Lý thuyết Chia đa thức cho đơn thức (mới 2023 + Bài Tập) – Toán 8

Lý thuyết Toán 8 Bài 11: Chia đa thức cho đơn thức

Bài giảng Toán 8 Bài 11: Chia đa thức cho đơn thức

A. Lý thuyết

Quy tắc: Muốn chia đa thức A cho đơn thức B (trường hợp các hạng tử của đa thức A đều chia hết cho B) ta làm như sau:

- Chia lần lượt từng hạng tử của đa thức A cho đơn thức B;

- Cộng các kết quả tìm được lại với nhau.

Chú ý: Trong thực hành ta có thể nhẩm và bỏ bớt một số phép tính trung gian.

Ví dụ 1: (15x²y + 17xy³ – 6xy ) : 3xy

= (15x²y : 3xy) + (17xy³ : 3xy) – (6xy : 3xy)

$=5x+\frac{17}{3}{y}^2-2$

Chú ý: Trường hợp đa thức A có thể phân tích thành nhân tử, ta thường phân tích A trước để rút gọn cho nhanh.

Ví dụ 2: (8x³ – 27y³) : (2x – 3y)

= (2x – 3y)(4x² + 6xy + 9y²) : (2x – 3y)

= 4x² + 6xy + 9y².

B. Bài tập tự luyện

Bài 1: Thực hiện phép tính:

a) (15.3¹¹ + 4.27⁴ + 3¹⁴) : 9⁷;

b) (2a³ + 3a⁴ – 10a) : a;

c) [2(x + y)⁴  – 5(x + y)³] : 3(x + y)².

Lời giải:

a)  (15.3¹¹ + 4.27⁴ + 3¹⁴) : 9⁷

= (5.3.3¹¹ + 4.27⁴ + 3¹⁴) : 3¹⁴

= (5.3¹² : 3¹⁴) + (4.27⁴ : 3¹⁴) + (3¹⁴ : 3¹⁴)

= (5 : 3²) + (4.(3³)⁴ : 3¹⁴) + (3¹⁴ : 3¹⁴)

$=\frac{5}{9}+\frac{4}{9}+1$

= 2

b) (2a³ + 3a⁴ – 10a) : a

= (2a³ : a) + (3a⁴ : a) – (10a : a)

= 2a² + 3a³ – 10

c) [2(x + y)⁴  – 5(x + y)³] : 3(x + y)²

= [2(x + y)⁴ : 3(x + y)²] – [5(x + y)³ : 3(x + y)²]

$=\frac{2}{3}{(x+y)}^2$$-\frac{5}{3}(x+y)$

Bài 2: Tính giá trị của biểu thức:

a) M = (6a³b + a²b) : 2ab tại a = 4.

b) N = [(2x²y)² + 3x⁴y³ – 6x³y²] : (xy)² tại x = y = 2.

Lời giải:

a) M = (6a³b + a²b) : 2ab

M = (6a³b : 2ab) + (a²b : 2ab)

$M=3a^2+\frac{1}{2}a$

Thay a = 4 vào M ta được: $M={3.4}^2+\frac{1}{2}.4=50$.

b) N = [(2x²y)² + 3x⁴y³ – 6x³y²] : (xy)²

N = (2x⁴y² + 3x⁴y³ – 6x³y²) : x²y²

N = (2x⁴y² : x²y²) + (3x⁴y³ : x²y²) – (6x³y² : x²y²)

N = 2x² + 3x²y – 6x

Thay x = y = 2 vào N, ta được: N = 2.2² + 3.2².2 – 6.2 = 20.

Bài 3: Tìm điều kiện của số tự nhiên n để đa thức A chia hết cho đơn thức B:

a) A = 5x³ – 4x² + x và B = 2xⁿ ;

b) A = –11a¹⁸ b^{2n - 3} + 15a¹⁶b⁷ và B = 4a^{3n + 1}b⁶.

Lời giải:

a) Bậc thấp nhất của biến x trong đa thức A là 1 nên n ≤ 1.

Vì n là số tự nhiên nên n = 0 hoặc n = 1.

b) Đa thức A chia hết cho đơn thức B nếu bậc của mỗi biến trong B không lớn hơn bậc thấp nhất của biến đó trong A.

Bậc thấp nhất của biến a trong đa thức A là 16 nên 3n + 1 ≤ 16  (1)

Vì bậc thấp nhất của biến b trong đa thức A luôn lớn hơn hoặc bằng bậc của biến b trong đơn thức B nên 2n – 3 ≥ 6  (2)

Từ (1) suy ra n ≤ 5.

Từ (2) suy ra $n\ge \frac{9}{2}$.

Do đó $\frac{9}{2}\le n\le 5$

Vì n là số tự nhiên nên n = 5.

Trắc nghiệm Toán 8 Bài 11: Chia đa thức cho đơn thức

Bài 1: Thương của phép chia (-12x⁴y + 4x³ – 8x²y²) : (-4x²) bằng

A. -3x²y + x – 2y²                                

B. 3x⁴y + x³ – 2x²y²

C. -12x²y + 4x – 2y²                            

D. 3x²y – x + 2y²

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

(-12x⁴y + 4x³ – 8x²y²) : (-4x²)

= (-12x⁴y) : (-4x²) + (4x³) : (-4x²) – (8x²y²) : (-4x²)

= 3x²y – x + 2y²

Bài 2: Cho (3x – 4y).(…) = 27x³ – 64y³.

Điền vào chỗ trống (…) đa thức thích hợp

A. 6x² + 12xy + 8y²                             

B. 9x² + 12xy + 16y²

C. 9x² – 12xy + 16y²                           

D. 3x² + 12xy + 4y²

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có

27x³ – 64y³

= (3x)³ – (4y)³

= (3x – 4y)((3x)² + 3x.4y + (4y)²)

= (3x – 4y)(9x² + 12xy + 16y²)

Vậy đa thức cần điền là 9x² + 12xy + 16y²

Bài 3: Thương của phép chia

(9x⁴y³ – 18x⁵y⁴ – 81x⁶y⁵) : (-9x³y³) là đa thức có bậc là:

A. 5                       

B. 9                       

C. 3                       

D. 1

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có

(9x⁴y³ – 18x⁵y⁴ – 81x⁶y⁵) : (-9x³y³)

= [(9x⁴y³) : (-9x³y³)] – [18x⁵y⁴ : (-9x³y³)] – [81x⁶y⁵ : (-9x³y³)]

= -x + 2x²y + 9x³y²

Đa thức -x + 2x²y + 9x³y² có bậc 3 + 2 = 5

Bài 4: Tìm x biết (2x⁴ – 3x³ + x²) : $(-\frac{1}{2}{x}^2)$ + 4(x – 1)² = 0

A. x = -1               

B. x = 2                 

C. x = 1                 

D. x = 0

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Bài 5: Biểu thức

D = (9x²y² – 6x²y³) : (-3xy)² + (6x²y + 2x⁴) : (2x²)

sau khi rút gọn là đa thức có bậc là

A. 1                       

B. 3                       

C. 4                       

D. 2

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

D = (9x²y² – 6x²y³) : (-3xy)² + (6x²y + 2x⁴) : (2x²)

$\iff$D = 9x²y² : (-3xy)² – 6x²y³ : (-3xy)² + 6x²y : (2x²) + 2x⁴ : (2x²)

$\iff$D = $1-\frac{2}{3}y+3y+x^2$ 

$\iff$D = $x^2+\frac{7}{3}y+1$ 

Đa thức D = $x^2+\frac{7}{3}y+1$ có bậc 2

Bài 6: Cho M =  (n  N, x; y ≠ 0). Chọn câu đúng

A. Giá trị của M luôn là số âm            

B. Giá trị của M luôn là số dương

C. Giá trị của M luôn bằng 0               

D. Giá trị của M luôn bằng 1

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có

M = $(x^4{y}^{n+1}-\frac{1}{2}{x}^3{y}^{n+2}):\left(\frac{1}{2}{x}^3{y}^n\right)-20x^{4}y:5x^{2}y$

= $\left(x^4{y}^{n+1}\right):\left(\frac{1}{2}{x}^3{y}^n\right)-\left(\frac{1}{2}{x}^3{y}^{n+2}\right):\left(\frac{1}{2}{x}^3{y}^n\right)-4x^2$  

= 2x^4-3y^n+1-n – x^3-3y^n+2-n – 4x²

= 2xy – y² – 4x²

= -(y² – 2xy + x² + 3x²)

= -[(x – y)² + 3x²]

Vì với x; y ≠ 0 thì (x – y)² + 3x² > 0

nên -[(x – y)² + 3x²] < 0; Ɐ x; y ≠ 0

Hay giá trị của M luôn là số âm

Bài 7: Cho (27x³ + 27x² + 9x + 1) : (3x + 1)² = (…)

Điền vào chỗ trống đa thức thích hợp

A. (3x + 1)⁵           

B. 3x + 1               

C. 3x – 1               

D. (3x + 1)³

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có

(27x³ + 27x² + 9x + 1) : (3x + 1)²

= (3x + 1)³ : (3x + 1)²

= 3x + 1

Bài 8: Cho (7x⁴ – 21x³) : 7x² + (10x + 5x²) : 5x = (…)

Điền vào chỗ trống đa thức thích hợp

A. x² – 2x + 2       

B. x² – 4x + 2        

C. x² – x + 5          

D. x² – 2x + 5

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có

(7x⁴ – 21x³) : 7x² + (10x + 5x²) : 5x

= 7x⁴ : (7x²) – 21x³ : (7x²) + 10x : (5x) + 5x² : (5x)

= x² – 3x + 2 + x

= x² – 2x + 2

Bài 9: Kết quả của phép chia (2x³ – x² +10x) : x là

A. x² – x + 10       

B. 2x² – x + 10      

C. 2x² – x – 10      

D. 2x² + x + 10

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có (2x³ – x² +10x) : x

= (2x³ : x) – (x² : x) + (10x : x)

= 2x² – x + 10

Bài 10: Tính giá trị của biểu thức

D = (15xy² + 18xy³ + 16y²) : 6y² – 7x⁴y³ : x⁴y

tại $x=\frac{2}{3}$ và y = 1

 

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

D = (15xy² + 18xy³ + 16y²) : 6y² – 7x⁴y³ : x⁴y

$\iff$D = 15xy² : (6y²) + 18xy³ : (6y²) + 16y² : (6y²) – 7x⁴y³ : x⁴y

$\iff$D = $\frac{5}{2}x+3xy+\frac{8}{3}-7y^2$ 

Tại $x=\frac{2}{3}$ và y = 1 ta có

D = $\frac{5}{2}.\frac{2}{3}+3.\frac{2}{3}.1+\frac{8}{3}-{7.1}^2$

=$\frac{5}{3}+2+\frac{8}{3}-7=\frac{13}{3}-5$ 

$=-\frac{2}{3}$

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 8 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm các hạng tử

Lý thuyết Phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phối hợp nhiều phương pháp

Lý thuyết Chia đơn thức cho đơn thức

Lý thuyết Chia đa thức một biến đã sắp xếp

Lý thuyết Ôn tập chương 1