Lý thuyết, cách xác định và bài tập các công thức đạo hàm

Đạo hàm

A. Phương pháp giải & Ví dụ

1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x₀ ∈ (a; b). Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)

thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại x₀ và kí hiệu là f’(x₀) (hoặc y’(x₀)), tức là

Chú ý:

Đại lượng Δx = x – x₀ gọi là số gia của đối số x tại x₀.

Đại lượng Δy = f(x) – f(x₀) = f(x₀ + Δx) – f(x₀) được gọi là số gia tương ứng của hàm số. Như vậy

2. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa

Bước 1. Giả sử Δx là số gia của đối số x tại x₀, tính Δy = f(x₀ + Δx) – f(x₀).

Chú ý: Trong định nghĩa trên đây, thay x_o bởi x ta sẽ có định nghĩa và quy tắc tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x ∈ (a, b)

Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho hàm số có Δx là số gia của đối số tại x = 2. Khi đó bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn:

Tập xác định của hàm số đã cho là D = [2/3; +∞)

Với Δx là số gia của đối số tại x = 2 sao cho 2 + Δx ∈ D, thì

Bài 2: Cho hàm số f(x) = 3x + 5.Tính đạo hàm của hàm số đã cho bằng định nghĩa.

Hướng dẫn:

Tập xác định của hàm số đã cho là D = R

Ta có Δy = 3(x+Δx) + 5 - 3x - 5 = 3Δx

Khi đó:

Bài 3: Cho hàm số

Đạo hàm của hàm số đã cho tại x = 1?

Hướng dẫn:

với Δx là số gia của đối số tại x = 1, ta có

Bài 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm đã cho: f(x)= 2x³ + 1 tại x = 2

Hướng dẫn:

Ta có

Bài 5: Tính đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm đã cho:

Hướng dẫn:

Ta có

Bài 6: Tính đạo hàm của hàm số:

Hướng dẫn:

Ta có f(0) = 0, do đó:

Bài 7: Tính đạo hàm của hàm số bằng định nghĩa

Hướng dẫn:

Tập xác định của hàm số đã cho là D = R\{-1}

Ta có

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho hàm số f(x) = x² + 2x, có Δx là số gia của đối số tại x = 1, Δy là số gia tương ứng của hàm số. Khi đó Δy bằng:

A. (Δx)² + 2Δx

B. (Δx)² + 4Δx

C. (Δx)² + 2Δx - 3

D. 3

Lời giải:

Đáp án: B

Δy = f(1 + Δx) - f(1) = (1 + Δx)² + 2(1 + Δx) - (1 + 2) = (Δx)² + 4Δx

Đáp án B

Bài 2: Cho hàm số

Đạo hàm của hàm số đã cho tại x = 1 là:

A. 1/4 B. -1/2 C. 0 D. 1/2

Lời giải:

Đáp án: A

với Δx là số gia của đối số tại x = 1, ta có

Đáp án A

Bài 3: Cho hàm số f(x) = |x + 1|. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. f(x) liên tục tại x = -1

B. f(x) có đạo hàm tại x = -1

C. f(-1) = 0

D. f(x) đạt giá trị nhỏ nhất tại x = -1

Lời giải:

Đáp án: B

Suy ra không tồn tại giới hạn của tỉ số khi x → -1

Do đó hàm số đã cho không có đạo hàm tại x = -1

Vậy chọn đáp án là B

Bài 4: Số gia của hàm số f(x) = 2x² - 1 tại x₀ = 1 ứng với số gia Δx = 0,1 bằng:

A. 1

B. 1,42

C. 2,02

D. 0,42

Lời giải:

Đáp án: B

chọn đáp án là B

Bài 5: Cho hàm số y = √x, Δx là số gia của đối số tại x. Khi đó Δy/Δx bằng:

Lời giải:

Đáp án: C

Δy = f(x₀ + Δx) - f(x₀)

Vậy chọn đáp án là C

Bài 6: Cho hàm số

Đạo hàm của hàm số đã cho tại x = 1?

A. 1 B. 0 C. 1/4 D. -1/4

Lời giải:

Đáp án: C

Ta có

Vậy chọn đáp án là C

Bài 7: Đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm đã cho: f(x) = 2x³ + 1 tại x = 2?

A. 10

B. 24

C. 22

D. 42

Lời giải:

Đáp án: B

Ta có

Vậy chọn đáp án là B

Bài 8: Đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm đã cho:

A. 1/2 B. -1/√2 C. 0 D. 3

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có f(0) = 0, do đó:

Vậy chọn đáp án là A

Bài 9: Hàm số có Δx là số gia của đối số tại x = 2. Khi đó Δy/Δx bằng?

Lời giải:

Đáp án: A

Vậy chọn đáp án là A

Bài 10: Đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm đã cho: f(x) = x² + 1 tại x = 1?

A. 1/2 B. 1 C. 0 D. 2

Lời giải:

Đáp án: D

Vậy chọn đáp án là D

C. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hàm số f(x) = 2x² + x + 1. Hãy tính f'(2) theo phương pháp tính đạo hàm bằng định nghĩa.

Bài 2. Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của mỗi hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra:

a) y = x² + x tại x₀ = 5.

b) y = $\frac{1}{x}$ tại x₀ = -3.

Bài 3. Cho hàm số: y = $\left\{\begin{array}{l}x-5\left(x\ge 1\right)\\ \frac{x^2-2x+1}{x-1}\left(x<1\right)\end{array}\right.$. Tính đạo hàm của hàm số tại x₀ = 1.

Bài 4. Cho hàm số: f(x) = $\left\{\begin{array}{l}\frac{3-\sqrt{4-x}}{4}\left(x\ne 0\right)\\ \frac{1}{4}\left(x=0\right)\end{array}\right.$. Khi đó f’(0) là kết quả nào?

Bài 5. Tìm a; b để hàm số y = f(x) = $\left\{\begin{array}{l}{x}^2+3\left(x\ge 1\right)\\ ax+b\left(x<1\right)\end{array}\right.$ có đạo hàm tại x = 1.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Dạng 2: Tính đạo hàm bằng công thức

• Dạng 3: Tính đạo hàm của hàm số lượng giác