Lý thuyết Trường hợp đồng dạng thứ nhất (mới 2023 + Bài Tập) – Toán 8

Lý thuyết Toán 8 Bài 5: Trường hợp đồng dạng thứ nhất

Bài giảng Toán 8 Bài 5: Trường hợp đồng dạng thứ nhất

A. Lý thuyết

1. Định lí

- Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng.

- Ví dụ 1.  Cho ∆ABC và ∆A’B’C’ có độ dài các cạnh như hình vẽ.

Ta có:

$\frac{\mathrm{A}\text{'}\mathrm{B}\text{'}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{A}\text{'}\mathrm{C}\text{'}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{B}\text{'}\mathrm{C}\text{'}}{\mathrm{BC}}$

$\left(\frac{2}{4}=\frac{2,5}{5}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\right)$

Do đó, ∆A’B’C’$\infty$∆ ABC.

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho các tam giác có độ dài các cạnh lần lượt như sau. Hỏi hai tam giác có đồng dạng không?

a) 3cm; 4 cm; 5cm và 6cm; 8cm; 10cm

b) 3cm; 5cm; 7cm và 6cm; 12cm; 14cm

c) 4cm; 10cm; 8cm và 7cm; 12cm; 14cm

Lời giải:

a) Ta có:

$\frac{3}{6}=\frac{4}{8}=\frac{5}{10}=\left(=\frac{1}{2}\right)$nên hai tam giác này có đồng dạng với nhau.

b) Ta có:

$\frac{3}{6}=\frac{7}{14}\ne \frac{5}{12}$ nên hai tam giác này không đồng dạng với nhau.

c) Sắp xếp độ dài các cạnh của hai tam giác theo thứ tự tăng dần:

4cm; 8cm; 10 cm và 7cm; 12cm; 14cm

Ta có: $\frac{4}{7}\ne \frac{8}{12}\ne \frac{10}{14}$ nên hai tam giác này không đồng dạng với nhau.

Bài 2. Tứ giác ABCD có AB = 2cm; BC = 6cm; CD = 8cm; DA = 3cm và BD = 4 cm.

Chứng minh rằng:

a) ∆BAD$\infty$∆ DBC.

b) ABCD là hình thang

Lời giải:

a) Ta có:

$\frac{\mathrm{BA}}{\mathrm{BD}}=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{CD}}=\frac{1}{2}$

Suy ra: ∆BAD$\infty$∆DBC (c.c.c)

b) Theo a ta có: ∆BAD$\infty$∆DBC

$\Rightarrow \widehat{\mathrm{ABD}}=\widehat{\mathrm{BDC}}$

Mà hai góc ở vị trí so le trong nên AB // CD.

Suy ra, ABCD là hình thang.

Bài 3. Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh AB = 4cm; BC = 7cm và AC = 8cm. Biết tam giác A’B’C’ đồng dạng với tam giác ABC và chu vi tam giác A’B’C’ là 38cm. Tính độ dài các cạnh của tam giác A’B’C’.

Lời giải:

Chu vi của tam giác ABC là: P_ABC = AB + BC + CA = 19 cm

Vì ∆A’B’C’$\infty$∆ ABC nên ta có:

$\frac{\mathrm{A}\text{'}\mathrm{B}\text{'}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{B}\text{'}\mathrm{C}\text{'}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{A}\text{'}\mathrm{C}\text{'}}{\mathrm{AC}}$

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{\mathrm{A}\text{'}\mathrm{B}\text{'}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{B}\text{'}\mathrm{C}\text{'}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{A}\text{'}\mathrm{C}\text{'}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{A}\text{'}\mathrm{B}\text{'}+\mathrm{B}\text{'}\mathrm{C}\text{'}+\mathrm{C}\text{'}\mathrm{A}\text{'}}{\mathrm{AB}+\mathrm{BC}+\mathrm{CA}}=\frac{{\mathrm{P}}_{\mathrm{A}\text{'}\mathrm{B}\text{'}\mathrm{C}\text{'}}}{{\mathrm{P}}_{\mathrm{ABC}}}=\frac{38}{19}=2$

Suy ra: A’B’ = 2AB = 2.4 = 8cm

B’C’ = 2BC = 2.7 = 14 cm

Và A’C’ = 2AC = 2.8 = 16cm

Trắc nghiệm Toán 8 Bài 5: Trường hợp đồng dạng thứ nhất của tam giác

Bài 1: ΔABC ~ ΔDEF theo tỉ số k₁, ΔMNP ~ ΔDEF theo tỉ số k₂. ΔABC ~ ΔMNP theo tỉ số nào?

A. k₁

B.$\frac{k_2}{k_1}$

C. k₁k₂

D.$\frac{k_1}{k_2}$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Vì ΔABC ~ ΔDEF theo tỉ số k₁, ΔMNP ~ ΔDEF theo tỉ số k₂ nên

ta có $\frac{AB}{DE}=k_1$ => AB = k₁.DE

và $\frac{MN}{DE}=k_2$=> MN = k₂.DE

Từ đó ta có $\frac{AB}{MN}=\frac{k_1.DE}{k_2.DE}=\frac{k_1}{k_2}$

Bài 2: Một tam giác có cạnh nhỏ nhất bằng 8, hai cạnh còn lại bằng x và y (x < y). Một tam giác khác có cạnh lớn nhất bằng 27, hai cạnh còn lại cũng bằng x và y. Tính x và y để hai tam giác đó đồng dạng.

A. x = 5; y = 10

B. x = 6; y = 12

C. x = 12; y = 18

D. x = 6; y = 18

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Tam giác thứ nhất có các cạnh là 8 < x < y

Tam giác thứ hai có các cạnh là x < y < 27

Vì hai tam giác đồng dạng nên $\frac{8}{x}=\frac{x}{y}=\frac{y}{27}$

 ta có x.y = 8.27 và x² = 8y.

Do đó x² = 8y = 8. $\frac{8.27}{x}$nên x³ = 64.27 = (4.3)³

Vậy x = 12, y = 18

Bài 3: Cho ΔABC đồng dạng với ΔMNP. Biết AB = 2cm, BC = 3cm, MN = 6cm, MP = 6cm. Hãy chọn khẳng định sai:

A. AC = 2cm

B. NP = 9cm

C. ΔMNP cân tại M

D. ΔABC cân tại C

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Vì ΔABC đồng dạng với ΔMNP

nên $\frac{AB}{MN}=\frac{AC}{MP}=\frac{BC}{NP}$ hay $\frac{2}{6}=\frac{AC}{6}=\frac{3}{NP}$

=> AC = $\frac{2.6}{6}$ = 2; NP = $\frac{6.3}{2}$ = 9

Vậy NP = 9cm, AC = 2cm nên A, B đúng.

Tam giác ABC cân tại A, MNP cân tại M nên C đúng, D sai.

Bài 4: Cho tam giác ABC. Các điểm D, E, F theo thứ tự làm trung điểm của BC, CA, AB. Các điểm A’, B’, C’ theo thứ tự là trung điểm của EF, DF, DE. Chọn câu đúng?

A. ΔA’B’C’ ~ ΔABC theo tỉ số k =$\frac{1}{2}$

B. ΔEDF ~ ΔABC theo tỉ số k =$\frac{1}{2}$

C. ΔA’B’C’ ~ ΔABC theo tỉ số k =$\frac{1}{2}$

D. ΔA’B’C’ ~ ΔEDF theo tỉ số k =$\frac{1}{2}$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Vì D, E, F theo thứ tự làm trung điểm của BC, CA, AB nên EF, ED, FD là các đường trung bình của tam giác ABC nên $\frac{EF}{BC}=\frac{FD}{AC}=\frac{ED}{AB}=\frac{1}{2}$

 suy ra ΔABC ~ ΔDEF (c - c - c) theo tỉ số đồng dạng k = 2.

Tương tự ta có A’B’, B’C’, C’A’ là các đường trung bình của tam giác DEF

nên ΔA’B’C’ ~ ΔDEF theo tỉ số k =$\frac{1}{2}$

Theo tính chất đường trung bình $\frac{B\text{'}C}{EF}=\frac{1}{2}$ 

mà $\frac{EF}{BC}=\frac{1}{2}$ (cmt) suy ra$\frac{B\text{'}C\text{'}}{BC}=\frac{1}{4}$

Tương tự$\frac{A\text{'}B\text{'}}{AB}=\frac{A\text{'}C\text{'}}{AC}=\frac{1}{4}$

Do đó ΔA’B’C’ ~ ΔABC theo tỉ số k =$\frac{1}{4}$

Bài 5: Hai tam giác nào không đồng dạng khi biết độ dài các cạnh của hai tam giác lần lượt là:

A. 2cm, 3cm, 4cm và 10cm, 15cm, 20cm.

B. 3cm, 4cm, 6cm và 9cm, 12cm, 16cm

C. 2cm, 2cm, 2cm và 1cm, 1cm, 1cm

D. 14cm, 15cm, 16cm và 7cm, 7,5cm, 8cm

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Ta thấy  

Bài 6: ΔDEF ~ ΔABC theo tỉ số k₁, ΔMNP ~ ΔDEF theo tỉ số k₂. ΔABC ~ ΔMNP theo tỉ số nào?

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Vì ΔDEF ~ ΔABC theo tỉ số k₁, ΔMNP ~ ΔDEF theo tỉ số k₂ nên

Bài 7: Cho 2 tam giác RSK và PQM có $\frac{RS}{MP}=\frac{RK}{PQ}=\frac{KS}{MQ}$, khi đó ta có:

A. ΔRSK ~ ΔPQM

B. ΔRSK ~ ΔQPM

C. ΔRSK ~ ΔPMQ

D. ΔRSK ~ ΔQMP

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

2 tam giác RSK và PQM có $\frac{RS}{MP}=\frac{RK}{PQ}=\frac{KS}{MQ}$,

khi đó ta có: ΔRSK ~ ΔPMQ

Bài 8: Một tam giác có cạnh nhỏ nhất bằng 12, hai cạnh còn lại bằng x và y (x < y). Một tam giác khác có cạnh lớn nhất bằng 40,5, hai cạnh còn lại cũng bằng x và y. Tính x và y để hai tam giác đó đồng dạng, từ đó suy ra giá trị của S = x + y bằng:

A. 45

B. 60

C. 55

D. 35

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Tam giác thứ nhất có các cạnh là 12 < x < y

Tam giác thứ hai có các cạnh là x < y < 40,5

Bài 9: Cho ΔABC ~ ΔIKH. Số khẳng định sai trong các khẳng định trên là:

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Vì ΔABC ~ ΔIKH nên $\frac{AB}{IK}=\frac{BC}{KH}=\frac{AC}{IH}$ 

hay $\frac{IK}{AB}=\frac{KH}{BC}=\frac{IH}{AC}$ nên (I) và (II) đúng, (III) sai.

Do đó chỉ có 1 khẳng định sai.

Bài 10: Cho ΔABC nhọn, kẻ đường cao BD và CE, vẽ các đường cao DF và EG của ΔADE.

1. ΔABD đồng dạng với tam giác nào dưới đây?

A. ΔAEG

B. ΔABC

C. Cả A và B

D. Không có tam giác nào

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Xét ΔABD và ΔAEG, ta có:

BD ⊥ AC (BD là đường cao)

EG ⊥ AC (EG là đường cao)

=> BD // EG

Theo định lý Talet, ta có:$\frac{AE}{AB}=\frac{AG}{AD}=\frac{EG}{BD}$

=> ΔAEG ~ ΔABD (c - c - c) (đpcm)

2. Chọn khẳng định đúng?

A. AD.AE = AB.AF

B. AD.AE = AB.AG = AC.AF

C. AD.AE = AC.GA

D. AD.AE = AB.AF = AC.AG

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Từ câu trước ta có:

$\frac{AE}{AB}=\frac{AG}{AD}$

=> AE.AD = AB.AG (1)

Chứng minh tương tự, ta được:

ΔAFD ~ ΔAEC (c - c - c)

=> $\frac{AF}{AE}=\frac{AD}{AC}$ 

=> AF.AC = AE.AD (2)

Từ (1) và (2) ta có:

AD.AE = AB.AG = AC.AF

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 8 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Trường hợp đồng dạng thứ hai

Lý thuyết Trường hợp đồng dạng thứ ba

Lý thuyết Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

Lý thuyết Ôn tập chương 3

Lý thuyết Hình hộp chữ nhật