Z là tập hợp số gì? Số nguyên là gì? Số nguyên âm, số nguyên dương

Z là tập hợp số gì? Số nguyên là gì? Số nguyên âm, số nguyên dương

1. Số nguyên là gì?

Số nguyên là tập hợp gồm các số nguyên âm, số 0 và các số nguyên dương.

- Tập hợp số nguyên được ký hiệu là Z. Ký hiệu này là viết tắt của từ Zahl có nghĩa là chữ số trong tiếng Đức.

- Đây cũng là tập hợp con của hai tập hợp lớn hơn là tập hợp số hữu tỉ Q và số thực R. Đồng thời cũng là tập hợp mẹ của tập hợp số tự nhiên N.

- Tập hợp số nguyên có tính chất giống như tập hợp số tự nhiên, tập hợp số Z là vô hạn nhưng đếm được.

+ Tập hợp số nguyên Z có thể được chia thành 2 tập hợp con là Z+ và Z-. Trong đó:

Z+ là tập hợp các nguyên dương lớn hơn 0

Z- là tập hợp các số nguyên âm nhỏ hơn 0

Một lưu ý là số 0 chỉ nằm trong tập hợp Z, không nằm trong hai tập con Z+ và Z-

Số 0 không phải là số nguyên âm và cũng không phải là số nguyên dương.

2. Tính chất của số nguyên

– Không có khái niệm số nguyên lớn nhất và số nguyên nhỏ nhất. Khái niệm lớn nhất và nhỏ nhất chỉ mang tính chất tương đối và phụ thuộc vào điều kiện trong từng trường hợp.

– Số nguyên dương nhỏ nhất là 1. Số nguyên âm lớn nhất là -1.

– Số nguyên Z bao gồm vô số tập con hữu hạn. Những tập con đó sẽ có số nguyên nhỏ nhất và lớn nhất xác định.

– Không tồn tại một số nguyên nào nằm giữa hai số nguyên liên tiếp.

3. Số đối

Trên trục số các điểm 1 và -1, 2 và -2, 3 và -3,… cách đều điểm 0 và nằm ở hai phía của điểm 0. Ta nói các số 1 và -1, 2 và -2, 3 và -3,… là các số đối nhau.

Số đối của số 0 là 0.

Ví dụ:

• Số 10 và số -10 là hai số đối nhau.

• Số 110 với số -110 là hai số đối nhau.

4. Biểu diễn số nguyên trên trục số

- Số nguyên âm có thể được biểu diễn trên tia đối của tia đối số đó, gọi là trục số. Điểm 0 được gọi là điểm gốc của trục số. Trục số có thể được vẽ theo hương ngang (nằm) hoặc hướng dọc (đứng)

- Khi vẽ trục số ngang, chiều từ dưới lên trên được gọi là chiều dương (cũng được đánh dấu bằng mũi tên), chiều từ trên cuống dưới gọi là chiều âm.

- Điểm biểu diễn số nguyên a trên trục số được gọi là điểm a.

=> Như vậy một trục số là một đường thẳng trên đó đã chọn điểm 0 gọi là điểm gốc, thường chọn chiều từ trái qua phải làm chiều dương và một đơn vị độ dài, mỗi số tự nhiên (hay số nguyên dương) được biểu diễn bởi một điểm ở bên phải điểm 0, mỗi số nguyên âm được biểu diễn bởi một điểm nằm ở bên trái điểm 0

5. So sánh hai số nguyên

Khi biểu diễn trên trục số (nằm ngang) điểm a nằm bên trái điểm b thì số nguyên a bé hơn số nguyên b. Như vậy:

+ Mọi số nguyên dương đều lớn hơn số 0

+ Mọi số âm đều bé hơn số 0 và mọi số nguyên bé hơn 0 đều là số âm

+ Mỗi số âm đều bé hơn mọi số dương.

6. Phân biệt số nguyên và số thực

	Tập số nguyên Z	Tập số thực R
Định nghĩa	Tập số nguyên gồm tập hợp các số 0, số tự nhiên (số nguyên dương) và số đối của chúng (số nguyên âm). Ký hiệu: Z	Số thực là những số không đếm được bao gồm tập hợp số nguyên, số hữu tỉ và số vô tỉ. Ký hiệu: R
Tính chất	Tập hợp các số nguyên là vô hạn và đếm được	Tập hợp các số thực là vô hạn và không đếm được.
Đặc điểm	Do bản chất tập số nguyên là vô hạn nên không tồn tại số nguyên dương lớn nhất và số nguyên âm nhỏ nhất. Ngược lại, chỉ tồn tại số nguyên dương nhỏ nhất và số nguyên âm lớn nhất (cận 0). Cụ thể, số nguyên âm lớn nhất là -1 và số nguyên dương nhỏ nhất là 1. Nếu xét trong một tập con hữu hạn của Z bất kỳ thì luôn có phần tử nhỏ nhất và phần tử lớn nhất. Khác với tập số học khác (như số hữu tỉ Q, số thực R), giữa 2 số nguyên liên tiếp sẽ không có bất kỳ số nguyên nào nằm giữa.	Số thực khác 0 bất kỳ sẽ là số dương hoặc số âm. Tổng và tích của 2 số thực không âm cũng sẽ là một số thực không âm. Có nhiều số thực hơn so với những phần tử trong tập hợp số đếm được bất kỳ. Có một hệ thống các tập hợp con vô hạn có thể đếm được của những số thực (số hữu tỉ, số nguyên, số đại số, số tính được). Phần bù của các số này (số siêu việt, số vô tỉ, số không tính được) trong số thực đều là tập hợp vô hạn không đếm được. Số thực có thể dùng để biểu thị kết quả đo lường đại lượng liên tục.

Số nguyên là tập con của số thực.

7. Bài tập về số nguyên

Bài 1: Mỗi phát biểu sau đúng hay sai:

a) 25 ∈ Z

b) - 67 ∈ N

c) 0 ∈ N*

d) 0 ∉ Z

Hướng dẫn giải: a. Đúng b. Sai c. Sai (N* là tập số tự nhiên lớn hơn 0) d. Sai

Bài 2: Các phát biểu sau đúng hay sai:

a) Tất cả các số tự nhiên đều là số nguyên.

b) Cho a ∈ Z, nếu a không phải là số nguyên dương thì a là số nguyên âm.

c) Tất cả các số nguyên đều là số tự nhiên

d) Tập hợp các số nguyên bao gồm các số tự nhiên và số nguyên âm.

e) Tất cả các số tự nhiên khác 0 đều là số nguyên dương.

f) Số 0 là số nguyên dương.

Hướng dẫn giải:

a) Đúng

b) Sai. Vì số 0 ∈ Z không phải là số nguyên dương cũng không phải là số nguyên âm.

c) Sai. Vì các số nguyên âm không phải là số tự nhiên

d) Đúng

e) Đúng

f) Sai. Vì số 0 không phải là số nguyên dương cũng không phải là số nguyên âm.

Bài 3: Sắp xếp các số nguyên sau theo thứ tự tăng dần.

a) 23; - 4; 0; 5; - 67; - 675; 123

b) -12578; 567; 43; -41; -1

c) -2; 1; -9; -54; -27

Hướng dẫn giải:

a) Các số nguyên sắp xếp theo thứ tự tăng dần là: - 675; - 67; - 4; 0; 5; 23; 123

b) Các số nguyên theo thứ tự tăng dần là: - 12578; - 41; -1; 43; 567

c) Các số nguyên sắp xếp theo thứ tự tăng dần là: -54; - 27; - 9; - 2; 1

Bài 4: Cho tập hợp A = {2; - 5; -9; 4; - 12}

a) Viết tập hợp B gồm những phần tử của A và số đối của chúng.

b) Viết tập hợp C bao gồm các phần tử lớn hơn các phần tử của B một đơn vị

c) Viết tập hợp D bao gồm các phần tử nhỏ hơn các phần tử của C hai đơn vị

Hướng dẫn giải:

a) Tập hợp B gồm những phần tử của A và số đối của chúng là: B = {2; - 5 ; - 9; 4; - 12; -2; 5; 9; - 4; 12}

b) Tập hợp C bao gồm các phần tử lớn hơn các phần tử của B một đơn vị là: C = {3; -4; - 8; 5; - 11; - 1; 6; 19; - 3; 13}

c) Tập hợp D bao gồm các phần tử nhỏ hơn các phần tử của C hai đơn vị là: D = {1; - 6; - 10; 3; - 13; - 3; 4; 17; - 5; 11 }