Lý thuyết Phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phối hợp nhiều phương pháp (mới 2023 + Bài Tập) – Toán 8

Lý thuyết Toán 8 Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phối hợp nhiều phương pháp

Bài giảng Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phối hợp nhiều phương pháp

A. Lý thuyết

Khái niệm: Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

Khi thực hiện phân tích đa thức thành nhân tử các biểu thức phức tạp ta thường sử dụng phối hợp cả ba phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cơ bản: phương pháp nhân tử chung, phương pháp hằng đẳng thức, phương pháp nhóm hạng tử.

Chú ý: Nếu các hạng tử của đa thức có nhân tử chung thì ta nên sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung trước để đa thức trở lên đơn giản hơn rồi mới tiếp tục phân tích đến kết quả cuối cùng.

Ví dụ: Phân tích đa thức x³y + 6x²y² + 9xy thành nhân tử.

Lời giải:

x³y + 6x²y² + 9xy

= xy(x² + 6xy + 9)

= xy(x² + 2.xy.3 + 3²)

= xy(x + 3)²

B. Bài tập tự luyện

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.

a) 3x – 2y + 9x² – 4y²;

b) 8x³ + 12x² + 6x + 1 – y³;

c) a² + 2a + 3 + 3(a + 1).

Lời giải:

a) 3x – 2y + 9x² – 4y²

= 3x – 2y + (3x – 2y)(3x + 2y)

= (3x – 2y)(1 + 3x + 2y)

b) 8x³ + 12x² + 6x + 1 – y³

= (2x + 1)³ – y³

= (2x + 1 – y )[(2x + 1)² + (2x + 1)y + y²]

= (2x + 1 – y )(4x² + 4x + 1 + 2xy + y + y²)

c) a² + 2a + 3 + 3(a + 1)

= a²  + 2a + 3 + 3a + 3

= (a² + 2a) + (3a + 6)

= a(a + 2) + 3(a + 2)

= (a + 3)(a + 2)

Bài 2: Tìm x, biết:

(2x + 1)² – 6x(x – 2) = (x + 3)².

Lời giải:

(2x + 1)² – 6x(x – 2) = (x + 3)²

(2x + 1)² – (x + 3)² – 6x(x – 2) = 0

[(2x + 1) – (x + 3)][(2x + 1) + (x + 3)] – 6x(x – 2) = 0

(x – 2)(3x + 4) – 6x(x – 2) = 0

(x – 2)[(3x + 4) – 6x] = 0

(x – 2)(4 – 3x) = 0

Bài 3: Tính giá trị biểu thức:

a) A = xy(x⁵ – y³) –  x²y(x⁴ – y³) tại x = 1.

b) B = m⁴ + 4 khi m² – 2m + 2 = 0

Lời giải:

a) A = xy(x⁵ – y³) –  x²y(x⁴ – y³) tại x = 1.

A = x⁶y – xy⁴ – x⁶y + x²y⁴

A =  – xy⁴ + x²y⁴

A = xy⁴ (x – 1)

Thay x = 1 vào A ta được: A =  xy⁴ .0 = 0

b) B = m⁴ + 4

B = m⁴ + 4m² – 4m² + 4

B = (m⁴ + 4m² + 4) – 4m²

B = (m² + 2)² – (2m)²

B = (m² + 2 – 2m)(m² + 2 + 2m)

Thay m² – 2m + 2 = 0 vào B, ta được: B = 0.(m² + 2 + 2m) = 0

Trắc nghiệm Toán 8 Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp

Bài 1: Phân tích đa thức x² – 6x + 8 thành nhân tử ta được

A. (x – 4)(x – 2)    

B. (x – 4)(x + 2)    

C. (x + 4)(x – 2)    

D. (x – 4)(2 – x)

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có

x² – 6x + 8

= x² – 4x – 2x + 8

= x(x – 4) – 2(x – 4)

= (x – 4)(x – 2)

Bài 2: Có bao nhiêu giá trị x thỏa mãn 2(x + 3) – x² – 3x = 0

A. 0                       

B. 2                       

C. 1                       

D. 3

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Bài 3: Giá trị của biểu thức

A = x² – 4y² + 4x + 4

tại x = 62, y = -18 là

A. 2800                 

B. 1400                 

C. -2800                

D. -1400

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có

A = x² – 4y² + 4x + 4

= (x² + 4x + 4) – 4y²

= (x + 2)² – (2y)²

= (x + 2 – 2y)(x + 2 + 2y)

Thay x = 62; y = -18 ta được

A = (62 + 2 – 2.(-18))(62 + 2 + 2.(-18))

= 100.28 = 2800

Bài 4: Gọi x₀ là giá trị thỏa mãn

x⁴ – 4x³ + 8x² – 16x + 16 = 0. Chọn câu đúng

A. x₀ > 2               

B. x₀ < 3                

C. x₀ < 1                

D. x₀ > 4

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Bài 5: Giá trị của biểu thức

B = x³ + x²y – xy² – y³ tại x = 3,25 ; y = 6,75 là

A. 350                   

B. -350                  

C. 35                      

D. -35

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có

B = x³ + x²y – xy² – y³

= x²(x + y) – y²(x + y)

= (x² – y²)(x + y)

= (x – y)(x + y)(x + y)

= (x – y)(x + y)²

Thay x = 3,25 ; y = 6,75 ta được

B = (3,25 – 6,75)(3,25 + 6,75)²

= -3,5.10² = -350

Bài 6: Phân tích đa thức x² – 7x + 10 thành nhân tử ta được

A. (x – 5)(x + 2)    

B. (x – 5)(x - 2)     

C. (x + 5)(x + 2)   

D. (x – 5)(2 – x)

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có

x² – 7x + 10

= x² – 2x – 5x + 10

= x(x – 2) – 5(x – 2)

= (x – 5)(x – 2)

Bài 7: Cho biểu thức C = xyz – (xy + yz + zx) + x + y + z – 1.

Phân tích C thành nhân tử và tính giá trị của C khi x = 9; y = 10; z = 101.

A. C = (z – 1)(xy – y – x + 1); C = 720

B. C = (z – 1)(y – 1)(x + 1); C = 7200

C. C = (z – 1)(y – 1)(x – 1); C = 7200

D. C = (z + 1)(y – 1)(x – 1); C = 7200

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có

C = xyz – (xy + yz + zx) + x + y + z – 1

= (xyz – xy) – (yz – y) – (zx – x) + (z – 1)

= xy(z – 1) – y(z – 1) – x(z – 1) + (z – 1)

= (z – 1)(xy – y – x + 1)

= (z – 1).[y(x – 1) – (x – 1)]

= (z – 1)(y – 1)(x – 1)

Với x = 9; y = 10; z = 101 ta có

C = (101 – 1)(10 – 1)(9 – 1)

= 100.9.8 = 7200

Bài 8: Gọi x₀ < 0 là giá trị thỏa mãn

x⁴ + 2x³ – 8x – 16 = 0. Chọn câu đúng

A. -3 < x₀ < -1       

B. x₀ < -3              

C. x₀ > -1              

D. x₀ = -3

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Bài 9: Cho (x² + x)² + 4x² + 4x – 12 = (x² + x – 2)(x² + x + …).

Điền vào dấu … số hạng thích hợp

A. -3                      

B. 3                       

C. -6                      

D. 6

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có

(x² + x)² + 4x² + 4x – 12

= (x² + x)² + 4(x² + x) – 12

Đặt t = x² + x ta được

t² + 4t – 12 = t² + 6t – 2t – 12

= t(t + 6) – 2(t + 6)

= (t – 2)(t + 6)

= (x² + x – 2)(x² + x + 6)

Vậy số cần điền là 6.

Bài 10: Đa thức 25 – a² + 2ab – b² được phân tích thành

A. (5 + a – b)(5 – a – b)                       

B. (5 + a + b)(5 – a – b)         

C. (5 + a + b)(5 – a + b)                       

D. (5 + a – b)(5 – a + b)

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có

25 – a² + 2ab – b²

= 25 – (a² – 2ab + b²)

= 5² – (a – b)²

= (5 + a – b)(5 – a + b)

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 8 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm các hạng tử

Lý thuyết Chia đơn thức cho đơn thức

Lý thuyết Chia đa thức cho đơn thức

Lý thuyết Chia đa thức một biến đã sắp xếp

Lý thuyết Ôn tập chương 1