Lý thuyết Ôn tập chương (mới 2023 + Bài Tập) – Toán 8

Lý thuyết Toán 8 Ôn tập chương 4

Bài giảng Toán 8 Ôn tập chương 4

A. Lý thuyết

1. Hình hộp chữ nhật

1.1. Hình hộp chữ nhật

- Định nghĩa: Hình hộp chữ nhật là hình không gian có 6 mặt đều là những hình chữ nhật.

+ Hình hộp chữ nhật có 6 mặt, 8 đỉnh, 12 cạnh.

+ Hai mặt không có cạnh chung gọi là hai mặt đối diện và có thể xem chúng là mặt đáy của hình hộp chữ nhật, các mặt còn lại được gọi là mặt bên.

+ Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có 6 mặt đều là những hình vuông.

1.2. Mặt phẳng và đường thẳng

+ Qua ba điểm không thẳng hàng xác định một và chỉ một mặt phẳng.

+ Qua hai đường thẳng cắt nhau xác định một và chỉ một mặt phẳng.

+ Đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt của một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đó đều thuộc mặt phẳng.

Ví dụ 1. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’

+ Các đỉnh: A; B; C… như là các điểm

+ Các cạnh: AD; DD’; AC …. như là các đoạn thẳng

+ Mỗi mặt, chẳng hạn như mặt ABCD; CC’D’D… là một phần của mặt phẳng

+ Đường thẳng qua hai điểm A, B của mặt phẳng (ABCD) thì nằm trọn trong mặt phẳng đó.

1.3. Hai đường thẳng song song trong không gian

- Hai đường thẳng a, b gọi là song song với nhau nếu chúng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung. Kí hiệu a // b.

- Hai đường thẳng phân biệt, cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

- Chú ý: Hai đường thẳng phân biệt trong không gian có thể:  Cắt nhau – Song song– Chéo nhau (không cùng nằm trong một mặt phẳng)

Ví dụ 2. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. MNPQ

+ Cắt nhau: Chẳng hạn như AD và DQ cắt nhau tại D, chúng cùng nằm trong mặt phẳng (ADQM),….

+ Song song: Chẳng hạn như MN và AB song song với nhau, chúng cùng nằm trong mặt phẳng (ABNM),….

+ Chéo nhau: Chẳng hạn như AN và BD, chúng nằm ở hai mặt phẳng khác nhau

1.4. Đường thẳng song song với mặt phẳng. Hai mặt phẳng song song

a) Đường thẳng song song với mặt phẳng

– Một đường thẳng a gọi là song song với một mặt phẳng (P) nếu đường thẳng đó không nằm trong mặt phẳng  (P) và song song với một đường thẳng d  nằm trong mặt phẳng.

Kí hiệu a // (P).

- Nhận xét. Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì chúng không có điểm chung.

b) Hai mặt phẳng song song

– Nếu mặt phẳng  (Q) chứa hai đường thẳng cắt nhau, cùng song song với mặt phẳng (P) thì mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) . Kí hiệu (Q)// (P).

–Nhận xét:  

+ Hai mặt phẳng song song với nhau thì không có điểm chung.

+ Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có chung một đường thẳng đi qua điểm chung đó . Ta nói hai mặt phẳng này cắt nhau.

- Ví dụ 3.

Các đường thẳng song song với mặt phẳng như:

BC// mp(A’B’C’D’) vì BC không nằm trong mp(A’B’C’D’) nhưng BC// B’C’ – nằm trong mặt phẳng (A’B’C’D’.

Hoặc AD’// (BB’C’C)…..

Các mặt phẳng song song với nhau:

Mặt phẳng (ABCD) chứa hai đường thẳng cắt nhau AB và CD, mặt phẳng (A’B’C’D’) chứa hai đường thẳng cắt nhau A’B’ và C’D’. Hơn nữa, AB// A’B’; CD // C’D’ nên mp(ABCD)// mp(A’B’C’D’).

Ngoài ra, ta còn có mp(AA’D’D) // mp(BB’C’C)….

2. Thể tích của hình hộp chữ nhật

2.1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Hai mặt phẳng vuông góc

a) Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

- Đường thẳng d gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng (P). Kí hiệu .

- Nhận xét: Nếu một đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) tại điểm A thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong (P) và đi qua điểm A.

         

- Ví dụ 4. Đường thẳng BC vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau CD và CP cùng nằm trong mp(DCPQ) nên $\mathrm{BC}\perp \mathrm{mp}\left(\mathrm{DCPQ}\right)$

b) Hai mặt phẳng vuông góc

- Mặt phẳng (P) gọi là vuông góc với mặt phẳng (Q) nếu mặt phẳng (P) chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (Q). Kí hiệu $\left(\mathrm{P}\right)\perp \left(\mathrm{Q}\right)$.

- Ví dụ 5.

Cho hình hộp chữ nhật ABCD. MNPQ. Chứng minh rằng $\mathrm{mp}\left(\mathrm{ABCD}\right)\perp \mathrm{mp}\left(\mathrm{ABNM}\right)$

Lời giải:

+ Ta có BN vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau AB và BC của mặt phẳng (ABCD) nên $\mathrm{BN}\perp \mathrm{mp}\left(\mathrm{ABCD}\right)$

Lại có: BN nằm trong mp(ABNM) nên $\mathrm{mp}\left(\mathrm{ABCD}\right)\perp \mathrm{mp}\left(\mathrm{ABNM}\right)$.

2.2. Thể tích hình hộp chữ nhật

- Cho hình hộp chữ nhật có kích thước các cạnh là a; b; c (cùng đơn vị độ dài) thì thể tích hình hộp chữ nhật là V = a.b.c.

- Thể tích hình lập phương cạnh a là V = a³.

Ví dụ 6. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = 4cm; AD = 6cm; AA’ = 5cm. Thể tích hình hộp chữ nhật đã cho là

V = 4.6.5 = 120 cm³

3. Hình lăng trụ đứng

3.1. Hình lăng trụ đứng

Hình vẽ dưới đây gọi là lăng trụ đứng.

Trong hình lăng trụ đứng này:

+ A; B; C; D; A’; B’; C’; D’ là các đỉnh.

+ ADD’A’; BCC’B’,... là những hình chữ nhật, gọi là các mặt bên

+ AA’; BB’; CC’; DD’ song song với nhau và bằng nhau, chúng được gọi là các cạnh bên

+ Hai mặt ABCD và A’B’C’D’ là hai đáy. Hình lăng trụ trên có hai đáy là tứ giác nên gọi là lặng trụ tứ giác, kí hiệu: ABCD. A’B’C’D’.

Chú ý:

+ Hai đáy là hai đa giác bằng nhau và nằm trên hai mặt phẳng song song.

+ Các cạnh bên song song, bằng nhau và vuông góc với hai mặt phẳng đáy. Độ dài cạnh bên được gọi chiều cao của hình lăng trụ đứng.

+ Các mặt bên là những hình chữ nhật và vuông góc với hai mặt phẳng đáy.

+ Hình hộp chữ nhật, hình lập phương là những hình lăng trụ đứng.

+ Hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp đứng.

- Ví dụ 7. Cho hình lăng trụ đứng sau:

- Hai mặt đáy ABC và A’B’C’ là hai tam giác bằng nhau (nằm trong hai mặt phẳng song song)

- Các mặt bên ABB’A’; ACC’A’; BCC’B’ là các hình chữ nhật.

- Chú ý:

+ BCC’B’ là một hình chữ nhật, khi vẽ nó trên mặt phẳng, ta thường vẽ thành hình bình hành.

+ Các cạnh song song vẽ thành các đoạn thẳng song song.

+ Các cạnh vuông góc có thể không vẽ thành các đoạn thẳng vuông góc (BB’ và BC chẳng hạn).

4. Diện tích xung quanh của hình lăng trụ

4.1. Công thức tính diện tích xung quanh

Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng bằng chu vi đáy nhân với chiều cao:

S_xq = 2p.h  (p: nửa chu vi đáy, h: chiều cao)

Diện tích toàn phần của hình lăng trụ đứng bằng tổng diện tích xung quanh và diện tích hai đáy.

S_tp = S_xq + S_2day     

Ví dụ 8. Cho hình lăng trụ đứng có đáy là lục giác đều cạnh 6cm, chiều cao lăng trụ là 4cm.  Tính diện tích xung quanh của hình lăng trụ?

Lời giải:

Do đáy của hình lăng trụ là lục giác đều cạnh 6cm nên chu vi đáy là:

P = 6. 6 = 36cm

Diện tích xung quanh của hình lăng trụ là; 

S_xq = P.  h = 36.4 = 144 cm²

5. Thể tích của hình lăng trụ

5.1. Công thức tính thể tích.

Thể tích của hình lăng trụ đứng bằng diện tích đáy nhân với chiều cao:

V = S.h (S: diện tích đáy, h: chiều cao)

Ví dụ 9.

Cho hình lăng trụ đứng ABCD. A’B’C’D’ có đáy là hình thang vuông tại A và D.

Tính thể tích của hình lăng trụ biết AB = 6cm; CD = 4 cm; AD = 5cm và AA’ = 6cm

Lời giải:

Diện tích hình thang ABCD là:

$\mathrm{S}=\frac{1}{2}\left(\mathrm{AB}+\mathrm{CD}\right).\mathrm{AD}=\frac{1}{2}\left(6+4\right).5=25{\mathrm{cm}}^2$

Thể tích của hình lăng trụ là V = S. AA’ = 25. 6 = 150 cm³.

6. Hình chóp đều và hình chóp cụt đều.

6.1. Hình chóp

- Đáy là một đa giác, các mặt bên là những tam giác có chung một đỉnh. Đỉnh chung này gọi là đỉnh của hình chóp.

- Đường thẳng đi qua đỉnh và vuông góc với mặt phẳng đáy gọi là đường cao.

6.2. Hình chóp đều

- Định nghĩa: Hình chóp đều là hình chóp có đáy là một đa giác đều, các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau có chung đỉnh (là đỉnh của hình chóp).

+ Chân đường cao của hình chóp đều là tâm của đường tròn đi qua các đỉnh của mặt đáy.

+  Đường cao vẽ từ đỉnh của mỗi mặt bên của hình chóp đều được gọi là trung đoạn của hình chóp đó.

6.3. Hình chóp cụt đều

- Cắt hình chóp đều bởi một mặt phẳng song song với đáy. Phần hình chóp nằm giữa mặt phẳng đó và mặt đáy của hình chóp gọi là hình chóp cụt đều.

- Nhận xét: Mỗi mặt bên của hình chóp cụt đều là một hình thang cân.

Hình trên có hình chóp cụt đều là ABCD.A’B’C’D’.

7. Diện tích xung quanh của hình chóp đều

7.1. Công thức tính diện tích xung quanh của hình chop đều

- Diện tích xung quanh của hình chóp đều bằng tích của nửa chu vi đáy với trung đoạn:

S_xq = p.d (trong đó p: nửa chu vi đáy, d: trung đoạn)

- Diện tích toàn phần của hình chóp

Diện tích toàn phần của hình chóp bằng tổng của diện tích xung quanh và diện tích đáy:

S_tp = S_xq + S (trong đó S: diện tích đáy)

- Ví dụ 10. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh đáy là 3cm, chiều cao 5cm.

a) Tính diện tích xung quanh của hình chóp.

b) Tính diện tích toàn phần của hình chóp.

Lời giải:

a) Ta có ABCD là hình vuông, khi đó nửa chu vi bằng:

$\mathrm{p}=\frac{\mathrm{AB}+\mathrm{BC}+\mathrm{CD}+\mathrm{DA}}{2}=\frac{3+3+3+3}{2}=6\left(\mathrm{cm}\right)$

Kẻ SM vuông góc với CD.

Do tam giác SCD cân tại S nên SM cũng là đường trung tuyến

Suy ra M là trung điểm của CD.

Xét tam giác ACD, có:

O là trung điểm của AC

M là trung điểm của CD

Suy ra OM là đường trung bình của tam giác ACD

$\Rightarrow \mathrm{OM}=\frac{1}{2}\mathrm{AD}=\frac{1}{2}.3=\frac{3}{2}$

Xét tam giác SOM vuông tại O, có:

$$\begin{gathered} {\mathrm{SM}}^2={\mathrm{SO}}^2+\mathrm{OM}\left(2\right)=5^2+{\left(\frac{3}{2}\right)}^2=\frac{109}{4} \\ \Rightarrow \mathrm{SM}=\frac{\sqrt{109}}{2}\mathrm{cm} \end{gathered}$$

Diện tích xung quanh của hình chóp đều là:

${\mathrm{S}}_{\mathrm{xq}}=\mathrm{p}.\mathrm{d}=\mathrm{p}.\mathrm{SM}=\frac{6.\sqrt{109}}{2}=3\sqrt{109}\left({\mathrm{cm}}^2\right)$

b) Diện tích đáy là: S = 3² = 9 cm²

+ Diện tích toàn phần của hình chóp đều là

${\mathrm{S}}_{\mathrm{tp}}={\mathrm{S}}_{\mathrm{xq}}+{\mathrm{S}}_{\mathrm{ABCD}}=3\sqrt{109}+9\left({\mathrm{cm}}^2\right)$

8. Thể tích của hình chóp đều

8.1. Công thức tính thể tích

Thể tích của hình chóp bằng một phần ba của diện tích đáy nhân với chiều cao:

$\mathrm{V}=\frac{1}{2}\mathrm{S}.\mathrm{h}$ (trong đó S: diện tích đáy, h: chiều cao)

Ví dụ 11. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh đáy là 4cm, chiều cao 6cm. Tính thể tích của hình chóp.

Lời giải:

Diện tích đáy của hình chóp là: S = 4² = 16cm²

Thể tích của hình chóp đều là

$\mathrm{V}=\frac{1}{3}.{\mathrm{S}}_{\mathrm{ABCD}}.\mathrm{SO}=\frac{1}{3}.16.6=32\left({\mathrm{cm}}^3\right)$

B. Bài tập tự luyện.

Bài 1. Cho hình lập phương ABCD. EFGH.

a) Đường thẳng BC song song với mặt phẳng nào?

b) Đường thẳng DH song song với mặt phẳng nào?

Lời giải:

a) Ta có: BC // mp(EFGH) vì BC// FH trong đó FH nằm trong  mp(EFGH).

(Ngoài ra BC // mp(AEHD) vì BC // AD trong AD nằm trong mp(AEHD)).

b) Ta có: DH // mp(ABFE) vì DH // BE trong đó BE nằm trong mp(ABFE).

(Ngoài ra DH // mp(BCGF) vì DH // CG trong đó CG nằm trong mp(BCGF)).

Bài 2. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Có bao nhiêu đường thẳng song song với BC’?

Lời giải:

Ta có: AB // C’D’ (vì cùng // CD) và AB =  C’D’ ( =  CD)

Suy ra tứ giác ABC’D’ là hình bình hành

Suy ra: BC’// AD’.

Vậy có một đường thẳng song song với đường thẳng BC’.

Bài 3. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. MNPQ có DC = 5cm; AD = 4cm; AM = 3cm. Tính độ dài các cạnh DP và DM

Lời giải:

Vì AMQD là hình chữ nhật nên AM = DQ = 3cm.

Vì DCPQ là hình chữ nhật nên tam giác DCQ là tam giác vuông tại D.

Áp dụng định lí Py ta go vào tam giác DCQ ta có:

CQ² = DC² + DQ² = 5² + 3² = 34 nên  cm

Theo tính chất hình chữ nhật ta có: DP = cm

Vì AMQD là hình chữ nhật nên tam giác ADM vuông tại A.

Áp dụng định lí pyta go vào tam giác ADM có:

DM² = AD² + AM² = 4² + 3² = 25 nên DM = 5 cm.

Bài 4. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. EFGH. Kể tên các mặt phẳng song song?

Lời  giải:

Các mặt phẳng song song với nhau là:

+ mp(ABCD) // mp(EFGH);

+ mp(AEHC) // mp(BFGD).

+ mp(CDGH) // mp(ABFE).

Bài 8. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. MNPQ có AB = 6cm; BC = 8cm và thể tích của hình hộp là 480cm³. Tính BM?

Lời giải:

Thể tích của hình hộp chữ nhật là

$\mathrm{V}=\mathrm{AB}.\mathrm{BC}.\mathrm{AM}\Rightarrow \mathrm{AM}=\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{AB}.\mathrm{BC}}=\frac{480}{6.8}=10\mathrm{cm}$

Áp dụng định lý pyta go vào tam giác vuông ABM có:

BM² = AM² + AB²  = 10²  + 6² = 136 nên $\mathrm{BM}=\sqrt{136}$ cm

Bài 9. Cho hình lập phương có thể tích là:  64cm³. Tính diện tích toàn phần của hình lập phương?

Lời giải:

Gọi a là độ dài cạnh của hình lập phương

Thể tích của hình lập phương là; 

V = a³ = 64 nên a =  4 cm

Suy ra, diện tích 1 mặt bên của hình lập phương là:

 S = a² = 16cm²

Diện tích toàn phần của hình lập phương là:

6.16 = 96cm²

Bài 10. Cho một hình hộp chữ nhật có các kích thước tỉ lệ với 3; 4; 5 và thể tích của hình hộp là 60cm³. Khi đó, kích thước lớn nhất của hình hộp là:

Lời giải:

Gọi kích thước của hình hộp chữ nhật đã cho là  a, b, c

Vì các kích thước tỉ lệ với 3; 4; 5 nên:

$$\begin{gathered} \frac{\mathrm{a}}{3}=\frac{\mathrm{b}}{4}=\frac{\mathrm{c}}{5}=\mathrm{t} \\ \Rightarrow \mathrm{a}=3\mathrm{t}; \mathrm{b}=4\mathrm{t}; \mathrm{c}=5\mathrm{t} \end{gathered}$$

Thể tích của hình hộp là:

 V = abc $\Rightarrow$3t.  4t .5t= 480

Suy ra:  60t³ = 60 nên t = 1

Do đó, a = 3cm; b = 4cm; c = 5cm

Vậy cạnh lớn nhất của hình hộp là 5cm

Bài 11. Diện tích toàn phần của hình lập phương l50 cm². Tính thể tích của nó?

Lời giải:

Hình lập phương có 6 mặt, diện tích mỗi mặt là;

150 : 6 = 25 cm²

Độ dài mỗi cạnh là: $\sqrt{25}=5$ cm

Thể tích của hình lập phương là V = 5³ =  125 cm³

Bài 12. Cho hình lăng trụ ngũ giác ABCDE.A’B’C’D’E’.

a) Kể tên các mặt bên.

b) Kể tên các đỉnh.

c) Kể tên các mặt đáy.

d) Kể tên các cạnh song song và bằng nhau.

Lời giải:

 

a) Các mặt bên là mặt ABB’A’; mặt BCC’B’; mặt CDD’C’; mặt DEE’D’; mặt AEE’A’

b) Tên các đỉnh là A; B; C; D; E; A’; B’; C’; D’ và E’

c) Hai mặt đáy là mặt ABCDE và mặt A’B’C’D’E’.

d) Tên các cạnh song song và bằng nhau.

+ Các cạnh AA’; BB’; CC’; DD’ và EE’ là các cạnh bên song song và bằng nhau.

+ AB song song và bằng A’B’.

+ BC song song và bằng B’C’

+ CD song song và bằng C’D’.

+ DE song song và bằng D’E’.

+ AE song song và bằng A’E’

Bài 13. Cho hình lăng trụ đứng tứ giác ABCD. A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình bình hành.

a) Kể tên các đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD).

b) Hình này có bao nhiêu cạnh bên?

c) Kể tên các cạnh đáy?

d) Những cặp mặt nào vuông góc với nhau.

Lời giải:

a) Các đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) là AA’; BB’; CC’ và DD’.

b) Hình này có 4 cạnh bên là: AA’; BB’; CC’ và DD’.

c) Các cạnh đáy là AB; BC; CD; DA; A’B’; B’C’; C’D’ và D’A’.

d) Những cặp mặt vuông góc với nhau:

+ Mặt (ABB’A’) và (ABCD) hoặc mặt (ABB’A’) và (A’B’C’D’).

+ Mặt ( BCC’B’) và (ABCD) hoặc mặt (BCC’B’) và (A’B’C’D’).

+ Mặt (CDD’C’) và (ABCD) hoặc mặt (CDD’C’) và (A’B’C’D’).

+ Mặt (DAA’D’) và (ABCD) hoặc mặt (DAA’D’) và (A’B’C’D’).

Bài 14. Cho hình lăng trụ đứng ABCD.MNPQ có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 6cm; BC = 4cm, chiều cao h = 3cm. Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình lăng trụ đứng là?

Lời giải:

Ta có nửa chu vi của đáy là:

p = AB + BC = 6 + 4 = 10 cm

Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng là:

S_xq = 2ph = 2. 10.3 = 60cm²

Diện tích 1 đáy là: S = AB. BC =6.4 = 24 cm²

Diện tích toàn phần của hình lăng trụ đứng là:

S_tp = 60+ 2.24 = 108 cm²

Bài 15. Cho hình lăng trụ đứng đáy là tam giác có độ dài ba cạnh đáy là 4 cm,  6cm  và  8cm. Biết diện tích xung quanh bằng 90cm². Tính chiều cao của hình lăng trụ?

Lời giải:

Chu vi đáy là:  P = 4 + 6+ 8 = 18cm

Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng

S_xq = P.h nên chiều cao:

$\mathrm{h}=\frac{{\mathrm{S}}_{\mathrm{xq}}}{\mathrm{P}}=\frac{90}{18}=5\mathrm{cm}$

Vậy chiều cao của hình trụ là 5cm.

Bài 16. Tính chiều cao của hình lăng trụ đứng ABCD.EFGH, biết rằng đáy ABCD là hình thoi có các đường chéo AC = 10cm; BD = 24cm và diện tích toàn phần bằng 1280 cm²

Lời giải:

Diện tích 1 đáy của hình lăng trụ là:

$\mathrm{S}=\frac{1}{2}\mathrm{AC}.\mathrm{BD}=120$ cm²

Mà S_tp = S_xq + S_2day

Nên diện tích xung quanh của hình lăng trụ là:

S_xq = S_tp – S_2day = 1280 – 2.120 = 1040 cm²

Vì đáy ABCD là hình thoi nên AC vuông góc với BD tại trung điểm O (tính chất về đường chéo của hình thoi).

Ta có $\mathrm{BO}=\frac{1}{2}\mathrm{BD}=12\mathrm{cm}; \mathrm{OC}=\frac{1}{2}\mathrm{AC}=5\mathrm{cm}$.

Áp dụng định lý Py – ta – go vào tam giác BOC vuông tại O ta được:

BC² = BO² + OC² = 12² + 5² = 169 nên BC = 13cm

Chu vi đáy là P = 4.13 = 52cm

Áp dụng công thức ${\mathrm{S}}_{\mathrm{xq}}=2\mathrm{p}.\mathrm{h}\Rightarrow \mathrm{h}=\frac{{\mathrm{S}}_{\mathrm{xq}}}{2\mathrm{p}}=\frac{1040}{52}=20\left(\mathrm{cm}\right)$

Chiều cao của hình đã cho là 20 cm.

Bài 17. Cho hình lăng trụ đứng ABC.MNP có đáy là tam giác ABC vuông tại A có AB = 6cm; AC = 8cm. Hình lăng trụ có chiều cao h = 4cm. Thể tích của hình lăng trụ đó là?

Lời giải:

Ta có diện tích đáy ABC là:

${\mathrm{S}}_{\mathrm{ABC}}=\frac{1}{2}\mathrm{AB}.\mathrm{AC}=\frac{1}{2}.6.8=24\left({\mathrm{cm}}^2\right)$

Thể tích của hình lăng trụ đó là:

$\mathrm{V}={\mathrm{S}}_{\mathrm{ABC}}.\mathrm{h}=24.4=96{\mathrm{cm}}^2$

Bài 18. Cho hình lăng trụ đứng ABCD.MNPQ có đáy hình thang AB // CD  và AB = 6cm;  CD = 10 cm và chiều cao của hình  thang là 4cm, chiều cao của hình lăng trụ là:  4cm. Tính thể tích của hình lăng trụ?

Lời giải:

Diện tích đáy là:

$\mathrm{S}=\frac{1}{2}\left(\mathrm{AB}+\mathrm{CD}\right).\mathrm{h}=\frac{1}{2}\left(6+10\right).4=32{\mathrm{cm}}^2$

Thể tích của hình lăng trụ đã cho là:

V = S.h’ = 32. 4 = 128 cm³

Bài 19. Một hình lăng trụ có kích thước như hình bên. Tính thể tích của hình lăng trụ.

Lời giải:

Lăng trụ đã cho gồm một hình hộp chữ nhật AA’C’C. MNPQ và một lăng trụ tam  giác ABC.A’B’C’ có cùng chiều cao.

Thể tích hình hộp chữ nhật AA’C’C. MNPQ là:

V₁ = 5.8.20 = 800

Ta tính thể tích hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’:

Ta có: AB = BC = 5; AC = 8.

Gọi I là trung điểm của AC là AI = IC = 4.

Áp dụng định lí Py ta go vào tam giác vuông BCI có:

BI² = BC² – CI² = 5² – 4² = 9 nên BI = 3

Diện tích tam giác ABC là $\mathrm{S}=\frac{1}{2}.\mathrm{BI}.\mathrm{AC}=\frac{1}{2}.3.8=12$

Thể tích hình lăng trụ đứng tam giác là:

 V₂ = 12 . 20 = 240

Thể tích của hình lăng trụ đã cho là:

V = 800 + 240 = 1040

Bài 20. Hình chóp lục giác đều có:

a) Đáy là hình gì?

b) Các mặt bên có đặc điểm gì?

c) Tìm số cạnh đáy, số cạnh và số mặt bên của hình chóp đã cho?

Lời giải:

a) Đáy của hình chóp đã cho là lục giác đều.

b) Các mặt bên là các tam giác cân, bằng nhau và có chung đỉnh.

c) Số cạnh đáy là 6 cạnh.

Số cạnh của hình chóp là 12 cạnh.

Số mặt bên của hình chóp là 6 mặt.

Bài 21. Cho hình chóp như bên dưới? Biết đáy là đa giác đều.

a) Đọc tên hình chóp.

b) Kể tên các cạnh bên, các cạnh đáy.

c)Kể tên các đỉnh của hình chóp.

d) Đâu là chiều cao của hình chóp.

Lời giải:

a) Hình chóp đã cho là hình chóp tứ giác đều S.ABCD.

b) Các cạnh bên là SA; SB; SC và SD.

Các cạnh đáy là AB; BC; CD và DA.

c) Các đỉnh của hình chóp là S; A; B; C; D.

d) Chiều cao của hình chóp là SH.

Bài 22. Cho hình chóp có tất cả 14 cạnh. Hỏi đáy của hình chóp là hình gì?

Lời giải:

Đối với hình chóp thì số cạnh bên bằng số cạnh đáy. Gọi là n

Suy ra, tổng số cạnh của hình chóp là n + n = 2n.

Theo đầu bài: 2n = 14 nên n = 7

Suy ra, đáy là đa giác có 7 cạnh nên đáy của hình chóp gọi là ngũ giác

Bài 23. Cho hình chóp tứ giác đều có các mặt bên là tam giác đều cạnh 6cm. Tính diện tích toàn phần của hình chóp?

Lời giải:

Do mặt bên của hình chóp là tam giác đều cạnh 6cm nên đáy là hình vuông cạnh 6cm.

Nửa chu vi đáy là $\mathrm{p}=\frac{6+6+6+6}{2}=12\mathrm{cm}$

Các mặt bên là tam giác đều cạnh 6cm nên độ dài trung đoạn là

$\mathrm{d}=\mathrm{SH}=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\mathrm{cm}$

Diện tích xung quanh là ${\mathrm{S}}_{\mathrm{xq}}=\mathrm{p}.\mathrm{d}=12.3\sqrt{3}=36\sqrt{3}$

Diện tích đáy là;  6² = 36cm²

Diện tích toàn phần là: ${\mathrm{S}}_{\mathrm{tp}}=36\sqrt{3}+36 {\mathrm{cm}}^2$

Bài 24. Một hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh bên là 5cm và đáy là hình vuông cạnh 8cm.Tính diện tích xung quanh của hình chóp?

Lời giải:

Nửa chu vi đáy là: $\mathrm{p}=\frac{8+8+8+8}{2}=16\mathrm{cm}$ 

Gọi H là trung điểm của CD, suy ra: CH =DH = 4cm

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông SHC có:

SH² = SC² – CH² = 5² – 4² = 9 nên SH = 3cm

Diện tích xung quanh của hình chóp là;

 S_xq= p. SH = 16. 3 = 48 cm²

Bài 25. Một hình chóp đều có độ dài cạnh bên là 13cm, đáy là tam giác đều ABC. Biết độ dài trung đoạn bằng 12 cm. Tính diện tích xung quanh của hình chóp.

Lời giải:

Gọi M là trung điểm của BC.

Theo giả thiết ta có: SM = 12 cm; SC = 13cm

Áp dụng định lí Pyta go vào tam giác vuông SMC có:

MC² = SC² – SM² = 13² – 12² = 25

Suy ra: MC = 5cm.

Vì M là trung điểm BC nên BC = 2MC = 10cm.

Vì đáy là tam giác đều nên AB = BC= CA = 10cm

Nửa chu vi đáy là $\mathrm{p}=\frac{\mathrm{AB}+\mathrm{BC}+\mathrm{CA}}{2}=15\mathrm{cm}$

Diện tích xung quanh là: S_xq = p.d = 15. 12 = 180cm².

Bài 26. Cho hình chóp S.MNPQ có đáy là hình chữ nhật và MN = 3cm; NP = 4cm .

Biết thể tích của hình chóp S.MNPQ bằng 48cm³. Tính độ dài đường cao của hình chóp?

Lời giải:

Diện tích đáy của hình chóp là:

S = MN. NP = 3.4 = 12cm²

Áp dụng công thức thể tích của hình chóp ta có:

$\mathrm{V}=\frac{1}{3}.\mathrm{h}.\mathrm{S}\Rightarrow \mathrm{h}=\frac{3\mathrm{V}}{\mathrm{S}}=\frac{3.48}{12}=12\mathrm{cm}$

Bài 27. Một hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên SA = 5cm và độ dài cạnh đáy là cm. Tính thể tích của hình chóp tứ giác đều.

Lời giải:

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông ABC có;

AC² = AB² + BC² = ${\left(3\sqrt{2}\right)}^2+{\left(3\sqrt{2}\right)}^2=36$

Suy ra: AC = 6 cm và $\mathrm{AO}=\frac{1}{2}\mathrm{AC}=3\mathrm{cm}$

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông SAO có :

 SO² = SA² -  AO² =  5² -  3² = 16 nên SO = 4cm

Diện tích đáy là: ${\left(3\sqrt{2}\right)}^2=18{\mathrm{cm}}^2$

Thể tích của hình chóp là:

$\mathrm{V}=\frac{1}{3}.18.4=24{\mathrm{cm}}^2$

Bài 28. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có thể tích là $12\sqrt{3}$cm³; chiều cao của hình chóp là 4cm. Tính độ dài cạnh đáy?

Lời giải:

Thể tích của hình chóp đều là:

$\mathrm{V}=\frac{1}{3}{\mathrm{S}}_{\mathrm{d}}.\mathrm{h}\Rightarrow {\mathrm{S}}_{\mathrm{d}}=\frac{3\mathrm{V}}{\mathrm{h}}=\frac{3.12\sqrt{3}}{4}=\frac{36\sqrt{3}}{4}{\mathrm{cm}}^2$

Gọi độ dài cạnh đáy là a.

Do đáy là tam giác đều nên diện tích đáy là

${\mathrm{S}}_{\mathrm{d}}=\frac{{\mathrm{a}}^2\sqrt{3}}{4}{\mathrm{cm}}^2$

Suy ra: $\frac{{\mathrm{a}}^2\sqrt{3}}{4}=\frac{36\sqrt{3}}{4}\iff {\mathrm{a}}^2=36\iff \mathrm{a}=6\mathrm{cm}$

Vậy độ dài cạnh đáy là 6cm.

Trắc nghiệm Toán 8 Bài ôn tập Chương 4

Bài 1: Cho hình lăng trụ đứng đáy là hình thoi có hai đường chéo lần lượt  là 8cm và 10cm. Tính chiều cao của lăng trụ đứng biết thể tích của lăng trụ đứng là 360cm³.

A. 18cm

B. 12cm

C. 9cm

D. 10cm

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Diện tích đáy hình thoi là:

$\frac{1}{2}$.8.10 = 40(cm²)

Vì V = S_d.h

=> h = $\frac{V}{S_d}$ nên chiều cao của lăng trụ đứng là:

360 : 40 = 9(cm)

Bài 2: Hình lăng trụ đứng tam giác có

A. 5 mặt, 6 đỉnh và 9 cạnh

B. 4 mặt, 6 đỉnh và 6 cạnh

B. 5 mặt, 9 đỉnh và 6 cạnh

D. 3 mặt, 6 đỉnh và 6 cạnh

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Quan sát hình vẽ ta thấy hình lặng trụ đứng tam giác có 5 mặt, 6 đỉnh và 9 cạnh.

Bài 3: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’, với mặt đáy ABCD là hình chữ nhật. Khi đó:

A. AA’ = CD’

B. BC’ = CD’

C. AC’ = BB’

D. AA’ = CC’

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình lăng trụ đứng có đáy là hình chữ nhật nên suy ra ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp chữ nhật => AA’ = CC’ (cùng bằng BB’)

Bài 4: Hình chóp có 8 cạnh thì đáy là hình gì?

A. Tứ giác

B. Tứ giác

C. Ngũ giác

D. Lục giác

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Vì hình chóp có số cạnh gấp đôi số cạnh của đa giác ở đáy nên hình chóp có 8 cạnh thì đa giác đáy có 8 : 2 = 4 cạnh. Hay đáy là tứ giác.

Bài 5: Thể tích của hình lập phương trong hình là:

A. 216cm³

B. 96cm³

C. 75cm³

D. 36cm³

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Thể tích hình lập phương V = 6³ = 216cm³

Bài 6: Hình lập phương là hình :

A. Có mặt đáy là hình vuông, mặt bên là hình chữ nhật

B. Có tất cả các mặt là hình vuông

C. Có mặt đáy là hình vuông, các mặt bên là hình thoi

D. Cả A, B, C đều sai

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Hình lập phương là hình có tất cả các mặt đều là hình vuông.

Bài 7: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Điểm M thuộc đoạn thẳng BD. Khi đó:

A. Điểm M thuộc mặt phẳng (ABB’A’)

B. Điểm M thuộc mặt phẳng (DCC’D’)

C. Điểm M thuộc mặt phẳng (A’B’C’D’)

D. Điểm M thuộc mặt phẳng (ABCD)

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Vì M $\subset$ BD mà BD $\subset$ (ABCD) nên M thuộc mặt phẳng (ABCD).

Bài 8: Hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’. Cặp mặt phẳng dưới đây vuông góc

A. mp(ABB’A’) và mp(ABC)

B. mp(ABB’A’) và mp(ACC’A’)

C. mp(ABC) và mp(A’B’C’)

D. Cả A, B, C đều đúng

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Hình lăng trụ đứng tam giác có các mặt bên vuông góc với mặt đáy nên mp(ABB’A’) và mp(ABC) là hai mặt phẳng vuông góc.

Bài 9: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy AB = 8cm, đường cao SO = 10cm. Hỏi thể tích của hình chóp đều là bao nhiêu?

A. $\frac{800}{3}$cm³

B. $\frac{640}{3}$cm³

C. 800cm³

D. 640cm³

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Tứ giác ABCD là hình vuông cạnh 8cm. Nên thể tích hình chóp tứ giác đều S.ABCD là

=> V = $\frac{1}{3}$S_ABCD.SO

=$\frac{1}{3}$ .8².10 =$\frac{640}{3}$ cm³

Bài 10: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH. Chọn câu đúng:

A. ACGE là hình chữ nhật

B. DF = CE

C. Cả A, B đều sai

D. Cả A, B đều đúng

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

+) Ta có: AE // CG, AE = CG (gt)

Suy ra tứ giác ACGE là hình bình hành.

Mặt khác: AE $\perp$ mp(EFGH))

Mà EG  mp(EFGH)

=> AE $\perp$ EG tại E.

Vậy tứ giác ACGE là hình chữ nhật nên A đúng.

+) Vì DH  mp(EFGH) nên DH $\perp$ HF tại H.

Áp dụng định lý Pitago cho tam giác DHF vuông tại H, ta có:

DH² + HF² = DF²   (1)

Vì AE $\perp$ mp(ABCD) nên AE $\perp$ AC tại A.

Áp dụng định lý Pitago cho tam giác EAC vuông tại A, ta có:

EA² + AC² = EC²   (2)

Mà DH = AE, HF = EG = AC (Hai đường chéo của hình chữ nhật) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra: DF² = EC²

=> DF = CE nên B đúng.

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 8 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Định lí Ta-let trong tam giác

Lý thuyết Định lí đảo và hệ quả của định lí Ta - lét

Lý thuyết Tính chất đường phân giác của tam giác

Lý thuyết Khái niệm tam giác đồng dạng

Lý thuyết Trường hợp đồng dạng thứ nhất