng

Vậy tổng $S=u_1+u_3+u_5+\dots +u_{2021}$$=\frac{1011.\left(2.\left(-1\right)+1010.4\right)}{2}=2041209$.

IV. Bài tập

1. Bài tập tự luận

Bài 1: Cho cấp số cộng (u_n) có u₁ = 1 và d = – 3.

a) Xác định số hạng tổng quát của cấp số cộng

b) Tìm số hạng thứ 2021 của cấp số cộng

c) Số – 488 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng.

Lời giải

a) Số hạng tổng quát:

u_n = u₁ + (n – 1)d = 1 + (n – 1).(– 3) = – 3n + 4.

b) Số hạng thứ 2021 của cấp số cộng:

u₂₀₂₁ = – 3.2021 + 4 = – 6059.

c) Gọi số hạng thứ k là số – 488, ta có: u_k = – 3k + 4 = – 488. Suy ra k = 164.

Vậy số – 488 là số hạng thứ 164.

Bài 2: Cho cấp số cộng (u_n) thỏa mãn

a) Tìm u₁; d?

b) Xác định số hạng tổng quát của cấp số cộng.

c) Số –1372,5 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng.

Lời giải

a) Ta có:

Vậy

b) Số hạng tổng quát:

c) Gọi số hạng thứ k là số – 1372,5, ta có:

Vậy số – 1372,5 là số hạng thứ 200.

Bài 3: Cho cấp số cộng (u_n)

a) (u­_n) có số hạng tổng quát là: u_n = 7n – 3. Tính S₁₀₀.

b) (u­_n) có u₂ + u₂₂ = 40. Tính S_23.

c) (u­_n) có u₄ + u₈ + u₁₂ + u₁₆ = 224. Tính S₁₉.

Lời giải

a) Từ công thức số hạng tổng quát

Ta có:

Số hạng đầu: u₁ = 7 . 1 – 3 = 4;

Số hạng thứ hai là : u₂ = 7 . 2 – 3 = 11;

Công sai: d = 11 – 4 = 7

Khi đó ta có:

b) Ta có: u₂ + u₂₂ = 40 ⇔ u₁ + d + u₁ +21d = 40 ⇔ 2u₁ + 22d = 40

Vậy

c) Ta có: u₄ + u₈ + u₁₂ + u₁₆ = 224

⇔ u₁ + 3d + u₁ +7d + u₁ +15d = 224

⇔ 4u₁ + 36d = 224

⇔ u₁ + 9d = 56

Vậy

Bài 4: Tính các tổng sau:

a) S = 1 + 3 + 5 +... + (2n – 1) + (2n + 1)

b) S = 1 + 4 + 7 +... + (3n – 2) + (3n + 1) + (3n + 4)

c) S = 100² – 99² + 98² – 97² +... + 2² – 1²

Lời giải

a) Ta có dãy số 1;3;5;...;(2n – 1);(2n + 1) là cấp số cộng với công sai d = 2 và u₁ = 1, số hạng tổng quát u_k = u₁ + (k – 1)d.

Ta kiểm tra 2n + 1 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy: 2n + 1 = u₁ + (k – 1)d

⇔ 2n + 1 = 1 + (k – 1).2 ⇒ k = n + 1 . Do đó dãy số có n + 1 số hạng.

Vậy

b) Ta có dãy số 1; 4; 7; ... (3n – 2);(3n + 1);(3n + 4) là cấp số cộng với công sai d = 3 và u₁ = 1, số hạng tổng quát u_k = u₁ + (k – 1)d.

Ta kiểm tra 2n + 1 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy: 3n + 4 = u₁ + (k – 1)d

⇔ 3n + 4 = 1 + (k – 1).3 ⇒ k = n + 2. Do đó dãy số có n + 2 số hạng.

Vậy

c) S = 100² – 99² + 98² – 97² +... + 2² – 1²

= (100 – 99)(100 + 99) + (98 – 97)(98 + 97) +... + (2 – 1)(2 + 1)

= 199 + 195 +... + 3

= 3 + 7 +... + 195 + 199

Ta có dãy số 3; 7; ...195; 199 là cấp số cộng với công sai d = 4, số hạng đầu tiên u₁ = 3 và số hạng thứ n là u_n = 199.

Do đó có 199 = 3 + (n – 1).4 ⇒ n + 50.

Vậy .

2. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng?

A. Dãy số (a_n), với a_n = 2ⁿ ,∀n ∈ ℕ^∗.

B. Dãy số (b_n), với b₁ = 1, b_n+1 = 2b₁ + 1,∀n ∈ ℕ^∗.

C. Dãy số (c_n), với c_n = (2n – 3)² – 4n² ,∀n ∈ ℕ^∗.

D. Dãy số (d_n), với

Câu 2. Trong các dãy số (u_n) sau, dãy số nào là một cấp số cộng?

A. 1; – 3; – 7; – 11; – 15

B. 1; – 3; – 6; – 9; – 12

C. 1; – 2; – 4; – 6; – 8

D. 1; – 3; – 5; – 7; – 9

Câu 3. Trong các dãy số (u_n) cho bởi số hạng tổng quát u_n sau, dãy số nào không phải là một cấp số cộng?

Câu 4. Cho cấp số cộng (u_n), biết u₁ = – 5,d = 3. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. u₁₅ = 34. B. u₁₅ = 45. C. u₁₃ = 31. D. u₁₀ = 35.

Câu 5. Cho cấp số cộng (u_n), biết u₁ = – 5; d = 3. Số 100 là số hạng thứ bao nhiêu?

A. Số thứ 15. B. Số thứ 20. C. Số thứ 35. D. Số thứ 36.

Câu 6. Cho cấp số cộng (u_n) biết:. Số hạng đầu tiên là

A. u₁ = 16. B. u₁ = 6. C. u₁ = 7. D. u₁ = 14.

Câu 7. Cho cấp số cộng (u_n) thỏa: . Tính số hạng thứ 100 của cấp số.

A. u₁₀₀ = – 243 B. u₁₀₀ = – 295 C. u₁₀₀ = – 231 D. u₁₀₀ = – 294

Câu 8. Cho cấp số cộng (u_n) có u₁ = 123 và u₃ – u₁₅ = 84. Tìm số hạng u₁₇.

A. u₁₇ = 242 B. u₁₇ = 235 C. u₁₇ = 11 D. u₁₇ = 4

Câu 9. Xác định x để 3 số 1 – x; x²; 1 + x lập thành một cấp số cộng.

A. x = 1 hoặc x = – 1

B. x = 2 hoặc x = – 2

C. Không có giá trị nào của x.

D. x = 0

Câu 10. Cho a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, đẳng thức nào sau đây là đúng?

A. a² + c² = 2ab + 2bc. B. a² – c² = 2ab – 2bc.

C. a² + c² = 2ab – 2bc. D. a² – c² = ab – bc.

Câu 11. Cho cấp số cộng (u_n) có u₁ = 5 và d = – 4. Tính tổng của 100 số hạng đầu tiên.

A. – 19500 B. – 19300 C. – 19750 D. – 19550

Câu 12. Cho dãy số (u_n) xác định bởi u₁ = 321 và u_{n + 1} = u_n – 3 với mọi n ∈ ℕ^∗. Tính tổng S của 125 số hạng đầu tiên của dãy số đó.

A. S = 16875. B. S = 63375. C. S = 63562,5. D. S = 16687,5.

Câu 13. Số hạng tổng quát của một cấp số cộng là u_n = 3n + 4 với n ∈ ℕ^∗. Gọi S_n là tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu 14. Cho cấp số cộng 3; 8; 13;... Tính tổng S = 3 + 8 + 13 +... + 2018.

A. S = 408422. B. S = 408242. C. S = 407231,5. D. S = 409252,5.

Câu 15. Phương trình x³ – 3x² – 9x + m = 0 có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.

A. m = 16 B. m = 11 C. m = 13 D. m = 12

Đáp án

Xem thêm tổng hợp công thức môn Toán lớp 9 đầy đủ và chi tiết khác:

Công thức tính công sai của cấp số cộng

Công thức tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng