Lý thuyết Giải bài toán bằng cách lập phương trình (mới 2023 + Bài Tập) – Toán 8

Lý thuyết Toán 8 Bài 6: Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Bài giảng Toán 8 Bài 6: Giải bài toán bằng cách lập phương trình

A. Lý thuyết

1. Biểu diễn một đại lượng bởi biểu thức chứa ẩn

Trong thực tế, nhiều đại lượng biến đổi phụ thuộc lẫn nhau. Nếu kí hiệu một trong các đại lượng ấy là x thì các đại lượng khác có thể được biểu diễn dưới dạng một biểu thức của biến x.

Ví dụ 1. Gọi x (km/h) là vận tốc của một xe máy. Khi đó:

Quãng đường xe máy đi được trong 2 giờ là 2x (km).

Thời gian để xe máy đi được quãng đường 50 km là $\frac{50}{\mathrm{x}}$(h).

2. Giải toán bằng cách lập phương trình

Các bước giải toán bằng cách lập phương trình:

Bước 1: Lập phương trình:

+ Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số;

+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết khác theo ẩn và các đại lượng đã biết;

+ Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải phương trình.

Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thoả mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận.

Ví dụ 2. Ông của Bình hơn Bình 58 tuổi. Nếu cộng tuổi của bố Bình và hai lần tuổi của Bình thì bằng tuổi của ông và tổng số tuổi của ba người bằng 130. Hãy tính tuổi của Bình.

Lời giải:

Gọi x (tuổi) là số tuổi của Bình ($\mathrm{x}\in \mathrm{N}*$).

Số tuổi của ông Bình là x + 58 (tuổi).

Vì tổng số tuổi của bố Bình và hai lần tuổi của Bình thì bằng tuổi của ông nên tuổi của bố Bình là:

(x + 58) – 2x = 58 – x.

Theo đề bài, số tuổi của ba người bằng 130. Khi đó, ta có phương trình:

x + (x + 58) + (58 – x) = 130

$\iff$x + x + 58 + 58 – x = 130

$\iff$x = 130 – 58 – 58

$\iff$x = 14 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy Bình 14 tuổi.

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Một đoàn tàu hỏa từ Hà Nội đi Thành phố Hồ Chí Minh. 1 giờ 48 phút sau, một tàu hỏa khác khởi hành từ Nam Định đi Thành phố Hồ Chí Minh với vận tốc nhỏ hơn vận tốc của đoàn tàu thứ nhất là 5km/h. Hai đoàn tàu gặp nhau (ở ga nào đó) sau 4 giờ 48 phút kể từ khi đoàn tàu thứ nhất khởi hành. Tính vận tốc của mỗi tàu, biết rằng ga Nam Định nằm trên đường từ Hà Nội đi Thành phố Hồ Chí Minh và cách Hà Nội 87km.

Lời giải:

Gọi x (km/h) là vận tốc của đoàn tàu thứ hai. Điều kiện: x > 0.

Vận tốc của đoàn tàu thứ nhất là x + 5(km/h).

Khi gặp nhau thì đoàn tàu thứ nhất đi được 4 giờ 48 phút.

Vì đoàn tàu thứ hai đi sau 1 giờ 48 phút nên đoàn tàu thứ nhất đi được 3 giờ

Thời gian đoàn tàu thứ nhất đi được khi hai tàu gặp nhau là:

4 giờ 48 phút = $\frac{24}{5}$giờ.

Quãng đường đoàn tàu thứ hai đi được từ lúc khởi hành đến lúc hai đoàn tàu gặp nhau là 3x (km).

Quãng đường đoàn tàu thứ nhất đi được từ lúc khởi hành đến lúc hai đoàn tàu gặp nhau là $\frac{24}{5}\left(\mathrm{x}+5\right)$(km).

Theo đề bài, ga Nam Định nằm trên đường từ Hà Nội đi Thành phố Hồ Chí Minh và cách Hà Nội 87km. Khi đó, ta có phương trình:

$$\begin{gathered} \frac{24}{5}\left(\mathrm{x}+5\right)=3\mathrm{x}+87 \\ \iff \frac{24}{5}\mathrm{x}+24=3\mathrm{x}+87 \\ \iff \frac{9}{5}\mathrm{x}=63 \end{gathered}$$

$\iff$x = 35 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy vận tốc của đoàn tàu thứ hai là 35km/h, vận tốc của đoàn tàu thứ nhất là:

35 + 5 = 40 (km/h).

Bài 2. Một hình chữ nhật có chu vi bằng 114 cm. Biết rằng, nếu giảm chiều rộng đi 5cm và tăng chiều dài thêm 8cm thì diện tích khu vườn không đổi. Tính diên tích hình chữ nhật.

Lời giải:

Nửa chu vi hình chữ nhật là: 114 : 2 = 57 (cm)

Gọi chiều rộng của hình chữ nhật lúc đầu là: x (cm) (với 0< x < 57);

Chiều dài của hình chữ nhật lúc đầu là: 57 − x (cm).

Diện tích hình chữ nhật lúc đầu là: x(57−x) = 57x − x² (cm²)

Nếu giảm chiều rộng đi 5cm thì chiều rộng hình chữ nhật khi đó là: x − 5 (cm)

Nếu tăng chiều dài thêm 8cm thì chiều hình chữ nhật khi đó là:

57 – x + 8 = 65 − x (cm)

Diện tích hình chữ nhật khi thay đổi là:

(x − 5)(65 − x) = −x² + 70x − 325 (cm²).

Theo đề bài, diện tích của hình chữ nhật ban đầu và diện tích hình chữ nhật lúc sau không thay đổi. Khi đó, ta có phương trình:

57x − x² = −x² + 70x − 325

$\iff$13x = 325

$\iff$x = 25 (thỏa mãn điều kiện).

Chiều dài của hình chữ nhật lúc đầu là:

57 – 25 = 32 (cm).

Diện tích khu vườn hình chữ nhật là:

25 . 32 = 800 (cm²)

Vậy diện tích của hình chữ nhật là 800 cm².

Bài 3. Hai người công nhân cùng làm chung công việc trong 12 giờ thì xong. Nhưng chỉ làm việc chung trong 4 giờ, người thứ nhất đi làm công việc khác, người thứ hai làm tiếp trong 10 giờ nữa thì xong. Hỏi mỗi người làm một mình thì bao lâu xong công việc?

Lời giải:

Gọi x (giờ) là thời gian người công nhân thứ hai làm một mình hoàn thành công việc (x > 12).

Do hai người công nhân làm chung trong 12 giờ sẽ hoàn thành công việc nên:

Trong 1 giờ, hai người công nhân làm được $\frac{1}{12}$(công việc);

Trong 1 giờ, người công nhân thứ nhất làm được $\frac{1}{12}-\mathrm{x}$(công việc).

Trong 4 giờ, hai người công nhân làm được $4.\frac{1}{12}=\frac{1}{3}$(công việc).

Trong 10 giờ, người công nhân thứ hai làm được 10x (công việc).

Theo đề bài, hai người làm chung trong 4 giờ và người thứ hai làm một mình trong 10 giờ thì xong công việc. Khi đó, ta có phương trình: 

$$\begin{gathered} \frac{1}{3}+10\mathrm{x}=1 \\ \iff 10\mathrm{x}=1-\frac{1}{3} \\ \iff 10\mathrm{x}=\frac{2}{3} \end{gathered}$$

$\iff \mathrm{x}=\frac{1}{15}$(thoả mãn điều kiện).
Khi đó, trong 1 giờ, người thứ hai làm một mình thì được $\frac{1}{15}$(công việc).

Trong 1 giờ, người thứ hai làm một mình thì được $\frac{1}{12}-\frac{1}{15}=\frac{1}{60}$(công việc).

Vậy nếu làm một mình, người thứ nhất hoàn thành công việc trong 60 giờ và người thứ hai hoàn thành công việc trong 15 giờ.

Bài 4. Một tổ may áo theo kế hoạch mỗi ngày phải may 30 áo. Nhờ cải tiến kỹ thuật, tổ đã may được mỗi ngày thêm 10 áo nên đã hoàn thành trước thời hạn 3 ngày. Ngoài ra, còn may thêm được 20 chiếc áo nữa. Tính số áo mà tổ đó phải may theo kế hoạch.

Lời giải:

Gọi x (ngày) là số ngày tổ đó hoàn thành công việc theo kế hoạch (x > 3).

Số áo mà tổ đó phải làm theo kế hoạch là: 30x (áo)

Thực tế số áo mà tổ đó sản xuất mỗi ngày là: 30 + 10 = 40 (áo)

Thực tế số ngày mà người đó đã hoàn thành công việc là: x − 4 (ngày).

Thực tế, tổ đó may được số áo là: 30x + 20 (áo).

Theo đề bài, tổ đó hoàn thành công việc trước thời hạn 3 ngày. Khi đó, ta có phương trình:

30x + 20 = 40(x − 3)

$\iff$10x = 140

$\iff$x = 14 (thỏa mãn điều kiện).

Số áo mà tổ đó phải may theo kế hoạch là:

30 . 14 = 420 (áo).

Vậy theo kế hoạch tổ đó phải may 420 áo.

Trắc nghiệm Toán 8 Bài 6: Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Bài 1: Xe thứ hai đi chậm hơn xe thứ nhất 15km/h. Nếu gọi vận tốc xe thứ hai là x (km/h) thì vận tốc xe thứ nhất là:

A. x – 15 (km/h)

B. 15x (km/h)

C. x + 15(km/h)

D. 15 : x (km/h)

Bài 2: Chu vi một mảnh vườn hình chữ nhật là 45m. Biết chiều dài hơn chiều rộng 5m. Nếu gọi chiều rộng mảnh vườn là x (x > 0; m) thì phương trình của bài toán là

A. (2x + 5).2 = 45

B. x + 3

C. 3 – x

D. 3x

Bài 3: Xe tải thứ nhất chở x tấn hàng, xe thứ hai chở gấp đôi xe thứ nhất. Số tấn hàng của xe thứ hai chở được tính theo x là:

A. 2x

B. 2 + x

C. x²

D. $\frac{x}{2}$ 

Bài 4: Xe máy và ô tô cùng đi trên một con đường, biết vận tốc của xe máy là x (km/h) và mỗi giờ ô tô lại đi nhanh hơn xe máy 20km. Công thức tính vận tốc ô tô là:

A. x – 20 (km/h)

B. 20x (km/h)

C. 20 – x (km/h)

D. 20 + x (km/h)

Bài 5: Một xưởng dệt theo kế hoạch mỗi ngày phải dệt 30 áo. Trong thực tế mỗi ngày xưởng dệt được 40 áo nên đã hoàn thành trước thời hạn 3 ngày, ngoài ra còn làm thêm đươc 20 chiếc áo nữa. Hãy chọn câu đúng. Nếu gọi thời gian xưởng làm theo kế hoạch là x (ngày, x > 3, x N). Thì phương trình của bài toán là:

A. 40x = 30(x – 3) – 20

B. 40x = 30(x – 3) + 20

C. 30x = 40(x – 3) + 20

D. 30x = 40(x – 3) – 20

Bài 6: Số thứ nhất gấp 6 lần số thứ hai. Nếu gọi số thứ nhất là x thì số thứ hai là:

A. 6x

B. $\frac{x}{6}$

C.$\frac{6}{x}$

D. x + 6

Bài 7: Một xưởng dệt theo kế hoạch mỗi ngày phải dệt 30 áo. Trong thực tế mỗi ngày xưởng dệt được 40 áo nên đã hoàn thành trước thời hạn 3 ngày, ngoài ra còn làm thêm đươc 20 chiếc áo nữa. Hãy chọn câu đúng. Nếu số sản phẩm xưởng cần làm theo kế hoạch là x (sản phẩm, x > 0, x  N) thì phương trình của bài toán là:

Bài 8: Một ca nô và một tàu thủy khởi hành cùng một lúc trên một con sông. Biết tàu thủy đến chậm hơn ca nô 3 giờ. Nếu gọi thời gian đi của tàu thủy là x thì thời gian đi của ca nô là:

A. x – 3

B. 3x

C. 3 – x

D. x + 3

Bài 9: Hai xe khởi hành cùng một lúc, xe thứ nhất đến sớm hơn xe thứ hai 3 giờ. Nếu gọi thời gian đi của xe thứ nhất là x giờ thì thời gian của xe thứ hai là:

A. (x – 3) giờ

B. 3x giờ

C. (3 – x) giờ

D. (x + 3) giờ

Bài 10: Một hình chữ nhật có chiều dài là x (cm), chiều dài hơn chiều rộng 3(cm). Diện tích hình chữ nhật là 4 (cm²). Phương trình ẩn x là:

A. 3x = 4

B. (x + 3).3 = 4

C. x(x + 3) = 4

D. x(x – 3) = 4

Trắc nghiệm Toán 8 Bài 7: Giải bài toán bằng cách lập phương trình (tiếp theo)

Bài 1: Một xưởng dệt theo kế hoạch mỗi ngày phải dệt được 30 áo. Trong thực tế mỗi ngày xưởng dệt được 40 áo nên đã hoàn thành trước thời hạn 3 ngày, ngoài ra còn làm thêm được 20 chiếc áo nữa. Số sản phẩm thực tế làm được là:

A. 420

B. 440

C. 500

D. 450

Bài 2: Một người đi xe máy từ A đến B, với vận tốc 30km/h. Lúc về người đó đi với vận tốc 24 km/h. Do đó thời gian về lâu hơn thời gian đi là 30 phút. Thời gian lúc đi là:

A. 1 giờ

B. 2 giờ

C. 1,5 giờ

D. 2,5 giờ

Bài 3: Một đội thợ mỏ theo kế hoạch mỗi ngày phải khai thác 50m³ than. Do siêng năng làm việc nên trên thực tế mỗi ngày đội khai thác được 57m³ than. Vì vậy không những đã xong trước thời hạn 1 ngày mà còn vượt mức 13m³ than. Theo kế hoạch, đội phải khai thác số m³ than là:

A. 500m³

B. 513m³

C. 487m³

D. 513m³

Bài 4: Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 25 km/h. Lúc về người đó đi với vận tốc 30 km/h nên thời gian về ít hơn thời gian đi là 20 phút. Tính quãng đường AB?

A. 40 km

B. 70 km

C. 50 km

D. 60 km

Bài 5: Một ca nô xuôi dòng từ A đến B hết 1h24 phút và ngược dòng hết 2h. Biết vận tốc dòng nước là 3km/h. Tính vận tốc riêng của ca nô?

A. 16km/h

B. 18km/h

C. 17km/h

D. 15km/h

Bài 6: Trong tháng Giêng hai tổ công nhân may được 800 chiếc áo. Tháng Hai, tổ 1 vượt mức 15%, tổ 2 vượt mức 20% do đó cả hai tổ sản xuất được 945 cái áo. Tính xem trong tháng đầu, tổ 1 may được bao nhiêu chiếc áo?

A. 300

B. 500

C. 400

D. 600

Bài 7: Hình chữ nhật có đường chéo 10cm. Chiều rộng kém chiều dài 2cm. Diện tích hình chữ nhật là:

A. 24cm²

B. 36cm²

C. 48cm²

D. 64cm²

Bài 8: Tổng của chữ số hàng đơn vị và hai lần chữ số hàng chục của một số có hai chữ số là 10. Nếu đổi chỗ hai chữ số này cho nhau thì ta thu được số mới nhỏ hơn số cũ là 18 đơn vị. Tổng các chữ số đã cho là:

A. 9

B. 8

C. 6

D. 10

Bài 9: Một ca nô xuôi dòng từ A đến B hết 1h20 phút và ngược dòng hết 2h. Biết vận tốc dòng nước là 3km/h. Tính vận tốc riêng của ca nô?

A. 16km/h

B. 18km/h

C. 20km/h

D. 15km/h

Bài 10: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể thì bể sẽ đầy trong 3 giờ 20 phút. Người ta cho vòi thứ nhất chảy trong 3 giờ, vòi thứ hai chảy trong 2 giờ thì cả hai vòi chảy được  bể. Thời gian vòi một chảy một mình đầy bể là:

A. 10 giờ

B. 6 giờ

C. 8 giờ

D. 5 giờ

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 8 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Ôn tập chương 3

Lý thuyết Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng

Lý thuyết Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân

Lý thuyết Bất phương trình một ẩn

Lý thuyết Bất phương trình bậc nhất một ẩn