Cách tìm chữ số tận cùng của lũy thừa

Cách tìm chữ số tận cùng của lũy thừa

I. Phương pháp giải

Nắm vững các nhận xét sau để làm bài

- Tất cả các số có chữ số tận cùng là: 0; 1; 5; 6 nâng lên lũy thừa nào (khác 0) cũng có chữ số tận cùng là chính những số đó.

- Để tìm chữ số tận cùng của một số ta thường đưa về dạng các số có chữ số tận cùng là một trong các chữ số đó.

- Lưu ý: những số có chữ số tận cùng là 4 nâng lên lũy thừa bậc chẵn sẽ có chữ số tận cùng là 6 và nâng lên lũy thừa bậc lẻ sẽ có chữ số tận cùng là 4. Những số có chữ số tận cùng là 9 nâng lên lũy thừa bậc chẵn sẽ có chữ số tận cùng là 1 và nâng lên lũy thừa bậc lẻ sẽ có chữ số tận cùng là 9.

- Chú ý :    2⁴ = 16   3⁴ = 81    7⁴ = 2401    8⁴ = 4096

- Tất cả các chữ số có tận cùng là là 01, 25, 76 nâng lên lũy thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng chính nó.

- Các số 2²⁰; 4¹⁰; 16⁵; 6⁵; 18⁴; 24²; 68⁴; 74² có tận cùng là 76.

- Các số 3²⁰; 9¹⁰; 81⁵; 7⁴; 51²; 99² có tận cùng là 01.

- Số 5ⁿ (với n ∈ N , n > 0) có tận cùng là 25.

- Số 26ⁿ (với n ∈ N, n > 1) có tận cùng là 76.

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm chữ số tận cùng của các số sau:

2000²⁰²⁰; 1111²⁰²⁰; 98765⁴³²¹; 2046⁴⁰²⁶

Lời giải:

Áp dụng nhận xét thứ nhất phần lý thuyết, ta có

Chữ số tận cùng của số 2000²⁰²⁰ là 0 (Vì số 2000 có tận cùng là 0)

Chữ số tận cùng của số 1111²⁰²⁰ là 1 (Vì số 1111 có tận cùng là 1)

Chữ số tận cùng của số 98765⁴³²¹ là 5 (Vì số 98765 có tận cùng là 5)

Chữ số tận cùng của số 2046⁴⁰²⁶ là 6 (vì số 2046 có tận cùng là 6)

Ví dụ 2: Tìm hai chữ số tận cùng của: 2¹⁰⁰

Lời giải:

Dựa vào nhận xét phần lý thuyết

Ta có:

(Số 2²⁰ có tận cùng là 76 và số có tận cùng là 76 thì nâng lên lũy thừa nào khác 0 cũng có tận cùng là 76)

III. Bài tập vận dụng

Câu 1. Số 1250^2020202 có tận cùng là chữ số

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Lời giải:

Vì số 1250 có chữ số tận cùng là 0 nên nâng lên lũy thừa nào khác 0 cũng có tận cùng là 0

Do đó 1250^2020202 có tận cùng là chữ số 0.

Đáp án A

Câu 2. Hai chữ số tận cùng của số 3¹⁰⁰ là

A. 00

B. 01

C. 02

D. 03

Lời giải:

Ta có:

(số 3²⁰ có tận cùng là 01 và số nào có hai chữ số tận cùng là 01 thì nâng lên lũy thừa nào khác 0 cũng có tận cùng là 01.

Đáp án B

Câu 3. Số 9⁹⁶ có chữ số tận cùng là:

A. 0

B. 1

C. 5

D. 6

Lời giải:

Ta có:

Vì số 81 có tận cùng là 1 nên 81⁴⁸ cũng có tận cùng là 1 do số nào có chữ số tận cùng là 1 thì nâng lên lũy thừa nào khác 0 thì cũng có tận cùng là 1.

Đáp án B

Câu 4. Chữ số tận cùng của số 204²⁰⁸ là

A. 4

B. 6

C. 8

D. 0

Lời giải:

Ta có:

(số 41616 có tận cùng là 6 nên ta nâng lên lũy thừa nào khác 0 đều có tận cùng là 6).

Đáp án B

Câu 5. Số 1023²⁰⁸ có chữ số tận cùng là:

A. 1

B. 2

C. 7

D. 9

Lời giải:

Ta có:

(những số có tận cùng bằng 9 thì nâng lên lũy thừa bậc chẵn khác 0 có tận cùng là 1)

Đáp án A

Câu 6. Chữ số tận cùng của hiệu 8¹⁰² - 2¹⁰² là

A. 1

B. 2

C. 6

D. 0

Lời giải:

Ta có:

(số có chữ số tận cùng là 6 thì nâng lên lũy thừa nào khác 0 cũng có tận cùng là 6)

Lại có:

(số có chữ số tận cùng là 6 thì nâng lên lũy thừa nào khác 0 cũng có tận cùng là 6)

Suy ra

Vậy hiệu 8¹⁰² - 2¹⁰² có chữ số tận cùng là 0.

Đáp án D

Câu 7. Số 7¹⁹⁹¹ có hai chữ số tận cùng là:

A. 01

B. 25

C. 43

D. 34

Lời giải:

Ta thấy: 7⁴ = 2401 mà số nào có chữ số tận cùng là 01 thì nâng lên lũy thừa nào khác 0 cũng có tận cùng là 01, do đó ta có

Vậy số 7¹⁹⁹¹ có hai chữ số tận cùng là 43.

Đáp án C

Câu 8. Hai chữ số tận cùng của số 5¹⁹⁹² là:

A. 01

B. 25

C. 76

D. 52

Lời giải:

Ta có:

(số có tận cùng là 25 thì khi nâng lên lũy thừa nào khác 0 cũng có tận cùng bằng 25)

Đáp án B

Câu 9. Số 26¹⁵⁷⁰ có hai chữ số tận cùng là:

A. 01

B. 25

C. 76

D. 09

Lời giải:

Ta có:

(số nào có tận cùng là 76 thì nâng lên lũy thừa nào khác 0 cũng có tận cùng là 76)

Đáp án C

Câu 10. Tìm hai chữ số tận cùng của số 51⁵¹

A. 51

B. 25

C. 76

D. 01

Lời giải:

Vì 51² = 2601 mà số có tận cùng là 01 thì nâng lên lũy thừa nào khác 0 cũng có tận cùng là 01

Nên ta có:

Vậy hai chữ số tận cùng của số 51⁵¹ là 51.

Đáp án A

IV. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tìm chữ số tận cùng của các số

a) 2²⁰²⁴;

b) 14¹⁴¹⁴;

c) 4⁵⁶⁷.

Bài 2. Tìm chữ số tận cùng của tổng S = 2¹ + 3⁵ + 4⁹ + … + 2004⁸⁰⁰⁹.

Bài 3. Tìm chữ số tận cùng của tổng T = 2³ + 3⁷ + 4¹¹ + … + 2004⁸⁰¹¹.

Bài 4. Tồn tại hay không số tự nhiên n sao cho n² + n + 1 chia hết cho 1995²⁰⁰⁰.

Bài 5. Chứng minh rằng tổng sau không thể là số chính phương:

M = 19^k + 5^k + 1995^k + 1996^k (với k chẵn).