Lý thuyết, cách xác định và bài tập các trường hợp góc giữa 2 đường thẳng

A. Phương pháp giải

Để xác định góc giữa hai đường thẳng d và d’ ta có hai cách sau:

+ Cách 1: Gọi n→(x; y) và n'→( x'; y') lần lượt là VTPT của hai đường thẳng d và d’. Gọi α là góc giữa hai đường thẳng. Ta có:

Cosα = |cos⁡( n→; n'→ ) | =

+ Cách 2: Gọi k₁ và k₂ lần lượt là hệ số góc của hai đường thẳng. Gọi α là góc giữa hai đường thẳng. Ta có:

tgα =

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính góc giữa hai đường thẳng (a): 3x + y - 2 = 0 và (b): 2x - y + 39 = 0.

A. 30⁰ B. 60⁰ C. 90⁰ D. 45⁰

Hướng dẫn giải

Đường thẳng: 3x + y - 2 = 0có VTPT n→( 3; 1).

Đường thẳng: 2x - y + 39 = 0 có VTPT n→( 2; -1)

cos(a; b) = |cos⁡( n_a→; n_b→ ) |
=

⇒ ( a; b) = 45⁰

Chọn D.

Ví dụ 2: Tìm côsin góc giữa 2 đường thẳng ∆₁ : 10x + 5y - 1 = 0 và ∆₂ :

A. B. C. D.

Hướng dẫn:

Vectơ pháp tuyến của ∆₁; ∆₂ lần lượt là n₁→ = (2; 1); n₂→ = (1; 1)

cos(∆₁; ∆₂) = |cos⁡( n₁→, n₂→ ) | =

Chọn B.

Ví dụ 3. Tính góc giữa hai đường thẳng: 3x + y - 8 = 0 và 4x – 2y + 10 = 0 .

A. 30⁰ B. 60⁰ C. 90⁰ D. 45⁰

Lời giải

Đường thẳng: 3x + y – 8 = 0 có VTPT n₁→(3; 1)

Đường thẳng: 4x - 2y + 10= 0 có VTPT n₂→(4; -2)

cos(d₁, d₂) = |cos⁡( n₁→, n₂→ ) | = ⇒ (d₁, d₂) = 45⁰

Chọn D.

Ví dụ 4: Tìm côsin góc giữa 2 đường thẳng d₁: x + 3y - 9 = 0 và d₂:

A. B. C. D. tất cả sai

Lời giải

Vectơ pháp tuyến của d₁; d₂ lần lượt là n₁→( 1; 3); n₂→(1; -1).

Cos( d₁; d₂) = |cos⁡( n₁→, n₂→ ) | =

Chọn C.

Ví dụ 5 : Tính góc giữa hai đường thẳng: (a): = 1 và (b):

A. 0⁰ B. 45⁰ C. 60⁰ D. 90⁰

Hướng dẫn giải

Đường thẳng (a) ⇔ 4x + 2y - 8 = 0 có VTPT n→( 4; 2)

Đường thẳng (b) có VTCP u→( 2; -4) nên VTPT n'→( 4; 2)

⇒ cos(a; b) = = 1

⇒ Góc giữa hai đường thẳng đã cho là 0⁰.

Chọn A.

Ví dụ 6: Cho đường thẳng (a): x + y - 10 = 0 và đường thẳng (b): 2x + my + 99 = 0. Tìm m để góc giữa hai đường thẳng trên bằng 45⁰.

A. m = -1 B. m = 0 C. m = 1 D. m = 2

Lời giải

Đường thẳng (a) có VTPT n→( 1; 1)

Đường thẳng (b) có VTPT n'→( 2 ;m)

Để góc giữa hai đường thẳng a và b bằng 45⁰ thì

Cos45⁰ =

⇔ |2 + m| =

⇔ 4 + 4m + m² = 4 + m²

⇔ 4m = 0 ⇔ m = 0

Chọn B

Ví dụ 7: Cho đường thẳng (a): y = 2x + 3 và (b): y = -x + 6. Tính tan của góc tạo bởi hai đường thẳng (a) và (b)?

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Lời giải

Gọi α là góc tạo bởi hai đường thẳng (a) và (b).

Đường thẳng (a) có hệ số góc k₁ = 2 và đường thẳng (b) có hệ số góc k₂ = -1.

⇒ Tan của góc tạo bởi hai đường thẳng trên là:

Tgα = = 3

Chọn C.

Ví dụ 8: Cho hai đường thẳng (d₁): y = - 3x + 8 và (d₂) : x + y - 10 = 0. Tính tan của góc tạo bởi hai đường thẳng d₁ và d₂?

A. B. 1 C. 3 D.

Lời giải

Đường thẳng (d₁) có hệ số góc k₁ = - 3.

Đường thẳng (d₂) ⇔ y = -x + 10 có hệ số góc k₂ = -1.

⇒ tan của góc tạo bởi hai đường thẳng trên là:

tgα =

Chọn A.

Ví dụ 9: Cho đường thẳng (a): và đường thẳng ( b): x + my - 4 = 0. Hỏi có bao nhiêu giá trị của m để góc giữa hai đường thẳng trên bằng 60⁰.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Lời giải

+ Đường thẳng (a) có VTCP u→( m, 1) nên có VTPT n→( 1; -m) .

+ Đường thẳng (b) có VTPT n'→( 1; m).

+ Để góc giữa hai đường thẳng trên bằng 60⁰ thì:

Cos60⁰ =

⇔ 1 + m² = 2.|1 - m²| (*)

+ Nếu -1 < m < 1 thì 1 - m² > 0. Từ (*) suy ra: 1 + m² = 2 (1 - m²)

⇔ 1+ m² = 2- 2m² ⇔ 3m² = 1

⇔ m² = ⇔ m= ± ( thỏa mãn điều kiện) .

+ Nếu m ≥ 1 hoặc m ≤ -1 thì 1- m² ≤ 0. Từ (*) suy ra:

1 + m² = 2( m² - 1) ⇔ 1 + m² = 2m² - 2

⇔ m² = 3 ⇔ m = ±√3.

Vậy có 4 giá trị của m thỏa mãn.

Chọn D.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Tìm côsin góc giữa 2 đường thẳng d₁: x + 2y - 7 = 0 và d₂: 2x - 4y + 9 = 0.

A. - B. C. D.

Lời giải:

Đáp án: A

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d₁ là n₁→ = (1; 2)

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d₂ là n₂→ = (2; -4)

Gọi φ là góc giữa 2 đường thẳng ta có:

cosφ = = -

Câu 2: Tìm góc giữa đường thẳng d: 6x - 5y + 15 = 0 và ∆₂:

A. 90⁰ B. 30⁰ C. 45⁰ D. 60⁰

Lời giải:

Đáp án: A

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d là n₁→ = (6; -5)

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆₂ là n₂→ = (5; 6)

Ta có n₁→ . n₂→ ⇒ d ⊥ ∆₂.

Câu 3: Tìm côsin góc giữa 2 đường thẳng d₁: và d₂:

A. B. C. D. tất cả sai

Lời giải:

Đáp án: D

Vectơ chỉ phương của d₁; d₂ lần lượt là u₁→(3; 4); u₂→(1; 1).

Cos( d₁; d₂) = |cos⁡(u₁→; u₂→) | =

Câu 4: Góc giữa hai đường thẳng: (a): = 1 và (b): gần với số đo nào nhất?

A. 63⁰ B. 25⁰ C. 60⁰ D. 90⁰

Lời giải:

Đáp án: A

Đường thẳng (a) ⇔ 4x - 3y + 12 = 0 có VTPT n→( 4; -3).

Đường thẳng (b) có VTCP u→( 6; -12) nên VTPT n'→( 2; 1)

⇒ cos(a; b) =

⇒ Góc giữa hai đường thẳng đã cho xấp xỉ 63⁰.

Câu 5: Cho đường thẳng (a): x - y - 210 = 0 và đường thẳng (b): x + my + 47 = 0. Tìm m để góc giữa hai đường thẳng trên bằng 45⁰.

A. m = -1 B. m = 0 C. m = 1 D. m = 2

Lời giải:

Đáp án: B

Đường thẳng (a) có VTPT n→( 1; -1)

Đường thẳng (b) có VTPT n'→( 1; m)

Để góc giữa hai đường thẳng a và b bằng 45⁰ thì

Cos45⁰ =

⇔ |1 - m| =

⇔ 1- 2m + m² = 1 + m²

⇔ -2m = 0 ⇔ m = 0

Câu 6: Cho đường thẳng (a): y = -x + 30 và (b): y = 3x + 600. Tính tan của góc tạo bởi hai đường thẳng (a) và (b)?

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Lời giải:

Đáp án: B

Gọi α là góc tạo bởi hai đường thẳng (a) và (b).

Đường thẳng (a) có hệ số góc k₁ = -1 và đường thẳng (b) có hệ số góc k₂ = 3.

⇒ Tan của góc tạo bởi hai đường thẳng trên là:

Tgα = = 2

Câu 7: Cho hai đường thẳng (d₁): y = -2x + 80 và (d₂) : x + y - 10 = 0. Tính tan của góc tạo bởi hai đường thẳng d₁ và d₂?

A. B. 1 C. 3 D.

Lời giải:

Đáp án: D

Đường thẳng (d₁) có hệ số góc k₁ = - 2.

Đường thẳng (d₂) ⇔ y = -x + 10 có hệ số góc k₂ = -1.

⇒ tan của góc tạo bởi hai đường thẳng trên là:

tgα =

Câu 8: Cho đường thẳng (a): và đường thẳng ( b): 2x + y - 40 = 0.Hỏi có bao nhiêu giá trị của m để góc giữa hai đường thẳng trên bằng 45⁰.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Lời giải:

Đáp án: B

+ Đường thẳng (a) có VTCP u→( m; 2) nên có VTPT n→( 2; -m) .

+ Đường thẳng (b) có VTPT n'→( 2;1).

+ Để góc giữa hai đường thẳng trên bằng 45⁰ thì:

Cos45⁰ =

⇔ .√5 = √2|4 - m|

⇔ ( 4 + m²).5 = 2(16 - 8m + m²)

⇔ 20 + 5m² = 32 - 16m + 2m²

⇔ 3m2 + 16m - 12 = 0 ⇔ m = hoặc m = - 6

D. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tính góc giữa hai đường thẳng (a): 5x + 2y – 3 = 0 và (b): 2x + y + 7 = 0.

Bài 2. Tìm côsin góc giữa 2 đường thẳng d₁: 10x + 5y – 1 = 0 và d₂: {x = 2t + 3; y = 3 + t}.

Bài 3. Tính góc giữa hai đường thẳng: 5x + 2y – 7 = 0 và 3x – 5y + 6 = 0.

Bài 4. Cho đường thẳng (a): 3x + 2y – 10 = 0 và đường thẳng (b): 5x + my + 9 = 0. Tìm m để góc giữa hai đường thẳng trên bằng 45°?

Bài 5. Cho đường thẳng (a): y = 3x + 5 và (b): y = –2x + 4. Tính tan của góc tạo bởi hai đường thẳng (a) và (b).

Xem thêm các dạng bài tập Toán 10 có đáp án hay khác:

• Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng

• Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng