Lý thuyết Bất phương trình một ẩn (mới 2023 + Bài Tập) – Toán 8

Lý thuyết Toán 8 Bài 3: Bất phương trình một ẩn

Bài giảng Toán 8 Bài 3: Bất phương trình một ẩn

A. Lý thuyết

1. Bất phương trình một ẩn

- Định nghĩa bất phương trình một ẩn: Bất phương trình ẩn x là hệ thức A (x) > B (x) hoặc A (x) < B (x) hoặc A (x) ≥ B (x) hoặc A (x) ≤ B (x).

Trong đó: A (x) gọi là vế trái; B(x) gọi là vế phải.

Ví dụ 1.

7x – 1 > 3x là bất phương trình với ẩn x;

2 – 6y = 3(y + 2) – 1 là bất phương trình với ẩn y;

2t – 9 = 2 + 5(t + 6) là bất phương trình với ẩn t.

- Nghiệm của bất phương trình là giá trị của ẩn để khi thay vào bất phương trình ta được một khẳng định đúng.

Ví dụ 2. Cho bất phương trình 4 + 3x > 2(x + 1) – 7  (1).

Với x = 1, ta có:

VT(1) = 4 + 3 . 1 = 7;

VP(1) = 2 . (1 + 1) – 7 = 2 . 2 – 7 = – 3.

Nhận thấy x = 1 thỏa mãn bất phương trình (1) nên x = 1 là nghiệm (hay nghiệm đúng) của bất phương trình (1).

2. Tập nghiệm của bất phương trình

- Tập hợp tất cả các nghiệm của một bất phương trình được gọi là tập nghiệm của bất phương trình đó.

- Giải bất phương trình là tìm tất cả các nghiệm của bất phương trình đó.

Ví dụ 3. Tập nghiệm của bất phương trình x < −3 là tập hợp các số nhỏ hơn −3, tức là tập hợp {x | x < −3}.

Ta biểu diễn tập hợp này trên trục số như hình vẽ:

Ví dụ 4. Tập nghiệm của bất phương trình x ≥ 5 là tập hợp các số lớn hơn hoặc bằng 5 tức là tập hợp {x | x ≥ 5}.

Ta biểu diễn tập hợp này trên trục số như hình vẽ:

3. Bất phương trình tương đương

- Hai bất phương trình tương đương nếu chúng có cùng một tập nghiệm.

- Để chỉ hai phương trình tương đương, ta dùng kí hiệu “” (đọc là tương đương).

Ví dụ 5. Hai phương trình x – 4 > 0 và x > 4 được gọi là tương đương với nhau vì chúng có cùng tập nghiệm là {x | x > 4}. Khi đó ta viết: x – 4 > 0$\iff$x > 4. 

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Kiểm tra xem giá trị x = 2 là nghiệm của bất phương trình nào trong các bất phương trình sau:

a) 2x – 5 < 10

b) −4x > 3x + 7

c) 5 – 2x > 4x – 6

Lời giải:

Thay x = 2 lần lượt vào từng vế của mỗi bất phương trình, ta được:

a) 2x – 5 = 2 . 2 – 5 = –1 < 10.

Vậy x = 2 là nghiệm của bất phương trình 2x + 3 < 9.

b) – 4x = – 4 . 2 = – 8;

3x + 7 = 3 . 2 + 7 = 13

Vì – 8 < 13 nên x = 2 không phải nghiệm của bất phương trình −4x > 3x + 7.

c) 5 – 2x > 4x – 6

5 – 2x = 5 – 2 . 2 = 1;

4x – 6 = 4 . 2 – 6 = 2.

Vì 1 < 2 nên x = 2 không phải là nghiệm của bất phương trình 5 – x > 3x – 12.

Bài 2. Viết và biểu diễn tập nghiệm trên trục số bất phương trình x ≤ −6.

Lời giải:

Tập nghiệm của bất phương trình x ≤ −6 là tập hợp các số nhỏ hơn hoặc bằng −6, tức là tập hợp {x | x ≤ −6}.

Ta biểu diễn tập hợp này trên trục số như hình vẽ:

Bài 3. Hình vẽ sau đây biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình nào? (Chỉ nêu một bất phương trình).

a) 

b)

c)

Lời giải:

a) Hình a) biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình x > 4;

b) Hình b) biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình x < −5;

c) Hình c) biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình x ≥ 2.

Trắc nghiệm Toán 8 Bài 3: Bất phương trình một ẩn

Bài 1: Với điều kiện nào của x thì biểu thức

B =$\frac{\text{2x}-\text{4}}{\text{3}-\text{x}}$  nhận giá trị âm?

A. x < -2

B. x < 2 hoặc x > 3

C. x > 2

D. 2 < x < 3

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có: B = $\frac{\text{2x}-\text{4}}{\text{3}-\text{x}}$ < 0

$\begin{array}{l}\iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}\text{2x}-\text{4}>\text{0}\\ \text{3}-\text{x}<\text{0}\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}\text{2x}-\text{4}<\text{0}\\ \text{3}-\text{x}>\text{0}\end{array}\right.\end{array}\right.\\ \iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}\text{x}>\text{2}\\ \text{x}>\text{3}\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}\text{x}<\text{2}\\ \text{x}<\text{3}\end{array}\right.\end{array}\right.\\ \iff \left[\begin{array}{l}\text{x}<\text{2}\\ \text{x}>\text{3}\end{array}\right.\end{array}$

Vậy với $\left[\begin{array}{l}\text{x}<\text{2}\\ \text{x}>\text{3}\end{array}\right.$ thì B âm.

Đáp án cần chọn là: B

Bài 2: Bất phương trình x - 2 > 4, phép biến đổi nào sau đây là đúng?

A. x > 4 - 2

B. x > -4 + 2

C. x > -4 -2

D. x > 4 + 2

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có x - 2 > 4, chuyển -2 từ vế trái sang

vế phải ta được x > 4 + 2.

Bài 3: Hãy chọn câu đúng,

x = -3 là một nghiệm của bất phương trình?

A. 2x + 1 > 5

B. 7 - 2x < 10 - x

C. 2 + x < 2 + 2x

D. -3x > 4x + 3

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

+ Thay x = -3 vào bất phương trình 2x + 1 > 5 ta được

2. (-3) + 1 > 5 $\iff$ -5 > 5 (vô lý)

nên x = -3 không là nghiệm của bất phương trình 2x + 1 > 5.

+ Thay x = -3 vào bất phương trình 7 - 2x < 10 - x ta được

7 - 2. (-3) < 10 - (-3)

$\iff$ 13 < 13 (vô lý) nên x = -3

không là nghiệm của bất phương trình 7 - 2x < 10 - x.

+ Thay x = -3 vào bất phương trình 2 + x < 2 + 2x ta được

2 + (-3) < 2 + 2. (-3)

$\iff$ -1 < -4 (vô lý) nên x = -3

không là nghiệm của bất phương trình 2 + x < 2 + 2x.

+ Thay x = -3 vào bất phương trình -3x > 4x + 3 ta được

-3. (-3) > 4. (-3) + 3

$\iff$ 9 > -9 (luôn đúng) nên x = -3

là nghiệm của bất phương trình -3x > 4x + 3.

Bài 4: Biểu diễn tập nghiệm của

bất phương trình x ≥ 8 trên trục số, ta được?

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Ta biểu diễn x ≥ 8 trên trục số như sau:

Bài 5: Bất phương trình (x + 2)² < x + x² - 3 có nghiệm là?

A. x >-$\frac{7}{3}$

B. x > $\frac{7}{3}$

C. x < -$\frac{7}{3}$

D. x >$\frac{7}{3}$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

(x + 2)² < x + x² - 3

$\iff$ x² + 4x + 4 < x + x² - 3

$\iff$ (x² - x²) + (4x - x) + 4 + 3 < 0

$\iff$ 3x + 7 < 0

$\iff$ x <$\frac{7}{3}$

Vậy x < -$\frac{7}{3}$ .

Bài 6: Hãy chọn câu đúng, x = -3 không là nghiệm của bất phương trình nào dưới đây?

A. 2x + 1 > -5

B. 7 - 2x ≤ 10 - x

C. 3x - 2 ≤ 6 - 2x

D. -3x > 4x + 3

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Thay x = -3 vào từng bất phương trình ta được:

Đáp án A: 2. (-3) + 1 = -5 > -5 (vô lí)

nên x = -3 không là nghiệm của bất phương trình.

Đáp án B: VT = 7 - 2. (-3) = 13, VP = 10 - (-3) = 13

nên 13 ≤ 13 (đúng) nên x = -3 là nghiệm của bất phương trình.

Đáp án C: VT = 3. (-3) - 2 = -11, VP = 6 - 2. (-3) = 12

nên -11 ≤ 12 (đúng) nên x = -3 là nghiệm của bất phương trình.

Đáp án D: VT = -3. (-3) = 9, VP = 4. (-3) + 3 = -9

nên 9 > -9 (đúng) nên x = -3 là nghiệm của bất phương trình.

Bài 7: Bất phương trình -x - 2 > 4, phép biến đổi nào sau đây là đúng?

A. x < 4 - 2

B. x < -4 + 2

C. x < -4 - 2

D. x > 4 + 2

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có: -x - 2 > 4, chuyển -2 từ vế trái sang vế phải

ta được: -x > 4 + 2

Nhân cả hai vế với -1 ta được: x < -4 - 2.

Bài 8: Kết luận nào sau đây là đúng khi nói về nghiệm của bất phương trình (x + 3)(x + 4) > (x - 2)(x + 9) + 25?

A. Bất phương trình vô nghiệm

B. Bất phương trình vô số nghiệm x $\in$ R

C. Bất phương trình có tập nghiệm S = $\left\{\text{x}>\text{0}\right\}$

D. Bất phương trình có tập nghiệm S = $\left\{\text{x}<\text{0}\right\}$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có (x + 3)(x + 4) > (x - 2)(x + 9) + 25

$\iff$ x² + 7x + 12 > x² + 7x - 18 + 25

$\iff$ x² + 7x + 12 - x² - 7x + 18 - 25 > 0

$\iff$ 5 > 0

Vì 5 > 0 (luôn đúng) nên bất phương trình có vô số nghiệm x $\in$ R.

Bài 9: Bất phương trình x - 2 < 1 tương đương với bất phương trình sau?

A. x > 3

B. x ≤ 3

C. x - 1 > 2

D. x - 1 < 2

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có x - 2 < 1

$\iff$ x - 2 + 1 < 1 + 1

$\iff$ x - 1 < 2

Chuyển vế -2 từ vế trái sang vế phải thì phải đổi dấu ta được

Bpt $\iff$ x < 1 + 2

$\iff$ x < 3 nên loại đáp án A và B.

Bài 10: Nghiệm của bất phương trình

(x + 3) (x + 4) > (x - 2)(x + 9) + 25 là?

A. x > 0

B. Mọi x

C. x < 0

D. x < 1

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có: (x + 3)(x + 4) > (x - 2)(x + 9) + 25

$\iff$ x² + 7x + 12 > x² + 7x - 18 + 25

$\iff$ x² + 7x + 12 - x² - 7x + 18 - 25 > 0

$\iff$ 5 > 0

Vì 5 > 0 (luôn đúng) nên bất phương trình vô số nghiệm x $\in$ R.

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 8 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Lý thuyết Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Lý thuyết Ôn tập chương 4

Lý thuyết Mở đầu về phương trình

Lý thuyết Phương trình bậc nhất một ẩn và cách giải