Lý thuyết, cách xác định và bài tập các công thức đạo hàm
Với tài liệu về các công thức đạo hàm bao gồm: lý thuyết và bài tập cũng như những định nghĩa, tính chất, các dạng bài sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức và học tốt môn Toán hơn.
Đạo hàm
A. Phương pháp giải & Ví dụ
1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0 ∈ (a; b). Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)
thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại x0 và kí hiệu là f’(x0) (hoặc y’(x0)), tức là
Chú ý:
Đại lượng Δx = x – x0 gọi là số gia của đối số x tại x0.
Đại lượng Δy = f(x) – f(x0) = f(x0 + Δx) – f(x0) được gọi là số gia tương ứng của hàm số. Như vậy
2. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa
Bước 1. Giả sử Δx là số gia của đối số x tại x0, tính Δy = f(x0 + Δx) – f(x0).
Chú ý: Trong định nghĩa trên đây, thay xo bởi x ta sẽ có định nghĩa và quy tắc tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x ∈ (a, b)
Ví dụ minh họa
Bài 1: Cho hàm số có Δx là số gia của đối số tại x = 2. Khi đó
bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn:
Tập xác định của hàm số đã cho là D = [2/3; +∞)
Với Δx là số gia của đối số tại x = 2 sao cho 2 + Δx ∈ D, thì
Bài 2: Cho hàm số f(x) = 3x + 5.Tính đạo hàm của hàm số đã cho bằng định nghĩa.
Hướng dẫn:
Tập xác định của hàm số đã cho là D = R
Ta có Δy = 3(x+Δx) + 5 - 3x - 5 = 3Δx
Khi đó:
Bài 3: Cho hàm số
Đạo hàm của hàm số đã cho tại x = 1?
Hướng dẫn:
với Δx là số gia của đối số tại x = 1, ta có
Bài 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm đã cho: f(x)= 2x3 + 1 tại x = 2
Hướng dẫn:
Ta có
Bài 5: Tính đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm đã cho:
Hướng dẫn:
Ta có
Bài 6: Tính đạo hàm của hàm số:
Hướng dẫn:
Ta có f(0) = 0, do đó:
Bài 7: Tính đạo hàm của hàm số bằng định nghĩa
Hướng dẫn:
Tập xác định của hàm số đã cho là D = R\{-1}
Ta có
B. Bài tập vận dụng
Bài 1: Cho hàm số f(x) = x2 + 2x, có Δx là số gia của đối số tại x = 1, Δy là số gia tương ứng của hàm số. Khi đó Δy bằng:
A. (Δx)2 + 2Δx
B. (Δx)2 + 4Δx
C. (Δx)2 + 2Δx - 3
D. 3
Lời giải:
Đáp án: B
Δy = f(1 + Δx) - f(1) = (1 + Δx)2 + 2(1 + Δx) - (1 + 2) = (Δx)2 + 4Δx
Đáp án B
Bài 2: Cho hàm số
Đạo hàm của hàm số đã cho tại x = 1 là:
A. 1/4 B. -1/2 C. 0 D. 1/2
Lời giải:
Đáp án: A
với Δx là số gia của đối số tại x = 1, ta có
Đáp án A
Bài 3: Cho hàm số f(x) = |x + 1|. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. f(x) liên tục tại x = -1
B. f(x) có đạo hàm tại x = -1
C. f(-1) = 0
D. f(x) đạt giá trị nhỏ nhất tại x = -1
Lời giải:
Đáp án: B
Suy ra không tồn tại giới hạn của tỉ số khi x → -1
Do đó hàm số đã cho không có đạo hàm tại x = -1
Vậy chọn đáp án là B
Bài 4: Số gia của hàm số f(x) = 2x2 - 1 tại x0 = 1 ứng với số gia Δx = 0,1 bằng:
A. 1
B. 1,42
C. 2,02
D. 0,42
Lời giải:
Đáp án: B
chọn đáp án là B
Bài 5: Cho hàm số y = √x, Δx là số gia của đối số tại x. Khi đó Δy/Δx bằng:
Lời giải:
Đáp án: C
Δy = f(x0 + Δx) - f(x0)
Vậy chọn đáp án là C
Bài 6: Cho hàm số
Đạo hàm của hàm số đã cho tại x = 1?
A. 1 B. 0 C. 1/4 D. -1/4
Lời giải:
Đáp án: C
Ta có
Vậy chọn đáp án là C
Bài 7: Đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm đã cho: f(x) = 2x3 + 1 tại x = 2?
A. 10
B. 24
C. 22
D. 42
Lời giải:
Đáp án: B
Ta có
Vậy chọn đáp án là B
Bài 8: Đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm đã cho:
A. 1/2 B. -1/√2 C. 0 D. 3
Lời giải:
Đáp án: A
Ta có f(0) = 0, do đó:
Vậy chọn đáp án là A
Bài 9: Hàm số có Δx là số gia của đối số tại x = 2. Khi đó Δy/Δx bằng?
Lời giải:
Đáp án: A
Vậy chọn đáp án là A
Bài 10: Đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm đã cho: f(x) = x2 + 1 tại x = 1?
A. 1/2 B. 1 C. 0 D. 2
Lời giải:
Đáp án: D
Vậy chọn đáp án là D
C. Bài tập tự luyện
Bài 1. Cho hàm số f(x) = 2x2 + x + 1. Hãy tính f'(2) theo phương pháp tính đạo hàm bằng định nghĩa.
Bài 2. Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của mỗi hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra:
a) y = x2 + x tại x0 = 5.
b) y = tại x0 = -3.
Bài 3. Cho hàm số: y = . Tính đạo hàm của hàm số tại x0 = 1.
Bài 4. Cho hàm số: f(x) = . Khi đó f’(0) là kết quả nào?
Bài 5. Tìm a; b để hàm số y = f(x) = có đạo hàm tại x = 1.
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Xem thêm các chương trình khác:
- Các dạng bài tập Tiếng Anh thông dụng nhất
- 3000 câu hỏi ôn tập môn Tiếng Anh có đáp án
- Toàn bộ kiến thức về cụm động từ | Định nghĩa và cách dùng
- 500 đoạn văn Tiếng Anh thông dụng nhất và cách làm
- 1000 câu hỏi ôn tập môn Công nghệ có đáp án
- 1000 câu hỏi ôn tập Giáo dục công dân
- 3000 câu hỏi ôn tập môn Vật lí có đáp án
- Tổng hợp Dạng bài - Công thức môn Vật lí
- Phương trình hóa học | Tổng hợp PTHH của các chất hữu cơ, vô cơ chính xác nhất
- Đồng phân & Công thức cấu tạo của các chất hữu cơ
- Nhận biết các chất Hóa học
- Cấu hình electron
- So sánh bán kính nguyên tử và bán kính ion
- 1000 câu hỏi ôn tập môn Hóa có đáp án
- Wiki các chất hóa học | Định nghĩa, tính chất, nhận biết, điều chế, ứng dụng
- Cách đọc danh pháp hóa học (chương trình mới) đầy đủ nhất
- Công thức Lewis của một số chất thường gặp (chương trình mới)
- Công thức electron của một số chất thường gặp (chương trình mới)
- Công thức cấu tạo của một số chất thường gặp (chương trình mới)
- Công thức hợp chất khí với hidro của các nguyên tố (phổ biến) | Cách viết công thức hợp chất khí với hidro
- Công thức hidroxit cao nhất của các nguyên tố (phổ biến) | Cách viết công thức hidroxit cao nhất
- Công thức oxit cao nhất của các nguyên tố (phổ biến) | Cách viết công thức oxit cao nhất
- 2000 câu hỏi ôn tập môn Tin học có đáp án
- 3000 câu hỏi ôn tập môn Lịch sử có đáp án
- 3000 câu hỏi ôn tập môn Địa lí có đáp án
- 2000 câu hỏi ôn tập môn Sinh học có đáp án
- Tổng hợp Dạng bài - Công thức môn Sinh học
- Tổng hợp về các tác giả văn học
- 3000 câu hỏi ôn tập môn Ngữ văn có đáp án
- Tổng hợp kiến thức Ngữ Văn
- Trò chơi Powerpoint | Game Powerpoint
- Tổng hợp bài thu hoạch BDTX Giáo viên mầm non (2024) theo Thông tư 12
- Tổng hợp bài thu hoạch BDTX Giáo viên tiểu học (2024)
- Tổng hợp bài thu hoạch BDTX Giáo viên THCS (2024)
- Tổng hợp bài thu hoạch BDTX Giáo viên THPT (2024)