Lý thuyết Mở đầu về phương trình (mới 2023 + Bài Tập) – Toán 8

Lý thuyết Toán 8 Bài 1: Mở đầu về phương trình

Bài giảng Toán 8 Bài 1: Mở đầu về phương trình

A. Lý thuyết

1. Phương trình một ẩn

- Định nghĩa phương trình một ẩn: Một phương trình với ẩn x có dạng A(x) = B(x), trong đó vế trái A(x) và vế phải B(x) là hai biểu thức của cùng một biến x được gọi là phương trình một ẩn với ẩn số x (hay ẩn x).

Ví dụ 1.

5x + 7 = 3x là phương trình với ẩn x;

8y – 6 = 4(y – 1) + 2 là phương trình với ẩn y;

2u + 8 = 3 + 5(u – 1) là phương trình với ẩn u.

- Nghiệm của phương trình là các giá trị của ẩn số thoả mãn phương trình.

Ví dụ 2. Cho phương trình 6 – x = 2(x + 2) – 7   (1).

Với x = 3, ta có VT(1) = 6 – 3 = 3; VP(1) = 2 . (3 + 2) – 7 = 2 . 5 – 7 = 3.

Nhận thấy x = 3 thỏa mãn phương trình (1) nên x = 3 là nghiệm (hay nghiệm đúng) của phương trình (1).

- Chú ý:

+ Hệ thức x = m (với m là một số nào đó) cũng là một phương trình. Phương trình này chỉ rõ rằng m là nghiệm duy nhất của nó.

+ Một phương trình có thể có một nghiệm, hai nghiệm, ba nghiệm,….nhưng cũng có thể không có nghiệm nào hoặc có vô số nghiệm. Phương trình không có nghiệm nào được gọi là phương trình vô nghiệm.

Ví dụ 3.

Phương trình x² = 4 có hai nghiệm là x = 2 và x = – 2.

Phương trình x² = – 4 vô nghiệm.

Phương trình 3x = 3x có vô số nghiệm.

2. Giải phương trình

- Giải phương trình là tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó.

- Tập hợp tất cả các nghiệm của một phương trình được gọi là tập nghiệm của phương trình đó. Tập nghiệm của phương trình thường kí hiệu là S.

Ví dụ 4. 

Phương trình x = 5 có tập nghiệm là S = {5}.

Phương trình vô nghiệm có tập nghiệm là S = $\varnothing$.

3. Phương trình tương đương.

- Hai phương trình tương đương nếu chúng có cùng một tập nghiệm.

- Để chỉ hai phương trình tương đương, ta dùng kí hiệu “$\iff$” (đọc là tương đương).

Ví dụ 5.

Hai phương trình x – 2 = 0 và x = 2 được gọi là tương đương với nhau vì chúng có cùng tập nghiệm là S = {2}. Khi đó ta viết: x – 2 = 0$\iff$x = 2. 

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Trong các giá trị x = 0, x = 4 và x = 7, giá trị nào là nghiệm của phương trình

(x – 4)² = x + 2?

Lời giải:

Ta có: (x – 4)² = x + 2  (1)

+ Với x = 0, ta có: VT(1) = (0 – 4)² = (– 4)² = 16; VP(1) = 0 + 2 = 2.

Do VT(1) ≠ VP(1) nên x = 0 không phải là nghiệm của phương trình đã cho.

+ Với x = 4, ta có:  VT(1) = (4 – 4)² = 0; VP(1) = 4 + 2 = 6.

Do VT(1) ≠ VP(1) nên x = 4 không phải là nghiệm của phương trình đã cho.

+ Với x = 7, ta có: VT(1) = (7 – 4)² = 3² = 9; VP(1) = 7 + 2 = 9.

Do VT(1) = VP(1) hay x = 7 thỏa mãn phương trình (1) nên x = 7 là nghiệm của phương trình đã cho.

Vậy x = 7 là nghiệm của phương trình đã cho.

Bài 2. Hai phương trình x = 3 và x(x – 3) = 0 có tương đương hay không? 

Lời giải:

Ta có: x = 3 và x(x – 3) = 0.

Phương trình x = 3 có tập nghiệm là S₁ = {3}.

Nhận thấy x(x – 3) = 0 nếu x = 0 hoặc x – 3 = 0 hay x = 0 hoặc x = 3. Do đó x = 0 và x = 3 là các nghiệm của phương trình x(x – 3) = 0.

Vậy tập nghiệm của phương trình x(x – 3) = 0 là S₂ = {0; 3}.

Ta thấy S₁ ≠ S₂ hay hai phương trình đã cho không có cùng tập nghiệm.

Vậy hai phương trình đã cho không tương đương.

Bài 3. Với mỗi phương trình sau, hãy xét xem t = – 3 có phải nghiệm của nó không:

a) 3t – 2 = t + 5;

b) t + 3 = 2t + 6;

c) 3(t – 4) + 7 = 10 – t.

Lời giải:

Thay t = – 3 vào các phương trình đã cho, ta được:

a) 3.(– 3) – 2 = – 3 + 5 hay – 11 = 2 (vô lý)

b) – 3 + 3 = 2.(– 3) + 6 hay 0 = 0 (đúng)

c) 3.(– 3 – 4) + 7 = 10 – (– 3) hay –14 = 13 (vô lý)

Nhận thấy t = – 3 chỉ thỏa mãn phương trình b).

Vậy t = – 3 là nghiệm của phương trình b) và không phải là nghiệm của các phương trình a) và c).

Trắc nghiệm Toán 8 Bài 1: Mở đầu về phương trình

Bài 1: Số nghiệm của phương trình 5 - |2x + 3| = 0 là

A. 2

B. 1

C. 0

D. 4

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1; x = -4

Bài 2: Chọn khẳng định đúng

A. Hai phương trình x² + 2x + 1 = 0 (1) và x² – 1 = 0 (2) là hai phương trình tương đương

B. Hai phương trình x² + 2x + 1 = 0 (1) và x² – 1 = 0 (2) không tương đương vì x = 1 là nghiệm của phương trình (1) nhưng không là nghiệm của phương trình (2).

C. Hai phương trình x² + 2x + 1 = 0 (1) và x² – 1 = 0 (2) không tương đương vì x = 1 là nghiệm của phương trình (2) nhưng không là nghiệm của phương trình (1).

D. Hai phương trình x² + 2x + 1 = 0 (1) và x² – 1 = 0 (2) tương đương vì x = -1 là nghiệm chung của cả hai phương trình.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

+ Xét phương trình (1): x² + 2x + 1 = 0

$\iff$ (x + 1)² = 0

$\iff$ x + 1 = 0

$\iff$ x = -1

+ Xét phương trình (2): x² – 1 = 0

$\iff$ x² = 1

$\iff$  x = ±1

Nhận thấy x = 1 là nghiệm của phương trình (2) nhưng không là nghiệm của phương trình (1) nên hai phương trình (1) và (2) không tương đương

Bài 3: Phương trình nào sau đây nhận x = 2 làm nghiệm?

A. $\frac{x-2}{x-2}=1$

B. x² – 4 = 0

C. x + 2 = 0

D. x – 1 = $\frac{1}{2}(3x-1)$ 

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Đáp án A loại vì x = 2 không thỏa mãn điều kiện xác định

Đáp án B: 2² – 4 = 4 – 4 = 0 nên x = 2 là nghiệm của phương trình đáp án B.

Đáp án C: Dễ thấy 2 + 2 = 4 ≠ 0 nên x = 2 không là nghiệm của phương trình đáp án C

Đáp án D: Thay x = 2 ta được VT = 2 – 1 =1 ≠ $\frac{1}{2}(3.2-1)$ = VP nên không là nghiệm

Bài 4: Phương trình nào sau đây vô nghiệm?

A. 2x – 1 = 0

B. -x² + 4 = 0

C. x² + 3 = -6

D. 4x² +4x = -1

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

+) 2x – 1 = 0 $\iff$ x = $\frac{1}{2}$ 

+) -x² + 4 = 0 $\iff$ x² = 4

$\iff$ x = ±2

+) x² + 3 = -6

$\iff$ x² = -9 (vô nghiệm vì -9 < 0)

+) 4x² + 4x = -1

$\iff$ 4x² +4x + 1 = 0

$\iff$ (2x + 1)² = 0

$\iff$ 2x + 1 = 0

$\iff$  x = -$\frac{1}{2}$ 

Bài 5: Chọn khẳng định đúng

A. 3 là nghiệm của phương trình x² – 9 = 0

B. {3} là tập nghiệm của phương trình x² – 9 = 0

C. Tập nghiệm của phương trình (x + 3)(x – 3) = x² – 9 là Q

D. x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình x² – 4 = 0

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

+ Ta có x² – 9 = 0

$\iff$ x² = 9 $\iff$ x = ±3.

Nên x = 3 là nghiệm của phương trình x² – 9 = 0 và tập nghiệm của phương trình là {3; -3}. Suy ra A đúng, B sai.

+ Xét (x + 3)(x – 3) = x² – 9

$\iff$ x² – 9 = x² – 9 (luôn đúng) nên tập nghiệm của phương trình là R, suy ra C sai.

+ Xét x² – 4 = 0

$\iff$ x² = 4 $\iff$ x = ±2.

Nên phương trình có hai nghiệm x = 2; x = -2 nên D sai

Bài 6: Chọn khẳng định đúng

A. Hai phương trình x² – 2x + 1 = 0 (1) và x² – 1 = 0 (2) là hai phương trình tương đương

B. Hai phương trình x² – 2x + 1 = 0 (1) và x² – 1 = 0 (2) không tương đương vì x = 1 là nghiệm của phương trình (1) nhưng không là nghiệm của phương trình (2).

C. Hai phương trình x² – 2x + 1 = 0 (1) và x² – 1 = 0 (2) không tương đương vì x = -1 là nghiệm của phương trình (1) nhưng không là nghiệm của phương trình (2).

D. Hai phương trình x² – 2x + 1 = 0 (1) và x² – 1 = 0 (2) không tương đương vì x = -1 là nghiệm của phương trình (2) nhưng không là nghiệm của phương trình (1).

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

+ Xét phương trình (1): x² – 2x + 1 = 0

$\iff$ (x – 1)² = 0

$\iff$ x – 1 = 0 $\iff$ x = 1

+ Xét phương trình (2): x² – 1 = 0

$\iff$ x² = 1$\iff$  x = ±1

Nhận thấy x = -1 là nghiệm của phương trình (2) nhưng không là nghiệm của phương tình (1) nên hai phương trình (1) và (2) không tương đương

Bài 7: Có bao nhiêu nghiệm của phương trình |x + 3| = 7?

A. 2

B. 1

C. 0

D. 4

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 4; x = -10

Bài 8: Nếu phương trình P(x) = m có nghiệm x = x₀ thì x₀ thỏa mãn:

A. P(x) = x₀

B. P(m) = x₀

C. P(x₀) = m

D. P(x₀) = -m

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Nếu phương trình P(x) = m có nghiệm

x = x₀ thì P(x₀) = m

Bài 9: Phương trình nào sau đây vô nghiệm?

A. x – 1 = 0

B. 4x² + 1 = 0

C. x² – 3 = 6

D. x² + 6x = -9

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

+) x – 1 = 0 $\iff$ x = 1

+) 4x² + 1 = 0 $\iff$ 4x² = -1

(vô nghiệm vì 4x² ≥ 0; Ɐx)

+) x² – 3 = 6 $\iff$ x² = 9 $\iff$ x = ± 3

+) x² + 6x = -9$\iff$ x² + 6x + 9 = 0

$\iff$ (x + 3)² = 0

$\iff$ x + 3 = 0 $\iff$ x = -3

Vậy phương trình 4x² + 1 = 0 vô nghiệm

Bài 10: Hai phương trình nào sau đây là hai phương trình tương đương?

A. x – 2 = 4 và x + 1 = 2

B. x = 5 và x² = 25

C. 2x² – 8 = 0 và |x| = 2

D. 4 + x = 5 và x³ – 2x = 0

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

+) Xét x – 2 = 4 $\iff$ x = 6

và x + 1 = 2 $\iff$ x = 1

nên hai phương trình x – 2 = 4 và x + 1 = 2 không tương đương

+) Xét phương trình x² = 25 $\iff$ x = ±5

nên phương trình x² = 25 có hai nghiệm.

Suy ra hai phương trình x = 5 và x² = 25 không tương đương.

+) Xét phương trình 4 + x = 5 $\iff$ x = 1,

mà x = 1 không là nghiệm của

phương trình x³ – 2x = 0 (vì 1³ – 2.1= -1 ≠ 0)

nên hai phương trình 4 + x = 5 và x³ – 2x = 0 không tương đương.

+) Xét phương trình 2x² – 8 = 0

$\iff$ 2x² = 8 $\iff$ x² = 4

 Và |x| = 2$\iff$  $\left[\begin{array}{l}x=-2\\ x=2\end{array}\right.$

Nhận thấy hai phương trình trên có cùng tập nghiệm {2; -2} nên chúng tương đương.

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 8 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Phương trình bậc nhất một ẩn và cách giải

Lý thuyết Phương trình đưa được về dạng ax + b = 0

Lý thuyết Phương trình tích

Lý thuyết Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Lý thuyết Giải bài toán bằng cách lập phương trình