Lý thuyết Trường hợp đồng dạng thứ ba (mới 2023 + Bài Tập) – Toán 8

Lý thuyết Toán 8 Bài 7: Trường hợp đồng dạng thứ ba

Bài giảng Toán 8 Bài 7: Trường hợp đồng dạng thứ ba

A. Lý thuyết

1. Định lí

- Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

- Ví dụ 1. Cho tam giác ABC và các đường cao BH, CK. Chứng minh ∆ABH $\infty$ ∆ ACK.  

Lời giải:

Xét ∆ABH và ∆ACK có:

$\left\{\begin{array}{l}\hat{\mathrm{A}} \mathrm{chung}\\ \widehat{\mathrm{AHB}}=\widehat{\mathrm{AKC}}=90°\end{array}\right.$

Suy ra: ∆ABH $\infty$ ∆ACK.

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hình bên, ABCD là hình thang (AB// CD) có AB = 12 cm; CD = 27cm $\widehat{\mathrm{DAB}}=\widehat{\mathrm{DBC}}$. Tính độ dài đoạn BD gần nhất bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Xét ∆ABD và ∆BDC có:

$\left\{\begin{array}{l}\widehat{\mathrm{BAD}}=\widehat{\mathrm{DBC}}\\ \widehat{\mathrm{ABD}}=\widehat{\mathrm{BDC}}\end{array}\right.$

Suy ra: ∆ABD $\infty$ ∆BDC (g.g). 

$\Rightarrow \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BD}}=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}$hay

$\frac{12}{\mathrm{x}}=\frac{\mathrm{x}}{27}\Rightarrow {\mathrm{x}}^2=12.27=324$

$\iff \mathrm{x}=18$

Vậy BD = 18cm.

Bài 2. Cho góc xOy khác góc bẹt. Trên tia Ox lấy 2 điểm A và B sao cho: OA = 5cm; OB = 16cm. Trên tia Oy, lấy hai điểm C và D sao cho OC = 8cm; OD =10cm.

a) Chứng minh ∆OCB $\infty$ ∆OAD.

b) Gọi I là giao điểm của các cạnh AD và BC. Chứng minh rằng ∆IBA $\infty$∆ IDC

Lời giải:

a) Xét ∆OCB và ∆ OAD có

$\left\{\begin{array}{l}\hat{\mathrm{O}} \mathrm{chung}\\ \frac{\mathrm{OC}}{\mathrm{OA}}=\frac{\mathrm{OB}}{\mathrm{OD}}\left(\frac{8}{5}=\frac{16}{10}\right)\end{array}\right.$

Suy ra: ∆OCB $\infty$∆OAD (c.g.c)

b)  Theo a ta có: ∆OCB $\infty$∆OAD

$\Rightarrow \widehat{\mathrm{ADO}}=\widehat{\mathrm{CBO}}$ hay $\widehat{\mathrm{IDC}}=\widehat{\mathrm{IBA}}$ (1)

Mà $\widehat{\mathrm{CID}}=\widehat{\mathrm{AIB}}$ (vì đối đỉnh) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: ∆IBA $\infty$ ∆IDC (g.g)

Bài 3. Tìm x, y trong hình vẽ sau:

Lời giải:

Xét ∆OAD và ∆OEC có:

$\widehat{\mathrm{AOD}}=\widehat{\mathrm{COE}}$ (hai góc đối đỉnh).

$\widehat{\mathrm{OAD}}=\widehat{\mathrm{OEC}}=90°$

Suy ra: ∆OAD $\infty$ ∆OEC (g.g)

$\Rightarrow \frac{\mathrm{OD}}{\mathrm{OC}}=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{EC}}\Rightarrow \frac{5}{6}=\frac{4}{\mathrm{x}}\Rightarrow \mathrm{x}=\frac{4.6}{5}=\frac{24}{5}$

Áp dụng định lý py ta go vào tam giác ADO có:

AO² = OD² – DA² = 9 nên AO = 3.

Khi đó; AC = AO + OC = 3 + 6 = 9

Xét ∆OAD và ∆BAC có:

$\widehat{\mathrm{ADO}}=\widehat{\mathrm{ACB}}$ (cùng phụ với góc $\hat{\mathrm{B}}$).

$\widehat{\mathrm{OAD}}=\widehat{\mathrm{BAC}}=90°$

Suy ra: ∆OAD $\infty$ ∆BAC (g.g)

$$\begin{gathered} \Rightarrow \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{OD}}{\mathrm{BC}} \\ \iff \frac{4}{9}=\frac{5}{\mathrm{BC}}\Rightarrow \mathrm{BC}=\frac{45}{4} \end{gathered}$$

Suy ra: $\mathrm{x}+\mathrm{y}=\frac{45}{4}\iff \frac{24}{5}+\mathrm{y}=\frac{45}{4}\Rightarrow \mathrm{y}=\frac{129}{20}$

Trắc nghiệm Toán 8 Bài 7: Trường hợp đồng dạng thứ ba của tam giác

Bài 1: Tam giác ABC có $\widehat{A }=2\hat{B}$, AC = 16cm, BC = 20cm. Tính độ dài cạnh AB.

A. 18cm

B. 20cm

C. 15cm

D. 9cm

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD = AB.

Tam giác ABD cân tại A 

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có: AB = 5, AC = 12. Trên cạnh BC lấy điểm M

sao cho BM = $\frac{5}{13}$ BC. Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với AC tại N. Độ dài MN là:

A. $\frac{12}{13}$

B. $\frac{45}{13}$

C. $\frac{40}{13}$

D. 12

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Tam giác ABC vuông tại A, theo định lí Pi-ta-go ta có:

BC² = AB² + AC²

=> BC² = 5² + 12² = 169

=> BC = 13

BM = BC = .13 = 5

=> CM = 13 - 5 = 8.

Xét ΔCMN và ΔCBA có:

N = A = 90⁰ (gt)

Góc C chung

=> ΔCMN ~ ΔCBA (g - g)

Bài 3: Cho hình thang vuông ABCD ($\widehat{A }=\widehat{D }={90}^0$)

có BC  BD, AB = 4cm, CD = 9cm. Độ dài BD là:

A. 8cm

B. 12cm

C. 9cm

D. 6cm

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Xét tam giác ABD và BDC có:

=> BD² = AB.CD = 4.9 = 36

=> BD = 6.

Bài 4: Cho hai tam giác ABC và FED có $\widehat{A }=\hat{F}$, cần thêm điều kiện gì dưới đây để hai tam giác (thứ tự đỉnh như vậy) đồng dạng theo trường hợp góc - góc?

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Bài 5: Tính giá trị của x trong hình dưới đây:

A. x = 3

B.x = $\frac{27}{7}$

C. x = 4

D. x =$\frac{27}{5}$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Xét ΔIPA và ΔITL ta có:

+) IPA = ITL = 90⁰

+) Góc TIL chung

=> ΔIPA ~ ΔITL (g - g)

=>$\frac{PA}{TL}=\frac{IA}{IL}\iff \frac{PA}{TL}=\frac{IA}{IA+AL}$

$\iff \frac{7}{10}=\frac{9}{9+x}$

$\iff x=\frac{27}{7}$

Bài 6: Tam giác ABC có $\widehat{A }=2\hat{B}$, AB = 11cm, AC = 25cm. Tính độ dài cạnh BC.

A. 30cm

B. 20cm

C. 25cm

D. 15cm

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD = AB.

Tam giác ABD cân tại A 

Từ đó BC² = 25.36 suy ra BC = 5.6 = 30(cm)

Bài 7: Nếu 2 tam giác ABC và DEF có $\widehat{A}=70°,\widehat{C}=60°,\widehat{E}=50°,\widehat{F}=70°$ thì chứng minh được:

A.ΔABC ~ ΔFED

B. ΔACB ~ ΔFED

C. ΔABC ~ ΔDEF

D. ΔABC ~ ΔDFE

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Xét ΔABC có:  

 => ΔABC ~ ΔFED (g - g)

Bài 8: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh AC lấy điểm M, trên đoạn thẳng BM lấy điểm K sao cho góc $\widehat{BCK}=\widehat{ABM}$ .

1. Tam giác MBC đồng dạng với tam giác

A. MCK

B. MKC

C. KMC

D. CMK

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Tam giác ABC cân tại A 

Do đó ΔMBC ~ ΔMCK (g.g).

2. Tính MB.MK bằng

A. 2MC²

B. CA²

C. MC²

D. BC²

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Vì ΔMBC ~ ΔMCK nên $\frac{MC}{MK}=\frac{MB}{MC}$ (hai cạnh tương ứng tỉ lệ)

Suy ra MC² = MB.MK

Bài 9: Cho hình thang ABCD (AB // CD) có góc $\widehat{ADB}=\widehat{BCD}$, AB = 2cm, BD = $\sqrt{5}$cmm, ta có:

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Vì AB // CD nên: $\widehat{ABD}=\widehat{BDC}$ (cặp góc so le trong)

Xét ΔADB và ΔBCD ta có:

$\widehat{ABD}=\widehat{BDC}$ (chứng minh trên)

$\widehat{ADB}=\widehat{BCD}$ (theo gt)

=> ΔADB ~ ΔBCD (g - g)

=> $\frac{AB}{BD}=\frac{DB}{CD}\iff \frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{CD}$

$\iff CD=\frac{\sqrt{5}.\sqrt{5}}{2}=\frac{5}{2}$ = 2,5 cm

Bài 10: Cho ΔABC có các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Gọi M là giao của AH với BC.

1. Chọn câu đúng.

A. ΔHBE ~ ΔHCD

B. ΔABD ~ ΔACE

C. Cả A, B đều đúng

D. Cả A, B đều sai

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

2. Chọn khẳng định sai.

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Theo cmt ta có: ΔHBE ~ ΔHCD

Xét ΔHED và ΔHBC ta có:

Từ (1) và (2) ta có: $\widehat{HDE}=\widehat{HAE}$ nên A, B, C đúng, D sai.

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 8 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

Lý thuyết Ôn tập chương 3

Lý thuyết Hình hộp chữ nhật

Lý thuyết Hình hộp chữ nhật (tiếp)

Lý thuyết Thể tích của hình hộp chữ nhật