Biến cố đối là gì? Định lý biến cố đối?

Biến cố đối là gì? Định lý biến cố đối?

1. Biến cố đối là gì?

- Cho A là một biến cố. Khi đó biến cố “Không xảy ra A”, kí hiệu là , được gọi là biến cố đối của A.

- Biến cố đối của A: = Ω\A

- Chú ý: Hai biến cố đối nhau thì xung khắc, nhưng hai biến cố xung khắc thì chưa chắc đã đối nhau.

Ví dụ: Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong trường

A là biến cố: “Bạn đó là học sinh khối 10”

B là biến cố: “Bạn đó là học sinh khối 11”

Khi đó A và B là hai biến cố xung khắc, nhưng A và B không phải là hai biến cố đối nhau.

2. Định lý biến cố đối

Cho biến cố A. Xác suất của biến cố đối là

    P() = 1 – P(A) (1)

Từ công thức (1), suy ra P(A) = 1 – P().

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Gieo một đồng tiền liên tiếp 3 lần. Tính xác suất của biến cố A: “Ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp”.

Hướng dẫn

Gọi biến cố đối của biến cố A là

Khi đó : “Không lần nào xuất hiện mặt xấp”, có nghĩa là “Cả" ba lần gieo chỉ xuất hiện mặt ngửa”.

Ví dụ 2. Trong một túi có 5 viên bi xanh và 6 viên bi đỏ, lấy ngẫu nhiên từ đó ra 2 viên bi. Khi đó xác suất để lấy được ít nhất một viên bi xanh là?

Hướng dẫn:

Số phần tử của không gian mẫu: |Ω| = C₁₁² = 55.

Gọi A là biến cố: “Lấy được ít nhất một bi xanh”.

Khi đó, biến cố đối của A, : “Không lấy được viên bi xanh nào”, tức là 2 viên bi lấy ra đều màu đỏ.

Số phần tử của biến cố là: ||=C_6^2=15

4. Bài tập vận dụng

Câu 1: Trong một buổi liên hoan có 10 cặp nam nữ, trong đó có 4 cặp vợ chồng. Chọn ngẫu nhiên 3 người để biểu diễn một tiết mục văn nghệ. Xác suất để 3 người được chọn không có cặp vợ chồng nào là

A.72/1140 B.89/95 C.3/20 D.1/5

Lời giải:

Đáp án : B

+ Số phần tử của không mẫu là:

+ Gọi A là biến cố 3 người được chọn không có cặp vợ chồng nào.

⇒ A là biến cố 3 người được chọn có 1 cặp vợ chồng .

Ta tính số kết quả thuận lợi cho A.

Chọn 1 cặp vợ chồng trong 4 cặp vợ chồng có 4 cách

Chọn 1 người trong 18 người còn lại có 18 cách.

=> Số kết quả thuận lợi cho biến cố A:n(A)=4.18=72

Câu 2: Một chiếc hộp đựng 7 viên bi màu xanh, 6 viên bi màu đen, 5 viên bi màu đỏ, 4 viên bi màu trắng. Chọn ngẫu nhiên ra 4 viên bi, tính xác suất để lấy được ít nhất 2 viên bi cùng màu.

A.2808/7315 B.185/209 C.24/209 D.319/418

Lời giải:

Đáp án : B

+ Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 4 viên bi từ 22 viên bi đã cho.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là

+ Gọi A là biến cố: “ Lấy được 4 viên bi trong đó có ít nhất hai viên bi cùng màu .

Để tìm số phần tử của A, ta đi tìm số phần tử của biến cố đối A, với biến cố đối A là lấy được 4 viên bi trong đó không có hai viên bi nào cùng màu.

Suy ra số phần tử của biến cố A là n(A)=

Suy ra số phần tử của biến cố A là n(A) = 7315- 840 = 6475.

Vậy xác suất cần tính: P(A) = 6475/7315 = 185/209.

Câu 3: Trong đợt thi học sinh giỏi trường THPT A, môn Toán có 5 em đạt giải trong đó có 4 nam và 1 nữ, môn Văn có 5 em đạt giải trong đó có 1 nam và 4 nữ, môn Hóa học có 5 em đạt giải trong đó có 2 nam và 3 nữ, môn Vật lí có 5 em đạt giải trong đó có 3 nam và 2 nữ. Nhà trường chọn mỗi môn một em học sinh để đi dự đại hội thi đua? Tính xác suất để có cả học sinh nam và nữ để đi dự đại hội?

A.577/625 B.4/5 C.3/4 D.113/125

Lời giải:

Đáp án : A

+ Gọi A là biến cố xảy ra mỗi môn một em dự thi có cả nam và nữ.

⇒ Biến cố đối A: chỉ có học sinh nam hoặc chỉ có học sinh nữ đi dự đại hội.

Số phần tử của không gian mẫu:

+ Ta tính số kết quả thuận lợi cho biến cố đối A

⇒ Số kết quả thuận lợi cho biến cố đối A:n(A)= 24+ 24= 48

⇒ Số cách chọn mỗi môn một em có cả nam và nữ là:A

n(A) = n(Ω)- n(A)= 625- 48=577.

Xác suất cần tìm là: P(A)= 577/625

Câu 4: Lớp 11 A2 có 15 học sinh giỏi trong đó có 9 học sinh nữ và 6 học sinh nam. Giáo viên chủ nhiệm cần chọn 3 bạn để đi dự đại hội. Tính xác suất để trong 3 bạn được chọn có ít nhất một bạn nữ.

A.25/91 B.46/91 C.87/91 D.62/91

Lời giải:

Đáp án : C

+ Số phần tử của không gian mẫu là:

+ Gọi A là biến cố trong 3 bạn được chọn có ít nhất một bạn nữ.

⇒ Biến cố đối A:trong3 bạn được chọn không có bạn nữ nào cả.

+ Ta tính xác suất P(A).

Số kết quả thuận lợi cho biến cố đối A:

⇒ xác suất của biến cố đối: P(A)= = 4/91

⇒ Xác suất của biến cố A: P(A) = 1- 4/91= 87/91

Câu 5: Cho tập A= {1; 2; 3; 4; 5;6}. Gọi S là tập các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau được tạo ra từ tập A. Chọn ngẫu nhiên 1 số; tính xác suất để số được chọn có hai chữ số tận cùng không phải là 23.

A.7/10 B.29/30 C.7/15 D.21/35

Lời giải:

Đáp án : B

+ Số phần tử của không gian mẫu là:

+ Gọi A là biến cố số được chọn có hai chữ số tận cùng không phải là 23.

⇒ Biến cố đối A chọn được số có hai chữ số tận cùng là 23. Ta tính số kết quả thuận lợi cho A:

Gọi số cần tìm có dạng ab23.

Ta có 4 cách chọn a và 3 cách chọn b.

⇒ n(A)=4.3=12 số.

Xác suất của biến cố đối A: P(A) = 12/360 = 1/30

⇒xác suất của biến cố A là: P(A)= 1- P(A) = 29/30

Câu 6: Một hộp có 8 bi trắng và 7 bi đỏ. Chọn ngẫu nhiên 3 viên bi.Tính xác suất để trong 3 viên bi được chọn có ít nhất 1 bi đỏ?

A.319/455 B.281/455 C.179/455 D.399/455

Lời giải:

Đáp án : D

+ Số phần tử của không gian mẫu là:

+ Gọi A là biến cố trong 3 bi được chọn có ít nhất 1 bi đỏ

⇒ Biến cố đối A 3 bi được chọn đều là màu trắng.

Số kết quả thuận lợi cho A:

⇒ Xác suất của biến cố đối A:P(A ) = 56/455

Suy ra xác suất của biến cố A là:

P(A)= 1- P(A)= 1 - 56/455 = 399/455

Câu 7: Gọi S là tập các số tự nhiên có hai chữ số. Từ tập S chọn ra 3 số bất kì. Tính xác suất để trong 3 số được chọn có ít nhất một số chia hết cho 5.

A.471/979 B.387/979 C.482/979 D.286/979

Lời giải:

Đáp án : C

+ Tập S= { 10; 11; 12; ..; 99} có 90 số.

Các số chia hết cho 5 mà thuộc tập S là: {10; 15; 20; ..95} có 18 số.

⇒ có 90-18= 72 số không chia hết cho 5 từ tập S.

+ Số phần tử của không gian mẫu là

+ Gọi A là biến cố trong 3 số được chọn có ít nhất một số chia hết cho 5.

⇒ Biến cố đối A: trong 3 số được chọn không có số nào chia hết cho 5.

Sô kết quả thuận lợi cho A:

⇒ Xác suất của biến cố đối A là:

⇒ Xác suất của biến cố A là:

P(A)= 1 -P(A )= 482/979

Câu 8: Một hộp chứa 3 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ và 6 viên bi vàng. Lấy ngẫu nhiên 6 viên bi từ hộp, tính xác suất để 6 viên bi được lấy ra có đủ cả ba màu.

A.810/1001 B.191/1001 C.4/21 D.17/21

Lời giải:

Đáp án : A

+ Số phần tử của không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 6 viên bi từ hộp chứa 14 viên bi.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là :

+ Gọi A là biến cố: “ 6 viên bi được lấy ra có đủ cả ba màu”.

Để tìm số phần tử của biến cố A ta đi tìm số phần tử của biến cố A tức là 6 viên bi lấy ra không có đủ ba màu như sau:

Trường Hợp 1: Chọn 6 viên bi chỉ có một màu (chỉ chọn được màu vàng).

Do đó trường hợp này có

Trường Hợp 2:

Suy ra số phần tử của biến cố A là: n(A)=1+572=573

Suy ra số phần tử của biến cố A là: n(A)= 3003- 573= 2430

Vậy xác suất cần tính P(A)= 2430/3003 = 810/1001