Công thức, cách tính chu vi và diện tích hình thoi (2024) chính xác nhất

Công thức, cách tính chu vi và diện tích hình thoi

I. Lý thuyết về hình thoi

1. Hình thoi là gì?

Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau hay là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau, có hai cạnh bên bằng nhau, có hai đường chéo vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường đồng thời là đường phân giác của mỗi góc.

2. Tính chất của hình thoi

- Thứ nhất, hình thoi có đầy đủ tính chất của hình bình hành: các cạnh đối song song với nhau và bằng nhau, các góc đối bằng nhau, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

- Thứ hai, hình thoi có các góc đối bằng nhau, tổng các góc trong hình thoi bằng 360 độ.

- Thứ ba, hình thoi có hai đường chéo vuông góc và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

- Thứ tư, hình thoi có hai đường chéo là đường phân giác của các góc trong hình thoi.

Trong trường hợp hình thoi có bốn góc vuông trong bằng nhau thì hình thoi được xác định là hình vuông. Như vậy, hình vuông là một trường hợp đặc biệt của hình thoi vì nó có bốn cạnh dài bằng nhau và có bốn góc vuông.

Tất cả các hình vuông đều là hình thoi nhưng không phải mọi hình thoi đều là hình vuông.

3. Dấu hiệu nhận biết hình thoi

Dựa vào những tính chất của hình thoi, các nhà toán học đã đề ra những dấu hiệu để nhận biết hình thoi từ hình tứ giác và hình bình hành

1. Hình tứ giác đặc biệt

• Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi
• Tứ giác có hai đường chéo là đường trung trực của nhau là hình thoi
• Tứ giác có hai đường chéo là đường phân giác của cả bốn góc là hình thoi.

2. Hình bình hành đặc biệt

• Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi
• Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi
• Hình bình hành có hai đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi

II. Các công thức của hình thoi

1. Công thức tính chu vi hình thoi

Muốn tính chu vi hình thoi, ta lấy tổng độ dài của các cạnh hoặc độ dài một cạnh nhân với 4. Công thức tính chu vi hình thoi như sau:

P = a + a + a + a = a x 4

Trong đó: P là chu vi hình thoi, a là chiều dài của cạnh hình thoi

2. Công thức tính diện tích hình thoi

- Công thức tính diện tích hình thoi dựa vào cạnh đáy và chiều cao

S = h x a

Trong đó: S là diện tích hình thoi, h là chiều cao của hình thoi, a là cạnh đáy

Ví dụ: Cho hình thoi ABCD có cạnh AB = BC = CD = DA = 5 (cm), chiều cao của hình thoi bằng 4 cm. Tính diện tích của hình thoi.

Giải:

Áp dụng công thức tính diện tích hình thoi có: h = 4 (cm), a = 5 (cm) ta được:

S = a x h = 5 x 4 = 20 (cm²)

Vậy diện tích của hình thoi ABCD là 20 (cm²)

Ngoài ra có các công thức tính hình thoi khác:

- Công thức tính diện tích hình thoi dựa vào hệ thức trong tam giác (trong trường hợp biết được số đo góc của hình thoi)

S = a² . sin A = a² . sin B = a² . sin C = a² . sin D

Ví dụ: Cho hình thoi ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Được biết diện tích hình thoi là 60 cm² và AC = 10 cm. Tính độ dài cạnh của hình thoi?

Giải:

Diện tích của hình thoi là:

S = 1/2 . AC . BD ⇒ BD = (2.S)/AC = (2 . 60) / 10 = 12 (cm)

Theo tính chất của hình thoi ta có: O là trung điểm của AC và BD

nên: OA = 1/2 . AC = 1/2 . 10 = 5 (cm) và OB = 1/2 . BD = 1/2 . 12 = 6 (cm)

Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác AOB ta có:

AB² = OA² + OB² = 5² + 6² = 61, suy ra: AB = 7,81 (cm)

Vậy độ dài cạnh của hình thoi là: 7,81 cm

- Diện tích hình thoi bằng một nửa tích độ dài của hai đường chéo. Đường chéo của hình thoi là đường thẳng nối các đỉnh đối diện với nhau (hai đường chéo của hình thoi sẽ vuông góc với nhau và cắt nhau tại một điểm). Ta có công thức tính diện tích hình thoi như sau:

S = $\frac{1}{2}$ x (d₁ x d₂)

Trong đó: S là diện tích hình thoi, d1 là đường chéo d₁, d₂ là đường chéo d₂

Ví dụ: Một khu đất hình thoi có tổng độ dài hai đường chéo là 400 cm. Biết độ dài đường chéo thứ nhất bằng 3/5 độ dài đường chéo thứ hai. Tính diện tích khu đất hình thoi đó?

Giải:

Tổng số phần bằng nhau là: 3 + 5 = 8 (phần)

Độ dài đường chéo thứ hai là: 400 : 8 x 5 = 250 (cm)

Độ dài đường chéo thứ nhất là: 400 - 250 = 150 (cm)

Diện tích của hình thoi là: 250 x 150 : 2 = 18750 (cm²)

Đáp số: 18750 (cm²)

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho một hình thoi ABCD có độ dài cạnh là 8 cm, tính chu vi và diện tích của hình thoi này.

• Chu vi hình thoi được tính bằng công thức: $𝑃=4𝑎$. Thay số vào, ta có: $𝑃=4\times 8=32$ cm.
• Diện tích hình thoi được tính khi biết độ dài hai đường chéo, giả sử đường chéo dài 10 cm và ngắn 6 cm. Công thức tính diện tích là: $𝑆=\frac{1}{2}\times 𝑑1\times 𝑑2$. Vậy diện tích là: $𝑆=\frac{1}{2}\times 10\times 6=30$ cm².

Ví dụ 2: Một hình thoi có độ dài hai đường chéo là 14 cm và 8 cm, tính diện tích của hình thoi.

• Áp dụng công thức tính diện tích: $𝑆=\frac{1}{2}\times 𝑑1\times 𝑑2$. Kết quả diện tích là: $𝑆=\frac{1}{2}\times 14\times 8=56$ cm².

III. Bài tập vận dụng

Bài 1: Tấm bìa hình thoi có độ dài các cạnh bằng nhau và bằng 7 cm. Hỏi chu vi của tấm bìa hình thoi này bằng bao nhiêu?

Giải:

Ta có a = 7 cm.

Suy ra, chu vi của tấm bìa hình thoi là:

P = a x 4 = 7 x 4 = 28 (cm).

Bài 2: Tính chu vi của hình thoi biết độ dài cạnh = 5 dm

Giải:

Chu vi hình thoi đó là: 5 x 4 = 20 (dm)

Bài 3:Tính độ dài các cạnh của hình thoi ABCD khi biết chu vi hình thoi là 36 cm

Giải:

Gọi a là độ dài các cạnh của hình thoi.

P = a x 4 => a = P/4 = 36/4 = 9 (cm)

Đáp án: Độ dài một cạnh của hình thoi ABCD là 9 cm

Bài 4: Tính chu vi hình thoi biết các đường chéo bằng 16 cm và 30cm

Giải:

Gọi cạnh hình thoi bằng a, các đường chéo lần lượt là d1 và d2

- Áp dụng định lý Py - ta - go. Ta có: a2 = (d1/2)2 + (d2/2)2= (8)2 + (15)2 hay a = 17

Chu vi hình thoi: P = 4 x a = 68.

Bài 5: Tính chu vi của hình thoi biết độ dài cạnh = 15 dm.

Bài 6: Tính chu vi hình thoi ABCD khi biết độ dài cạnh là 7cm

Bài 7: Tính độ dài các cạnh của hình thoi ABCD khi biết chu vi hình thoi là 60cm

Bài 8: Tính chu vi hình thoi biết các đường chéo bằng 16 cm và 30cm