Lý thuyết Thể tích của hình chóp đều (mới 2023 + Bài Tập) – Toán 8

Lý thuyết Toán 8 Bài 9: Thể tích của hình chóp đều

Bài giảng Toán 8 Bài 9: Thể tích của hình chóp đều

A. Lý thuyết

1. Công thức tính thể tích

Thể tích của hình chóp bằng một phần ba của diện tích đáy nhân với chiều cao:

$\mathrm{V}=\frac{1}{3}\mathrm{S}.\mathrm{h}$ (trong đó S: diện tích đáy, h: chiều cao)

Ví dụ 1. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh đáy là 4cm, chiều cao 6cm. Tính thể tích của hình chóp.

Lời giải:

Diện tích đáy của hình chóp là: S = 4² = 16cm²

Thể tích của hình chóp đều là

$\mathrm{V}=\frac{1}{3}.{\mathrm{S}}_{\mathrm{ABCD}}.\mathrm{SO}=\frac{1}{3}.16.6=32\left({\mathrm{cm}}^3\right)$

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hình chóp S.MNPQ có đáy là hình chữ nhật và MN = 3cm; NP = 4cm .

Biết thể tích của hình chóp S.MNPQ bằng 48cm³. Tính độ dài đường cao của hình chóp?

Lời giải:

Diện tích đáy của hình chóp là:

S = MN. NP = 3.4 = 12cm²

Áp dụng công thức thể tích của hình chóp ta có:

$\mathrm{V}=\frac{1}{3}.\mathrm{h}.\mathrm{S}\Rightarrow \mathrm{h}=\frac{3\mathrm{V}}{\mathrm{S}}=\frac{3.48}{12}=12\left(\mathrm{cm}\right)$

Vậy chiều cao của hình chóp là 12cm.

Bài 2. Một hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên SA = 5cm và độ dài cạnh đáy là cm. Tính thể tích của hình chóp tứ giác đều.

Lời giải:

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông ABC có;

AC² = AB² + BC² = ${\left(3\sqrt{2}\right)}^2+{\left(3\sqrt{2}\right)}^2=36$

Suy ra: AC = 6 cm và $\mathrm{AO}=\frac{1}{2}\mathrm{AC}=3\mathrm{cm}$

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông SAO có:

 SO² = SA² -  AO² =  5² -  3² = 16 nên SO = 4cm

Diện tích đáy là: ${\left(3\sqrt{2}\right)}^2=18{\mathrm{cm}}^2$

Thể tích của hình chóp là: $\mathrm{V}=\frac{1}{3}.18.4=24{\mathrm{cm}}^3$

Vậy thể tích của hình chóp là 24 cm³_.

Bài 3. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có thể tích là $12\sqrt{3}$ cm³; chiều cao của hình chóp là 4cm. Tính độ dài cạnh đáy?

Lời giải:

Thể tích của hình chóp đều là:

$\mathrm{V}=\frac{1}{3}{\mathrm{S}}_{\mathrm{d}}.\mathrm{h}\Rightarrow {\mathrm{S}}_{\mathrm{d}}=\frac{3\mathrm{V}}{\mathrm{h}}=\frac{3.12\sqrt{3}}{4}=\frac{36\sqrt{3}}{4}{\mathrm{cm}}^2$

Gọi độ dài cạnh đáy là a.

Do đáy là tam giác đều nên diện tích đáy là  ${\mathrm{S}}_{\mathrm{d}}=\frac{{\mathrm{a}}^2\sqrt{3}}{4}{\mathrm{cm}}^2$

Suy ra: $\frac{{\mathrm{a}}^2\sqrt{3}}{4}=\frac{36\sqrt{3}}{4}\iff {\mathrm{a}}^2=36\iff \mathrm{a}=6\mathrm{cm}$.

Vậy độ dài cạnh đáy là 6cm

Trắc nghiệm Toán 8 Bài 9: Thể tích hình chóp đều

Bài 1: Một hình chóp tứ giác đều có thể tích bằng 200cm³, chiều cao bằng 12cm. Tính độ dài cạnh bên.

A. 12cm

B. 13cm

C. 11cm

D. 16cm

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Xét hình chóp tứ giác đều S.ABCD có V = 200cm³, đường cao SH = 12cm.

Ta có V = $\frac{1}{3}$S_d.h

=> S_d = $\frac{3V}{SH}=\frac{3.200}{12}$= 50 (cm²)

Tức BC² = 50

Tam giác BHC vuông cân nên

HB² + HC² = BC²

hay 2HC² = BC² hay 2HC² = 50

Suy ra HC² = 25

SC² = SH² + HC²

= 12² + 25² = 169 = 13².

Vậy SC = 13cm.

Vậy độ dài cạnh bên là 13cm.

Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đường cao SH = 6cm, cạnh đáy bằng 6cm. Lấy điểm H’  SH sao cho SH’ =$\frac{2}{3}$ . Một mặt phẳng đi qua H’ và song song với đáy và cắt mặt bên của hình chóp tạo thành hình chóp nhỏ S.A’B’C’D’ và hình chóp cụt ABCD.A’B’C’D’.

1. Tính thể tích của hình chóp S.ABCD.

A. 32cm³

B. 72cm³

C. 16cm³

D. 64cm³

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Thể tích hình chóp S.ABCD bằng $\frac{1}{3}$ .6².6 = 72cm³

2. Tính thể tích của hình chóp cụt ABCD.A’B’C’D’.

A. 16cm³

B. 50cm³

C. 64cm³

D. $\frac{152}{3}$cm³

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có SH’ = $\frac{2}{3}$SH =$\frac{2}{3}$ .6 = 3cm

Xét tam giác SAH có: A’H’ // AH

Bài 3: Thể tích của hình chóp tam giác SABC là . Biết đường cao của hình chóp là . Diện tích đáy ABC là:

A. 10m

B. 10m²

C. 30m

D. 30m²

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Diện tích đáy ABC là:$\left(3.150\right):15=30m$

Bài 4: Một hình chóp có thể tích bằng 64cm³, chiều cao bằng 12cm. Tính độ dài cạnh đáy.

A. 16cm

B. 8cm

C. 4cm

D. 10cm

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Xét hình chóp tứ giác đều S.ABCD có V = 64cm³, đường cao h = 12cm.

Ta có V = $\frac{1}{3}$S_d.h

=> S_d = $\frac{3V}{SH}=\frac{3.64}{12}$ = 16 (cm²)

Tức BC² = 50 => BC = 4

Vậy độ dài cạnh đáy là 4cm

Bài 5: Cho hình chóp tam giác đều có các mặt bên là tam giác đều. Diện tích toàn phần và thể tích của hình chóp lần lượt là . Chiều cao của hình chóp là :

A. 1cm

B. 9cm

C. 18cm

D. $\frac{4}{3}cm$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Diện tích toàn phần của hình chóp là , khi đó diện tích mặt đáy của hình chóp

là: $240:4=60c{m}^2$

Chiều cao của hình chóp là: $\left(180.3\right):60=9cm$

Bài 6: Thể tích của hình chóp tứ giác đều có chiều cao 9cm, cạnh đáy 5cm là

A. 75cm³

B. 225cm³

C. 180cm³

D. 60cm³

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Đáy của hình chóp tứ giác đều là hình vuông nên diện tích đáy là

S = 5² = 25cm²

Thể tích cần tìm là

V = $\frac{1}{3}$ .9.25 = 75cm³.

Bài 7: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 4cm. Một mặt phẳng song song với mặt đáy ABCD cắt các cạnh SA, SB, SC, SD lần lượt tại M, N, P, Q. Chiều cao SO của hình chóp SABCD là 15cm. Tính thể tích hình nón cụt MNPQ.ABCD. Biết thể tích hình chóp SMNPQ là

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Diện tích đáy ABCD là:

$4.4=16c{m}^2$

Thể tích hình chóp SABCD là

$\frac{1}{3}\mathrm{.16.15}=80c{m}^3$

Thể tích hình nón cụt MNPQ.ABCD là:

$80-30=50c{m}^3$

Bài 8: Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các mặt đều là tam giác đều có diện tích xung quanh là  và chiều cao của hình chóp bằng 7m. Tính thể tích của hình chóp

A. 210 m³

B. 630 m³

C. 70 m³

D. 30 m³

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Diện tích của một mặt là:

90 : 3 = 30m²

Thể tích của hình chóp là:

$\frac{1}{3}.30.7=70m^3$

Bài 9: Tính thể tích của hình chóp tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng 6cm (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

A. 24,64cm³

B. 25,46cm³

C. 26,46cm³

D. 26,64cm³

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Chóp tam giác đều S.ABC có SH  (ABC) nên H là trọng tâm tam giác ABC và D là trung điểm BC.

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác ABD vuông tại D ta có

$$\begin{gathered} AD=\sqrt{A{B}^2-B{D}^2} \\ =\sqrt{6^2-3^3}=3\sqrt{3} \end{gathered}$$ 

nên diện tích đáy

S = $\frac{1}{2}$AD.BC

= $\frac{1}{2}.3\sqrt{3}.6=9\sqrt{3}$  cm².

Vì H là trọng tâm tam giác ABC

=> SH = $\frac{2}{3}$AD

=$\frac{2}{3}.3\sqrt{3}=2\sqrt{3}$

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác ASH vuông tại H ta được

$$\begin{gathered} SH=\sqrt{S{A}^2-A{H}^2} \\ =\sqrt{6^2-{\left(2\sqrt{3}\right)}^2}=2\sqrt{6} \end{gathered}$$

Từ đó thể tích hình chóp là

$$\begin{gathered} V=\frac{1}{3}.SH.S_{ABC} \\ =\frac{1}{3}.2\sqrt{6}.9\sqrt{3}\approx 25,46c{m}^3 \end{gathered}$$

Bài 10: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 4cm. Một mặt phẳng song song với mặt đáy ABCD cắt các cạnh SA, SB, SC, SD lần lượt tại M, N, P, Q. Chiều cao SO của hình chóp SABCD là 15cm. Biết thể tích hình nón cụt MNPQ.ABCD là . Tính thể tích hình chóp SMNPQ ?

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Diện tích đáy ABCD là:

$4.4=16c{m}^2$

Thể tích hình chóp SABCD là

$\frac{1}{3}\mathrm{.16.15}=80c{m}^3$

Thể tích hình nón cụt MNPQ.ABCD là:

$80-60=20c{m}^3$

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 8 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Ôn tập chương

Lý thuyết Định lí Ta-let trong tam giác

Lý thuyết Định lí đảo và hệ quả của định lí Ta - lét

Lý thuyết Tính chất đường phân giác của tam giác

Lý thuyết Khái niệm tam giác đồng dạng