Lý thuyết Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân (mới 2023 + Bài Tập) – Toán 8
Lý thuyết Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân lớp 8 gồm lý thuyết chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm Toán 8 Bài 2: Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân.
Lý thuyết Toán 8 Bài 2: Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân
Bài giảng Toán 8 Bài 2: Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân
A. Lý thuyết
1. Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với số dương
a) Tính chất
Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.
b) Tổng quát
Với ba số a, b và c mà c > 0, ta có:
Nếu a < b thì ac < bc;
Nếu a ≤ b thì ac ≤ bc;
Nếu a > b thì ac > bc;
Nếu a ≥ b thì ac ≥ bc.
Ví dụ 1. Đặt dấu thích hợp (<, >, =) vào chỗ chấm:
a) (–21,5) . 6,5 ..... (–21,25) . 6,5;
b) 5,15 . 3,6 ..... (–5,25) . 3,6.
Lời giải:
a) Ta có –21,5 < –21,25 và 6,5 > 0.
Nhân hai vế của bất đẳng thức
–21,5 < –21,25 với 6,5 ta được:
(–21,5) . 6,5 < (–21,25) . 6,5.
b) Ta có 5,15 > –5,25 và 3,6 > 0.
Nhân hai vế của bất đẳng thức
5,15 > –5,25 với 3,6 ta được:
5,15 . 3,6 ..... (–5,25) . 3,6.
2. Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với số âm
a) Tính chất
Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm ta được một bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho.
b) Tổng quát
Với ba số a, b và c mà c < 0, ta có:
Nếu a < b thì ac > bc;
Nếu a ≤ b thì ac ≥ bc;
Nếu a > b thì ac < bc;
Nếu a ≥ b thì ac ≤ bc.
Ví dụ 2. Đặt dấu thích hợp (<, >, =) vào chỗ chấm:
a) (–12,5) . 48 ..... (–12,5) . 45;
b) (–5,5) . (–11,2) ..... 6,25 . (–11,2).
Lời giải:
a) Ta có 48 > 45 và –12,5 < 0.
Nhân hai vế của bất đẳng thức
48 > 45 với (–12,5), ta được:
(–12,5) . 48 < (–12,5) . 45.
b) Ta có –5,5 < 6,25 và –11,2 < 0.
Nhân hai vế của bất đẳng thức
–5,5 < 6,25 với (–11,2), ta được:
(–5,5) . (–11,2) > 6,25 . (–11,2).
2. Tính chất bắc cầu của thứ tự
Tính chất bắc cầu: Với ba số a, b và c ta thấy nếu a < b và b < c thì a < c.
Trên trục số trên, a nằm bên trái b (a < b) và b nằm bên trái c (b < c) nên a nằm bên trái c (a < c).
Ví dụ 3. Cho a < b. Chứng minh a + 1 < b + 5.
Lời giải:
Cộng hai vế của bất đẳng thức a < b với 1, ta được:
a + 1 < b + 1. (1)
Cộng hai vế của bất đẳng thức 1 < 5 với b, ta được:
b + 1 < b + 5. (2)
Từ (1) và (2), theo tính chất bắc cầu, suy ra:
a + 1 < b + 5.
B. Bài tập tự luyện
Bài 1. Số a là số âm, số 0 hay số dương nếu:
a) 10a > 2a;
b) −6b > 9b;
c) 8a ≤ 15a.
Lời giải:
a) Vì 10 > 2 mà 10a > 2a nên a là số dương;
b) Vì −6 < 9 mà −6a > 9a nên a là số âm;
c) Vì 8 < 15 mà 8a ≤ 15a nên a là số không âm (tức là a ≥ 0).
Bài 2. Đặt dấu thích hợp (<, >, =) vào chỗ chấm:
a) 5,12 . 2,4 ..... 5,12 . 3,1;
b) (–22) . 12,55 ..... (–22) . 45.
Lời giải:
a) Ta có 2,4 < 3,1 và 2,4 > 0.
Nhân hai vế của bất đẳng thức
2,4 < 3,1 với 5,12 ta được:
5,12 . 2,4 < 5,12 . 3,1.
b) Ta có 12,55 < 45 và –22 < 0.
Nhân hai vế của bất đẳng thức
12,55 < 45 với (–22), ta được:
(–22) . 12,55 > (–22) . 45.
Bài 3. Cho m > n, chứng minh:
a) m – 4 > n – 5;
b) 2m + 8 > 2n.
Lời giải:
a) Cộng hai vế của bất đẳng thức m > n với – 4, ta được:
m – 4 > n – 4. (1)
Cộng hai vế của bất đẳng thức – 4 > – 5 với n, ta được:
n – 4 > n – 5. (2)
Từ (1) và (2), theo tính chất bắc cầu, suy ra:
m – 4 > n – 5.
b) Nhân hai vế của bất đẳng thức m > n với 2, ta được: 2m > 2n.
Cộng hai vế của bất đẳng thức 2m > 2n với 8, ta được:
2m + 8 > 2n + 8. (3)
Cộng hai vế của bất đẳng thức 8 > 0 với 2n, ta được:
2n + 8 > 2n. (4)
Từ (3) và (4), theo tính chất bắc cầu, suy ra:
2m + 8 > 2n.
Trắc nghiệm Toán 8 Bài 2: Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân
Bài 1: Hãy chọn câu sai. Nếu a < b thì?
A. 2a + 1 < 2b + 5
B. 7 - 3b > 4 - 3b
C. a - b < 0
D. 2 - 3a < 2 - 3b
Đáp án: D
Giải thích:
+ Vì a < b 2a < 2b
2a + 1 < 2b + 1 < 2b + 5
hay 2a + 1 < 2b + 5 nên A đúng.
+ Vì a < b -3a > -3b
7 - 3a > 7 - 3b > 4 - 3b
hay 7 - 3a > 4 - 3b nên B đúng.
+ Vì a < b a - b < b - b
a - b < 0 nên C đúng.
+ Vì a < b -3a > -3b
2 - 3a > 2 - 3b nên D sai.
Bài 2: Cho a > b > 0. So sánh a3……b3, dấu cần điền vào chỗ chấm là?
A. >
B. <
C. =
D. Không đủ dữ kiện để so sánh
Đáp án: A
Giải thích:
* Với a > b > 0 ta có:
+) a. a > a. b a2 > ab
+) Ta có: a2 > ab
a2. a > a. ab a3 > a2b
Mà a > b > 0
ab > b. b ab > b2
ab. a > b2. b a2b > b3.
a2b > b3 a3 > a2b > b3.
a3 > b3
Vậy a3 > b3.
Đáp án cần chọn là: A
Bài 3: Cho a + 1 ≤ b + 2.
So sánh 2 số 2a + 2 và 2b + 4 nào dưới đây là đúng?
A. 2a +2 > 2b + 4
B. 2a + 2 < 2b + 4
C. 2a + 2 ≥ 2b + 4
D. 2a + 2 ≤ 2b + 4
Đáp án: D
Giải thích:
Nhân cả hai vế của bất đẳng thức
a + 1 ≤ b + 2 với 2 > 0 ta được
2(a + 1) ≤ 2(b + 2)
2a + 2 ≤ 2b + 4.
Bài 4: Cho a, b bất kì. Chọn câu đúng?
A. < ab
B. ≤ ab
C. ≥ ab
D. > ab
Đáp án: C
Giải thích:
Xét hiệu
P = - ab
= ≥ 0
(luôn đúng với mọi a, b)
Nên ≥ ab
Bài 5: Với mọi a, b, c. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. a2 + b2 + c2 < ab + bc + ca
B. a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca
C. a2 + b2 + c2 ≤ ab + bc + ca
D. Cả A, B, C đều sai
Đáp án: B
Giải thích:
P = a2 + b2 + c2 - (ab + bc + ca)
= (2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc - 2ca)
= [(a2 - 2ab + b2) + (a2 - 2ac + c2) + (b2 - 2bc - c2)]
= [(a - b)2 + (a - c)2 + (b - c)2] ≥ 0
với mọi a, b, c (vì (a - b)2 ≥ 0;
(a - c)2 ≥ 0; (b - c)2 ≥ 0 với mọi a, b, c)
Nên P ≥ 0
a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ac.
Bài 6: Cho a, b bất kì. Chọn câu đúng nhất?
A. a2 + b2 < 2ab
B. a2 + b2 ≤ 2ab
C. a2 + b2 ≥ 2ab
D. a2 + b2 > 2ab
Đáp án: C
Giải thích:
Xét hiệu P = a2 + b2 - 2ab
= (a - b)2 ≥ 0 (luôn đúng với mọi a, b)
Nên a2 + b2 > 2ab với mọi a, b.
Dấu “=” xảy ra khi a = b.
Bài 7: Cho a - 2 ≤ b - 1.
So sánh 2 số 2a - 4 và 2b - 2 nào dưới đây là đúng?
A. 2a - 4 > 2b - 2
B. 2a - 4 < 2b - 2
C. 2a - 4 ≥ 2b - 2
D. 2a - 4 ≤ 2b - 2
Đáp án: D
Giải thích:
Nhân cả hai vế của bất đẳng thức
a - 2 ≤ b - 1 với 2 > 0 ta được:
2(a - 2) ≤ 2(b - 1)
2a - 4 ≤ 2b - 2.
Bài 8: Cho -2x + 3 < -2y + 3.
So sánh x và y. Đáp án nào sau đây là đúng?
A. x < y
B. x > y
C. x ≤ y
D. x ≥ y
Đáp án: B
Giải thích:
Theo đề bài ta có: -2x + 3 < -2y + 3
-2x + 3 - 3 < -2y + 3 - 3
-2x < -2y
-2. x > -2. y
x > y.
Bài 9: Cho -3x - 1 < -3y - 1.
So sánh x và y. Đáp án nào sau đây là đúng?
A. x < y
B. x > y
C. x = y
D. Không so sánh được
Đáp án: B
Giải thích:
Theo đề bài ta có: -3x - 1 < -3y - 1
-3x - 1 + 1 < -3y - 1 + 1
-3x < -3y
-3. x > -3. y
x > y.
Bài 10: Bất đẳng thức nào sau đây đúng với mọi a > 0, b > 0?
A. a3 + b3 - ab2 - a2b < 0
B. a3 + b3 - ab2 - a2b ≥ 0
C. a3 + b3 - ab2 - a2b ≤ 0
D. a3 + b3 - ab2 - a2b > 0
Đáp án: B
Giải thích:
Ta có a3 + b3 - ab2 - a2b
= a2(a - b) - b2(a - b)
= (a2 - b2) (a - b)
= (a - b)(a + b)(a - b)
= (a - b)2(a + b) ≥ 0 (vì (a - b)2 ≥ 0
với mọi a, b và a + b > 0 với a > 0, b > 0).
Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 8 đầy đủ, chi tiết khác:
Lý thuyết Bất phương trình một ẩn
Lý thuyết Bất phương trình bậc nhất một ẩn
Xem thêm các chương trình khác:
- Tóm tắt tác phẩm Ngữ văn 8 (Sách mới) | Kết nối tri thức, Cánh diều, Chân trời sáng tạo
- Soạn văn 8 (hay nhất) | Để học tốt Ngữ văn lớp 8 (sách mới)
- Soạn văn 8 (ngắn nhất) | Để học tốt Ngữ văn lớp 8 (sách mới)
- Văn mẫu lớp 8 (Sách mới) | Kết nối tri thức, Cánh diều, Chân trời sáng tạo
- Tác giả - tác phẩm Ngữ văn 8 (Sách mới) | Kết nối tri thức, Cánh diều, Chân trời sáng tạo
- Giải sgk Hóa học 8
- Giải sbt Hóa học 8
- Giải vở bài tập Hóa học 8
- Lý thuyết Hóa học 8
- Các dạng bài tập Hóa học lớp 8
- Giải sgk Vật Lí 8
- Giải sbt Vật Lí 8
- Lý thuyết Vật Lí 8
- Giải vở bài tập Vật lí 8
- Giải sgk Tiếng Anh 8 (sách mới) | Giải bài tập Tiếng Anh 8 Học kì 1, Học kì 2
- Giải sgk Tiếng Anh 8 | Giải bài tập Tiếng Anh 8 Học kì 1, Học kì 2 (sách mới)
- Giải sbt Tiếng Anh 8 (sách mới) | Sách bài tập Tiếng Anh 8
- Giải sbt Tiếng Anh 8 (thí điểm)
- Giải sgk Tin học 8 | Giải bài tập Tin học 8 Học kì 1, Học kì 2 (sách mới)
- Giải sgk Lịch Sử 8 | Giải bài tập Lịch sử 8 Học kì 1, Học kì 2 (sách mới)
- Lý thuyết Lịch sử 8 (sách mới) | Kiến thức trọng tâm Lịch sử 8
- Giải vở bài tập Lịch sử 8
- Giải Tập bản đồ Lịch sử 8
- Đề thi Lịch Sử 8
- Giải vở bài tập Sinh học 8
- Giải sgk Sinh học 8
- Lý thuyết Sinh học 8
- Giải sgk Giáo dục công dân 8 | Giải bài tập Giáo dục công dân 8 Học kì 1, Học kì 2 (sách mới)
- Lý thuyết Giáo dục công dân 8 (sách mới) | Kiến thức trọng tâm GDCD 8
- Lý thuyết Địa Lí 8 (sách mới) | Kiến thức trọng tâm Địa Lí 8
- Giải sgk Địa Lí 8 | Giải bài tập Địa Lí 8 Học kì 1, Học kì 2 (sách mới)
- Giải Tập bản đồ Địa Lí 8
- Đề thi Địa lí 8