Định lý Pytago? Định lý Pytago đảo?

Định lý Pytago? Định lý Pytago đảo?

1. Định lý Pytago

Định lý Pythagore:

Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông.

Chẳng hạn, với tam giác ABC vuông tại A (như hình vẽ).

Ta có: BC² = AB² + AC² hay a² = b² + c² (với a = BC, b = AC, c = AB).

Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6 cm, AC = 8 cm. Tính độ dài cạnh BC.

Hướng dẫn giải

Do tam giác ABC vuông tại A nên áp dụng định lý Pythagore, ta có:

BC² = AB² + AC²

Suy ra BC² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100.

Do đó $BC=\sqrt{100}=10\text{ (}cm)$

Vậy BC = 10 cm.

2. Định lý Pytago đảo

Phát biểu định lý Pythagore đảo:

Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh còn lại thì tam giác đó là tam giác vuông.

Chẳng hạn, với tam giác ABC (như hình vẽ).

Nếu BC² = AB² + AC² hay a² = b² + c² (với a = BC, b = AC, c = AB) thì tam giác ABC vuông tại A.

Ví dụ: Cho tam giác DEG có DE = 7 cm, DG = 24 cm và EG = 25 cm. Tam giác DEG có phải là tam giác vuông hay không?

Hướng dẫn giải

Xét tam giác DEG, ta có: EG² = 25² = 625 (cm²)

Mặt khác, DE² + DG² = 7² + 24² = 49 + 576 = 625 cm²)

Suy ra EG² = DE² + DG².

Do đó tam giác DEG vuông tại D (theo định lý Pythagore đảo).

3. Bài tập Định lí Pythagore

3.1. Bài tập tự luận

Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, tính độ dài cạnh còn lại trong các trường hợp sau:

a) AB = 5 cm, AC = 12 cm;

b) $AB= \sqrt{3}cm,BC=12cm$ ;

c) AB – AC = 7 cm, AB + AC = 17 cm.

Hướng dẫn giải

a) Do tam giác ABC vuông tại A nên áp dụng định lý Pythagore, ta có:

BC² = AB² + AC²

Suy ra BC² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169.

Do đó $BC =\sqrt{169}=13\text{ (}cm)$

Vậy BC = 13 cm.

b) Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A, ta có:

BC² = AB² + AC²

Suy ra $A{C}^2=B{C}^2–A{B}^2={12}^2–{\left(\sqrt{3}\right)}^2=144–3=141$

Do đó $AC=\sqrt{141}=11,87\left(cm\right)$

Vậy AC = 11,87 cm.

c) Theo bài ta có: AB – AC = 7 suy ra AB = AC + 7

Mặt khác, AB + AC = 17 suy ra AC + 7 + AC = 17

Hay 2AC = 17 – 7 = 10 suy ra AC = 5 cm và AB = 12 cm

Do tam giác ABC vuông tại A nên áp dụng định lý Pythagore, ta có:

BC² = AB² + AC²

Suy ra BC² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169.

Do đó $BC =\sqrt{169}=13\text{ (}cm)$ .

Vậy BC = 13 cm.

Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết $\frac{AB}{AC}=\frac{4}{3}$ và BC = 20 cm. Tính độ dài các cạnh AB và AC.

Hướng dẫn giải

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A, ta có:

AB² + AC² = BC² = 20² = 400.

Từ đề bài: $\frac{AB}{AC}=\frac{4}{3}$ hay $\frac{AB}{4}=\frac{AC}{3}$ suy ra $\frac{A{B}^2}{16}=\frac{A{C}^2}{9}$ .

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{A{B}^2}{16}=\frac{A{C}^2}{9}=\frac{A{B}^2+A{C}^2}{16+9}=\frac{400}{25}=16$

AB² = 16.16 suy ra AB = 16 cm.

AC² = 9 . 16 = 144 suy ra AC = 12 cm.

Vậy AB = 16 cm; AC = 12 cm.

Bài 3. Cho hình vẽ sau. Tìm giá trị của a.

Hướng dẫn giải

Áp dụng định lý Pythagore và tam giác ADE vuông tại A, ta có:

AD² + AE² = DE²

AE² = DE² – AD²

Suy ra AE = 4.

Suy ra AB = AE + EB = 4 + 4 = 8.

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A, ta có:

AB² + AC² = BC²

Suy ra BC² = 8² + 6² = 100 suy ra BC = 10 hay a = 10.

Vậy a = 10.

3.2. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Cho tam giác ABC vuông tại B khi đó x = 1

Lời giải:

Vì tam giác ABC vuông tại B nên theo định lí Pytago có:

Đáp án cần chọn là: A

Câu 2: Cho tam giác MNP vuông tại P khi đó:

Lời giải:

Vì Cho tam giác MNP vuông tại P nên theo định lí Pytago có:

Đáp án cần chọn là: D

Câu 3: Cho tam giác ABC vuông cân ở A. Tính độ dài BC biết AB = AC = 2dm

Lời giải:

Vì tam giác ABC vuông cân tại tại A nên theo định lí Pytago có:

Đáp án cần chọn là: D

Câu 4: Cho tam giác ABC vuông cân ở A. Tính độ dài BC biết AB = AC = 4dm

Lời giải:

Vì tam giác ABC vuông cân tại tại A nên theo định lí Pytago có:

Đáp án cần chọn là: D

Câu 5: Một tam giác có cạnh huyền bằng 26cm độ dài các cạnh góc vuông tỉ lệ với 5 và 12. Tính độ dài các cạnh góc vuông

A. 12 cm; 24 cm

B. 10 cm; 22 cm

C. 10 cm; 24 cm

D. 15 cm; 24 cm

Lời giải:

Gọi độ dài hai cạnh góc vuông là x; y (x; y > 0)

Vậy các cạnh góc vuông có độ dài 10 cm; 24 cm

Đáp án cần chọn là: C

Câu 6: Một tam giác có cạnh huyền bằng 20cm độ dài các cạnh góc vuông tỉ lệ với 3 và 4. Tính độ dài các cạnh góc vuông

A. 9 cm; 12 cm

B. 10 cm; 16 cm

C. 12 cm; 16 cm

D. 12 cm; 14 cm

Lời giải:

Gọi độ dài hai cạnh góc vuông là x; y (x; y > 0)

Vậy các cạnh góc vuông có độ dài 12 cm; 16 cm

Đáp án cần chọn là: C

Câu 7:Cho tam giác ABC vuông ở A có AC = 20cm. Kẻ AH vuông góc BC. Biết BH = 9cm; HC = 16cm. Tính AB,AH

Lời giải:

Ta có: BC = BH + HC = 9 + 16 = 25cm

Xét tam giác ABC vuông tại A, theo định lí Pytago ta có:

Xét tam giác ABH vuông tại H, theo định lí Pytago ta có:

Đáp án cần chọn là: A

Câu 8: Cho tam giác ABC vuông ở A có AC = 8cm. Kẻ AH vuông góc BC. Biết BH = 3,6cm; HC = 6,4cm. Tính AB,AH

Lời giải:

Ta có: BC = BH + HC = 3,6 + 6,4 = 10cm

Xét tam giác ABC vuông tại A, theo định lí Pytago ta có:

Xét tam giác ABH vuông tại H, theo định lí Pytago ta có:

Đáp án cần chọn là: A

Câu 9: Cho hình vẽ . Tính x

Lời giải:

Áp dụng định lí Pytago cho tam giác ABC vuông tại B ta được:

Đáp án cần chọn là: D

Câu 10: Cho hình vẽ. Tính x

Lời giải:

Áp dụng định lí Pytago cho tam giác ABC vuông tại B ta được:

Đáp án cần chọn là: D

Câu 12: Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ AH vuông góc với BC tại H. Cho AH = 4cm, AB = 5cm

12.1: Tính BH

A. 2 (cm)

B. 5 (cm)

C. 3 (cm)

D. 4 (cm)

Lời giải:

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác ABH vuông tại H ta có:

Đáp án cần chọn là: C

12.2: Chu vi tam giác ABC

A. 18 (cm)

B. 15(cm)

C. 16 (cm)

D. 20(cm)

Lời giải:

Áp dụng kết quả câu trước có BH = 3cm

ΔABC cân tại A nên AB = AC = 5cm

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ACH vuông tại H ta có:

Đáp án cần chọn là: C

Câu 13: Cho tam giác ABC, kẻ AH vuông góc BC. Tính chu vi ΔABC biết AB = 5cm, AH = 4cm, HC = √184 cm (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)

A. 30,8 cm

B. 35,7 cm

C. 31 cm

D. 31,7 cm

Lời giải:

Áp dụng định lí Pytago cho tam giác ABH vuông tại H ta được:

Áp dụng định lí Pytago cho tam giác vuông AHC ta được:

Đáp án cần chọn là: B

Câu 14: Cho tam giác ABC, kẻ AH vuông góc BC. Tính chu vi ΔABC biết AB = 15cm, AH = 12cm, HC = 16cm

A. 62 cm

B. 60 cm

C. 64 cm

D. 58 cm

Lời giải:

Áp dụng định lí Pytago cho tam giác ABH vuông tại H ta được:

Suy ra BC = HB + HC = 9 + 16 = 25cm

Áp dụng định lí Pytago cho tam giác vuông AHC ta được:

Đáp án cần chọn là: B

Câu 15:Tam giác nào là tam giác vuông trong các tam giác có độ dài ba cạnh như sau

A. 15cm; 8cm; 18cm

B. 21dm; 20dm; 29dm

C. 5m; 6m; 8m

D. 2m; 3m; 4m

Lời giải:

+ Với bộ số 15cm; 8cm; 18cm ta thấy 18² = 324,15² + 8² = 289

Nên 289 < 324 hay 15² + 8² < 18²

Nên loại A

+ Với bộ số 21dm; 20dm; 29dm ta thấy 29² = 841; 21² + 20² = 841

Nên 21² + 20² = 29² hay tam giác với độ dài 21dm; 20dm; 29dm thì tam giác đó là tam giác vuông (theo định lí Pytago đảo)

+Với bộ số 5m; 6m; 8m ta thấy 8² = 64; 5² + 6² = 41 ⇒ 8² > 5² + 6²

Nên loại C

+ Với bộ số 2m; 3m; 4m ta thấy 4² = 16; 2² + 3² = 13 ⇒ 4² > 2² + 3²

Nên loại D

Đáp án cần chọn là: B

Câu 16: Tam giác nào là tam giác vuông trong các tam giác có độ dài ba cạnh như sau

A. 11cm; 7cm; 8cm

B. 12dm; 15dm; 18dm

C. 9m; 12m; 15m

D. 6m; 7m; 9m

Lời giải:

+ Với bộ số 11cm; 7cm; 8cm ta thấy 11² = 121; 7² + 8² = 113 ⇒ 11² > 7² + 8²

Nên loại A

+ Với bộ số 12dm; 15dm; 18dm ta thấy 18² = 324; 12² + 15² = 369 ⇒ 12² + 15² > 18²

Nên loại B

+ Với bộ số 9m; 12m; 15m ta thấy 15² = 225; 9² + 12² = 225 ⇒ 9² + 12² = 15²

Theo định lí Pytago đảo, tam giác với ba cạnh có độ dài 9m;12m;15m là tam giác vuông

+ Với bộ số 6m; 7m; 9m ta thấy 9² = 81; 6² + 7² = 85 ⇒ 6² + 7² > 9²

Nên loại D

Đáp án cần chọn là: C

Câu 17:Cho hình vẽ. Tính x

Lời giải:

Áp dụng định lí Pytago cho tam giác vuông AHB ta được:

Đáp án cần chọn là: D

Câu 18: Cho hình vẽ. Tính x

Lời giải:

Áp dụng định lí Pytago cho tam giác vuông AHB ta được:

Đáp án cần chọn là: D

Câu 19: Cho ABCD là hình vuông cạnh 4 cm(hình vẽ). Khi đó, độ dài đường chéo AC là

Lời giải:

Vì ABCD là hình vuông nên AB = BC = 4cm

Áp dụng định lí Pytago cho tam giác ABC vuông tại B ta có:

Đáp án cần chọn là: A

Câu 20: Cho ABCD là hình vuông cạnh x cm(hình vẽ). Biết độ dài đường chéo AC là 6 cm. Bình phương độ dài cạnh của hình vuông là

A. 20

B. 18

C. 6

D. 16

Lời giải:

Vì ABCD là hình vuông nên AB = BC = a(cm)

Áp dụng định lí Pytago cho tam giác ABC vuông tại B ta có:

Vậy bình phương độ dài cạnh của hình vuông là 18

Đáp án cần chọn là: B

Câu 21:Tính cạnh huyền của một tam giác biết tỉ số các cạnh góc vuông 3:4 và chu vi tam giác bằng 36 cm

A. 9 cm

B. 12 cm

C. 15 cm

D. 16 cm

Lời giải:

Gọi độ dài hai cạnh góc vuông là x; y (y > x > 0) (cm) và độ dài cạnh huyền là z (z > y) (cm)

Vậy cạnh huyền dài 15cm

Đáp án cần chọn là: C

Câu 22: Tính cạnh huyền của một tam giác biết tỉ số các cạnh góc vuông 5:12 và chu vi tam giác bằng 60 cm

A. 20 cm

B. 24 cm

C. 26 cm

D. 10 cm

Lời giải:

Gọi độ dài hai cạnh góc vuông là x; y (y > x > 0) (cm) và độ dài cạnh huyền là z (z > y) (cm)

Vậy cạnh huyền dài 26cm

Đáp án cần chọn là: C

Câu 23: Tính x trong hình vẽ sau:

Lời giải:

Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A ta có:

Áp dụng định lí Pytago vào ΔABD vuông tại A ta có:

Đáp án cần chọn là: C

Câu 24: Tính x trong hình vẽ sau:

Lời giải:

Áp dụng định lí Pytago vào ΔABH vuông tại H ta có:

Áp dụng định lí Pytago vào ΔACH vuông tại H ta có:

Đáp án cần chọn là: B

Câu 25: Tính x trong hình vẽ sau:

A. 36

B. 40

C. 42

D. 30

Lời giải:

Áp dụng định lí Pytago vào ΔABH vuông tại H ta có:

Áp dụng định lí Pytago vào ΔACH vuông tại H ta có:

Ta có: BC = BH + CH = 18 + 32 = 50

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ABC vuông tại A ta có:

Đáp án cần chọn là: B

Câu 26: Cho tam giác ABC có là các góc nhọn. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống BC. Biết AH = 6cm; BH = 4,5cm; HC = 8cm. Khi đó ΔABC là tam giác gì?

A. Tam giác cân

B. Tam giác vuông

C. Tam giác vuông cân

D. Tam giác đều

Lời giải:

Áp dụng định lí Pytago vào ΔABH vuông tại H ta có:

Áp dụng định lí Pytago vào ΔACH vuông tại H ta có:

Vạy tam giác ABC vuông tại A

Đáp án cần chọn là: B

Câu 27: Một tam giác có độ dào ba đường cao là 4,8 cm; 6 cm; 8 cm. Tam giác đó là tam giác gì?

A. Tam giác cân

B. Tam giác vuông

C. Tam giác vuông cân

D. Tam giác đều

Lời giải:

Gọi a, b, c lần lượt là độ dài ba cạnh của tam giác ứng với các đường cao theo thứ tự đã cho, S là diện tích ΔABC (a, b, c, S > 0)

Suy ra b² + c² = a² nên tam giác đã cho là tam giác vuông, đỉnh góc vuông tương ứng với đường cao độ dài 4,8 cm

Đáp án cần chọn là: B