Lý thuyết, cách xác định và bài tập các công thức hình nón

Công thức hình nón

1. Công thức tính diện tích đáy

- Đáy hình nón là hình tròn nên $S_d=\pi r^2$

VD1. Cho hình nón có độ dài đường sinh bằng 10 và chiều cao bằng 6. Tính diện tích đáy của hình nón đã cho.

Lời giải:

Bán kính đường tròn đáy là :

$r=\sqrt{l^2-h^2}=\sqrt{{10}^2-6^2}=8$

Suy ra diện tích đáy là: $S_d=\pi r^2=64\pi$

VD2. Cho tứ diện đều ABCD có thể tích $2\sqrt{6}{a}^3$. Tính diện tích đáy của hình nón ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Lời giải:

Ta có:

$$\begin{gathered} V_{ABCD}=\frac{B{C}^3.\sqrt{2}}{12} \\ =2\sqrt{6}{a}^3\Rightarrow BC=2\sqrt{3}a \end{gathered}$$

Suy ra :

$$\begin{gathered} S_d=S_{\Delta BCD}=\frac{{\left(2\sqrt{3}a\right)}^2.\sqrt{3}}{4} \\ =3\sqrt{3}{a}^2 \end{gathered}$$

2. Công thức tính diện tích xung quanh hình nón.

Cho hình nón có bán kính đáy r và độ dài đường sinh l.

VD1. Cho tam giác ABC vuông tại A có $AB=9$; $AC=12$. Tính diện tích xung quanh hình nón tạo thành khi quay tam giác ABC quanh trục AB.

Lời giải:

Theo bài ta có: $h=AB=9$; $r=AC=12$

$$\begin{gathered} \Rightarrow l=\sqrt{h^2+r^2} \\ =\sqrt{9^2+{12}^2}=15 \end{gathered}$$

Vậy diện tích xung quanh hình nón là $S_{xq}=\pi rl=180\pi$

VD2. Cho hình nón có chu vi đáy bằng $20\pi$. Thiết diện qua trục là một tam giác vuông. Tính diện tích xung quanh hình nón.

Lời giải:

Chu vi đáy là :

$C=2\pi r=20\pi \Rightarrow r=10$

Do thiết diện qua trục là tam giác vuông nên $l=r\sqrt{2}=10\sqrt{2}$

Do đó $S_{xq}=\pi rl=100\sqrt{2}\pi$

3. Công thức tính diện tích toàn phần hình nón.

Cho hình nón có bán kính r, chiều cao h và đường sinh l

Diện tích toàn phần:

$$\begin{gathered} S_{tp}=S_{xq}+S_d \\ \Rightarrow S_{tp}=\pi rl+\pi r^2 \\ =\pi r\left(l+r\right) \end{gathered}$$

VD1. Cho hình nón có diện tích xung quanh bằng $65\pi$ và độ dài đường sinh bằng 13. Tính diện tích toàn phần của hình nón.

Lời giải:

Ta có:

$$\begin{gathered} S_{xq}=\pi .r.l=65\pi \\ \Rightarrow \pi .r.13=65\pi \iff r=5 \\ \Rightarrow S_{tp}=\pi r\left(l+r\right) \\ =\pi \mathrm{.5.}\left(13+5\right)=90\pi \end{gathered}$$

VD2. Cho hình nón có góc ở đỉnh là ${120}^{\circ }$ và đường sinh dài 10. Tính diện tích toàn phần của hình nón đã cho

Lời giải:

Góc ở đỉnh là :

$\widehat{AOB}={120}^{\circ }\Rightarrow \widehat{IOB}={60}^{\circ }$

Ta có :

$r=IB=OB.\sin {60}^{\circ }=5\sqrt{3}$

$$\begin{gathered} \Rightarrow S_{tp}=\pi r\left(l+r\right) \\ =\pi .5\sqrt{3}.\left(10+5\sqrt{3}\right) \\ =\left(75+50\sqrt{3}\right)\pi \end{gathered}$$