Lý thuyết, cách xác định và bài tập các chất đường phân giác trong tam giác

Đường phân giác trong tam giác

A. Lý thuyết

1. Định lý

Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề của hai đoạn ấy.

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có AD là đường phân giác của góc $\widehat{\mathrm{BAC}}$ sao cho DB = 4cm, AB = 6cm; AC = 8cm. Tính độ dài cạnh DC.

Lời giải:

Áp dụng định lí trên ta có:

$\frac{\mathrm{DB}}{\mathrm{DC}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}$

Hay $\frac{4}{\mathrm{DC}}=\frac{6}{8}\Rightarrow \mathrm{DC}=\frac{4.8}{6}=\frac{16}{3}\mathrm{cm}$

2. Chú ý

Định lí vẫn đúng với đường phân giác của góc ngoài của tam giác

Nếu AE’ là phân giác của góc $\widehat{\mathrm{BAx}}$

Ta có: $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{DB}\text{'}}{\mathrm{D}\text{'}\mathrm{C}}$.

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6cm; BC = 10cm, AD là đường phân giác của tam giác. Tính BD; CD

Lời giải:

Áp dụng định lý Py – ta – go vào tam giác vuông ABC ta có:

AC² = BC² – AB²

nên $\mathrm{AC}=\sqrt{{\mathrm{BC}}^2-{\mathrm{AB}}^2}=\sqrt{{10}^2-6^2}=8\left(\mathrm{cm}\right)$

Tam giác ABC có AD là đường phân giác của góc $\widehat{\mathrm{BAC}}$

Ta có: $\frac{\mathrm{DB}}{\mathrm{DC}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}$.

Khi đó ta có: $\frac{\mathrm{DB}}{\mathrm{DC}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}\Rightarrow \frac{\mathrm{DB}}{\mathrm{DB}+\mathrm{DC}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AB}+\mathrm{AC}}$ (tính chất tỉ lệ thức)

Hay

$$\begin{gathered} \frac{\mathrm{DB}}{10}=\frac{6}{6+8}\Rightarrow \mathrm{DB}=\frac{30}{7}\mathrm{cm}; \\ \mathrm{DC}=\mathrm{BC}-\mathrm{DB}=\frac{40}{7}\mathrm{cm} \end{gathered}$$

Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác BD. Tính AB, BC biết AD = 4 cm và DC = 5cm.

Lời giải:

Áp dụng tính chất đường phân giác BD của tam giác ABC, ta có:

$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{DA}}{\mathrm{DC}}=\frac{4}{5}\Rightarrow \frac{\mathrm{AB}}{4}=\frac{\mathrm{BC}}{5}$

Đặt $\frac{\mathrm{AB}}{4}=\frac{\mathrm{BC}}{5}$= t ( t > 0)

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\mathrm{AB}=4\mathrm{t}\\ \mathrm{BC}=5\mathrm{t}\end{array}\right.$

Áp dụng định lý Py – ta – go vào tam giác ABC ta có:

BC² = AC² + AB² hay (5t)² = 9² + (4t)²

$\iff$9t² = 81.t² = 9 nên t = 3 ( vì t > 0)

Khi đó: AB = 4.3 = 12 cm; BC = 5.3 = 15 cm

Bài 3. Cho tam giác ABC, các đường phân giác BD và CE. Biết $\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DC}}=\frac{2}{3}$, $\frac{\mathrm{EA}}{\mathrm{EB}}=\frac{5}{6}$. Tính các cạnh của tam giác ABC, biết chu vi của tam giác là 45cm.

Lời giải:

Áp dụng tính chất của các đường phân giác BD và CE của tam giác ABC ta được:

$$\begin{gathered} \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DC}}=\frac{2}{3}=\frac{4}{6} \\ \Rightarrow \frac{\mathrm{AB}}{4}=\frac{\mathrm{BC}}{6}=\mathrm{t}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\mathrm{AB}=4\mathrm{t}\\ \mathrm{BC}=6\mathrm{t}\end{array}\right. \\ \frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{EB}}=\frac{5}{6} \\ \Rightarrow \frac{\mathrm{AC}}{5}=\frac{\mathrm{BC}}{6}=\mathrm{t}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\mathrm{AC}=5\mathrm{t}\\ \mathrm{BC}=6\mathrm{t}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Theo giả thiết ta có, chu vi tam giác ABC là 45 nên:

AB + BC + AC = 15t = 45 nên t = 3.

Vậy AB = 12 cm; BC = 18cm; AC = 15cm.

Bài 4. Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM và đường phân giác AD của góc $\widehat{\mathrm{BAC}}$. Biết AB = 12 cm; AC = 8cm và BC = 15cm. Tính tỉ số $\frac{\mathrm{BM}}{\mathrm{BD}}$.

Lời giải:

Do M là trung điểm của BC nên:

$\mathrm{BM}=\mathrm{MC}=\frac{1}{2}\mathrm{BC}=\frac{1}{2}.15=7,5\mathrm{cm}$

Theo tính chất tia phân giác của góc ta có: $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{DB}}{\mathrm{DC}}$

Suy ra: $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{DB}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{DC}}$

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{DB}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{DC}}=\frac{\mathrm{AB}+\mathrm{AC}}{\mathrm{DB}+\mathrm{DC}}=\frac{12+8}{15}=\frac{4}{3}$

Suy ra:

$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BD}}=\frac{4}{3}\Rightarrow \mathrm{BD}=\frac{3.\mathrm{AB}}{4}=\frac{3.12}{4}=9\mathrm{cm}$

Do đó: $\frac{\mathrm{BM}}{\mathrm{BD}}=\frac{7,5}{9}=\frac{5}{6}$

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 8 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Khái niệm tam giác đồng dạng

Lý thuyết Trường hợp đồng dạng thứ nhất