Lý thuyết Ôn tập chương 2 (mới 2023 + Bài Tập) – Toán 8

Vậy $\frac{5x^2\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}$$=\frac{5x^2}{x+2}$ .

b) Nhân cả tử và mẫu của phân thức $\frac{12x}{5y}$ với (– 1) ta được:

$\frac{12x}{5y}=$$\frac{12x.\left(-1\right)}{5y.\left(-1\right)}=\frac{-12x}{-5y}$

Ta có: 

$$\begin{gathered} \frac{xy-x^2}{7xy-7y^2}=\frac{x\left(y-x\right)}{7y\left(x-y\right)} \\ =\frac{-x\left(x-y\right)}{7y\left(x-y\right)}=\frac{-x}{7y} \end{gathered}$$

Khi quy đồng mẫu thức nhiều phân thức, muốn tìm mẫu thức chung ta có thể làm như sau:

• Phân tích mẫu thức của các phân thức đã cho thành nhân tử;

• Mẫu thức chung cần tìm là một tích mà các nhân tử được chọn như sau:

 +  Nhân tử bằng số của mẫu thức chung là tích các nhân tử bằng số ở các mẫu thức của các phân thức đã cho. (Nếu các nhân tử bằng số ở các mẫu thức là những số nguyên dương thì nhân tử bằng số của mẫu thức chung là BCNN của chúng).

 + Với mỗi luỹ thừa của cùng một biểu thức có mặt trong các mẫu thức, ta chọn luỹ thừa với số mũ cao nhất.

Ví dụ . Tìm mẫu thức chung của hai phân thức $\frac{2}{3x^2-6x+3}$ và $\frac{3}{7x^2-7x}$.

Hướng dẫn giải:

+ Phân tích các mẫu thức thành nhân tử:

3x² – 6x + 3 = 3(x² – 2x + 1) = 3(x – 1)²

7x² – 7x = 7x(x – 1)

+ Vì 21x(x – 1)² = 7x . 3(x² – 2x + 1) = 7x . (3x² – 6x + 3) nên nhân tử phụ của mẫu thức thứ nhất là 7x, ta nhân cả tử và mẫu của phân thức thứ nhất với nhân tử phụ 7x, ta được:

$\frac{2}{3x^2-6x+3}$$=\frac{2.7x}{\left(3x^2-6x+3\right).7x}$$=\frac{14x}{21x{\left(x-1\right)}^2}$

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Ví dụ . Thực hiện phép cộng: $\frac{5}{x^2+5x}$$+\frac{2}{2x+10}$.

Hướng dẫn giải:

Ta có: x² + 5x = x(x + 5)

2x + 10 = 2(x + 5)

Suy ra mẫu thức chung là: 2x(x + 5).

Chú ý: Phép cộng các phân thức cũng có các tính chất sau:

• Giao hoán: $\frac{A}{B}+\frac{C}{D}=\frac{C}{D}+\frac{A}{B}$;

• Kết hợp: $\left(\frac{A}{B}+\frac{C}{D}\right)+\frac{E}{F}=$$\frac{A}{B}+\left(\frac{C}{D}+\frac{E}{F}\right)$.

Ví dụ .

Thực hiện phép tính sau:

$\frac{4x}{4x^2+4x+1}+$$\frac{x}{2x+1}+\frac{1-2x}{4x^2+4x+1}$

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\frac{4x}{4x^2+4x+1}+$$\frac{x}{2x+1}+\frac{1-2x}{4x^2+4x+1}$

$=\left(\frac{4x}{4x^2+4x+1}+\frac{1-2x}{4x^2+4x+1}\right)$$+\frac{x}{2x+1}$    (sử dụng tính chất giao hoán và kết hợp)

8. Phân thức đối

Hai phân thức được gọi là đối nhau nếu tổng của chúng bằng 0.

Tổng quát: Với phân thức $\frac{A}{B}$ ta có $\frac{A}{B}+\frac{-A}{B}=0$. Do đó:

Kí hiệu: Phân thức đối của phân thức $\frac{A}{B}$ được kí hiệu bởi $\frac{A}{B}$.

Khi đó: $-\frac{A}{B}=\frac{-A}{B}$ và $-\frac{-A}{B}=\frac{A}{B}$.

Ví dụ.

+ Phân thức đối của phân thức $\frac{x-2}{x+1}$ là $\frac{-\left(x-2\right)}{x+1}=\frac{2-x}{x+1}$.

+ Phân thức đối của phân thức $\frac{5x}{4x^2+3}$ là $\frac{-5x}{4x^2+3}$.

9. Phép trừ phân thức

Muốn nhân hai phân thức với nhau, ta nhân các tử thức với nhau, các mẫu thức với nhau:

$\frac{A}{B}.\frac{C}{D}=\frac{A.C}{B.D}$

Hai phân thức được gọi là nghịch đảo của nhau nếu tích của chúng bằng 1.

Tổng quát, nếu $\frac{A}{B}$ là một phân thức khác 0 thì $\frac{A}{B}.\frac{B}{A}=1$, do đó:

Mỗi biểu thức là một phân thức hoặc biểu thị một dãy phép toán cộng, trừ, nhân, chia trên những phân thức gọi là biểu thức hữu tỉ.

Ví dụ. Ta có các biểu thức hữu tỉ như: $\frac{5x}{x+2};\frac{1}{x+4}-\frac{2x+2}{3x+4};$$\frac{2}{3x}+\frac{4}{x}.\frac{3}{5x+y}$; …

b) Ta có:

– 4(x + 1)y . [–x(x + 1)²y] = 4x . [(x + 1). (x + 1)²] . [y . y] = 4x(x + 1)³ . y²

xy². 4(x + 1)³ = 4x(x + 1)³ . y²

Do đó:  – 4(x + 1)y . [–x(x + 1)²y] = xy² . 4(x + 1)³.

Vậy $\frac{-4\left(x+1\right)y}{x{y}^2}=$$\frac{4{\left(x+1\right)}^3}{-x{\left(x+1\right)}^{2}y}$

Bài 2. Tìm điều kiện xác định của các phân thức sau:

Hướng dẫn giải:

a) Phân thức $\frac{4x-5}{x+1}$ có nghĩa khi x + 1 ≠ 0 hay x ≠ – 1.

Vậy điều kiện xác định của phân thức $\frac{4x-5}{x+1}$ là x ≠  – 1.

b) Phân thức $\frac{3x}{x^2-4}$ có nghĩa khi x² – 4 ≠ 0 hay (x – 2)(x + 2) ≠ 0

Suy ra x ≠ 2 và x ≠ – 2.

 Vậy điều kiện xác định của phân thức $\frac{3x}{x^2-4}$ là x ≠ 2 và x ≠ – 2.

c) Phân thức $\frac{x-17}{x^2+2x+1}$ có nghĩa khi x² + 2x + 1 ≠ 0

hay (x + 1)² ≠ 0

Suy ra x ≠ – 1 (do (x + 1)² ≥ 0 với mọi x)

Vậy điều kiện xác định của phân thức $\frac{x-17}{x^2+2x+1}$ là x ≠ – 1.

Bài 3. Chứng minh các đẳng thức sau:

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

$$\begin{gathered} \frac{8-x^3}{x-2}=\frac{2^3-x^3}{x-2} \\ =\frac{\left(2-x\right)\left(4+2x+x^2\right)}{-\left(2-x\right)} \\ =\frac{\left(2-x\right)\left(4+2x+x^2\right):\left(2-x\right)}{-\left(2-x\right):\left(2-x\right)} \\ =\frac{4+2x+x^2}{-1} \\ =-x^2-2x-4 \end{gathered}$$

Vậy $\frac{8-x^3}{x-2}$$=-x^2-2x-4$.

b) Ta có:

$$\begin{gathered} \frac{x^3+x^2}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)} \\ =\frac{x^2\left(x+1\right)}{\left(x-1\right).\left(x+1\right)} \\ =\frac{x^2\left(x+1\right):\left(x+1\right)}{\left(x-1\right).\left(x+1\right):\left(x+1\right)} \\ =\frac{x^2}{x-1} \end{gathered}$$

Vậy $\frac{x^3+x^2}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}$$=\frac{x^2}{x-1}$.

Bài 4. Hai phân thức sau có bằng nhau không?

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: x² – y² = (x – y).(x + y)

Do đó:

Vậy hai phân thức $\frac{{\left(x-3\right)}^3}{4\left(3-x\right)}$ và $\frac{{\left(3-x\right)}^2}{4}$ không bằng nhau.

Bài 5. Rút gọn các phân thức sau:

Hướng dẫn giải:

Bài 6. Rút gọn các phân thức sau:

Hướng dẫn giải:

a) 

$$\begin{gathered} \frac{40{\left(x-3\right)}^3}{45-15x}=\frac{\mathrm{5.8.}{\left(x-3\right)}^3}{15\left(3-x\right)} \\ =\frac{\mathrm{5.8.}\left(x-3\right).{\left(x-3\right)}^2}{5.\left(-3\right).\left(x-3\right)} \\ =\frac{8{\left(x-3\right)}^2}{-3} \\ =\frac{-8{\left(x-3\right)}^2}{3} \end{gathered}$$

b)

$$\begin{gathered} \frac{y^2-x^2}{x^3-3x^{2}y+3x{y}^2-y^3} \\ =\frac{-\left(x^2-y^2\right)}{{\left(x-y\right)}^3} \\ =\frac{-\left(x-y\right)\left(x+y\right)}{\left(x-y\right).{\left(x-y\right)}^2} \\ =\frac{-\left(x+y\right)}{{\left(x-y\right)}^2} \end{gathered}$$

c)

$$\begin{gathered} \frac{5x^2+10x+5}{6x^2+6x} \\ =\frac{5\left(x^2+2x+1\right)}{6x\left(x+1\right)} \\ =\frac{5{\left(x+1\right)}^2}{6x\left(x+1\right)} \\ =\frac{5\left(x+1\right)}{6x} \end{gathered}$$

Bài 7. Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:

Hướng dẫn giải:

Do đó mẫu thức chung là 2(x + 3)(x – 3) = 2(x² – 9).

Khi đó ta có:

$$\begin{gathered} \frac{5}{2x+6}=\frac{5}{2\left(x+3\right)} \\ =\frac{5.\left(x-3\right)}{2\left(x+3\right)\left(x-3\right)} \\ =\frac{5\left(x-3\right)}{2\left(x^2-9\right)} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \frac{2}{x^2-9}=\frac{2}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)} \\ =\frac{2.2}{2.\left(x-3\right)\left(x+3\right)} \\ =\frac{4}{2\left(x^2-9\right)} \end{gathered}$$

Bài 8. Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:

Mẫu thức chung là x² – 2. Khi đó ta có:

Suy ra mẫu thức chung là:  – y(x – y)³.

Khi đó ta có:

$$\begin{gathered} \frac{x}{y^2-xy}=\frac{x}{-y\left(x-y\right)} \\ =\frac{x.{\left(x-y\right)}^2}{-y\left(x-y\right){\left(x-y\right)}^2} \\ =\frac{x{\left(x-y\right)}^2}{-y{\left(x-y\right)}^3} \end{gathered}$$

Bài 9. Làm tính cộng các phân thức sau:

Bài 10. Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức $\frac{x^2}{6x+36}+\frac{2\left(x-6\right)}{x}$$+\frac{72+6x}{x\left(x+6\right)}$

tại x = – 5.

Hướng dẫn giải:

Ta có: 6x + 36 = 6(x + 6)

Suy ra mẫu thức chung là: 6x(x + 6).

Khi đó ta có: 

Bài 11. Thực hiện các phép tính sau:

Hướng dẫn giải:

Bài 12. Tính $\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x^3+1}$$+\frac{1}{x^2-x+1}$.

Hướng dẫn giải:

Ta có: x³ + 1 = (x + 1)(x² – x + 1)

Mẫu thức chung là (x + 1)(x² – x + 1).

Khi đó:

Bài 13. Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào x.

$A=\frac{x+4}{2x+4}-\frac{x-2}{x^2-4}$.

Hướng dẫn giải:

Vậy giá trị của biểu thức A không phụ thuộc vào biến x.

Bài 14. Tính:

Hướng dẫn giải:

Bài 14. Thực hiện các phép tính sau:

Bài 15. Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức

$P=\frac{x^2-1}{x+5}.\frac{2x+10}{x^2-x}$ với x = 99.

Hướng dẫn giải:

Bài 16. Thực hiện phép chia

Bài 17. Thực hiện phép chia

Bài 18. Tìm x biết:

Hướng dẫn giải:

b)  Vì a  ≠ {– 1; 0; – 2} nên a + 1 ≠ 0; a + 2 ≠ 0 và a ≠ 0.

Bài 19. Giá trị của phân thức $\frac{2x-1}{x^2-4}$ được xác định khi nào?

Hướng dẫn giải:

Ta có: phân thức $\frac{2x-1}{x^2-4}$ xác định khi x² – 4 ≠ 0.

Mà x² – 4 = (x – 2)(x + 2)

Nên (x – 2)(x + 2) ≠ 0

Mà một tích khác 0 khi mọi thừa số đều khác 0.

Do đó: x – 2 ≠ 0 và x + 2 ≠ 0

Hay x ≠ 2 và x ≠ – 2.

Vậy giá trị của phân thức $\frac{2x-1}{x^2-4}$ được xác định khi x ≠ 2 và x ≠ – 2.

Bài 20. Tìm giá trị của x để giá trị phân thức $\frac{2x^2+10x+12}{x^3-4x}$ bằng 0.

Hướng dẫn giải:

Điều kiện xác định của phân thức $\frac{2x^2+10x+12}{x^3-4x}$ là x³ – 4x ≠ 0.

Mà x³ – 4x = x(x² – 4) = x. (x – 2).(x + 2)

Nên x.(x – 2) . (x + 2) ≠ 0

Suy ra x ≠ 0, x – 2 ≠ 0 và x + 2 ≠ 0.

Hay x ≠ 0, x ≠ 2 và x ≠ – 2.

Ta có: 

Ta có phân thức $\frac{2x^2+10x+12}{x^3-4x}$ bằng 0 khi $\frac{2\left(x+3\right)}{x\left(x-2\right)}=0$.

Suy ra 2(x + 3) = 0 ⇒ x = – 3 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy x = – 3 thì giá trị phân thức $\frac{2x^2+10x+12}{x^3-4x}$ bằng 0.

Bài 21. Biến đổi biểu thức $\frac{\frac{x}{x-y}-\frac{y}{x+y}}{\frac{y}{x-y}+\frac{x}{x+y}}$ thành phân thức đại số.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Bài 22. Cho $N=\frac{2x-10}{x^2-7x+10}$$-\frac{2x}{x^2-4}+\frac{1}{2-x}$.

a) Rút gọn N;

b) Tính giá trị của N tại x = 15.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: x² – 7x + 10 = x² – 2x – 5x + 10 = x(x – 2) – 5(x – 2) = (x – 2)(x – 5)

x² – 4 = (x + 2)(x – 2)

Do đó điều kiện xác định của biểu thức N là $\left\{\begin{array}{l}\left(x-2\right)\left(x-5\right)\ne 0\\ \left(x+2\right)\left(x-2\right)\ne 0\\ 2-x\ne 0\end{array}\right.$

Hay x – 2 ≠ 0, x + 2 ≠ 0, x – 5 ≠ 0.

Suy ra x ≠ 2, x≠ – 2 và x ≠ 5.

Ta có

Vậy $N=\frac{-1}{x+2}$ với x ≠ 2, x≠ – 2 và x ≠ 5.

b) Có x = 15 thỏa mãn các điều kiện của biến x.

Khi đó thay x = 15 vào N ta được:

Trắc nghiệm Toán 8: Ôn tập Chương 2

Bài 1: Điền vào chỗ trống:$\frac{2x-6}{x+3}-\mathrm{...}=\frac{x+1}{2}$  

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Gọi phân thức cần điền là P, khi đó

Bài 2: Phân thức $\frac{5x-7}{3x^2+6x}$ xác định khi

A. x ≠ 0

B. x ≠ - 2

C. x ≠ -2; x ≠ 0

D. x ≠ 3; x ≠ -2; x ≠ 0

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

ĐK: 3x² + 6x ≠ 0

$\iff$ 3x(x + 2) ≠ 0

$\iff$$\left\{\begin{array}{l}x\ne 0\\ x\ne -2\end{array}\right.$   

Bài 3: Giá trị lớn nhất của phân thức $\frac{5}{x^2-6x+10}$ là

A. 5

B. -5

C. 2

D. -2

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Bài 4: Đa thức thích hợp để điền vào chỗ trống trong đẳng thức $\frac{x^3-8}{\mathrm{...}}=\frac{x^2+2x+4}{3x}$ là:

A. 3x(x – 2)

B. x – 2

C. 3x²(x – 2)

D. 3x(x – 2)²

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

 $\frac{x^2+2x+4}{3x}$

$=\frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{3x(x-2)}$

$=\frac{x^3-8}{3x(x-2)}$

Vậy đa thức cần tìm là 3x(x – 2)

Đáp án cần chọn là: A

Bài 5: Tìm biểu thức Q biết:$\frac{5x}{x^2+2x+1}.Q=\frac{x}{x^2-1}$  

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Bài 6: Đa thức P trong đẳng thức $\frac{5{(y-x)}^2}{5x^2-5xy}=\frac{x-y}{P}$ là

A. P = x + y

B. P = 5(x – y)

C. P = 5(y – x)

D. P = x

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có

$\begin{array}{l}\frac{5{(y-x)}^2}{5x^2-5xy}=\frac{5{(x-y)}^2}{5x(x-y)}\\ =\frac{x-y}{x}\end{array}$

$\Rightarrow \frac{x-y}{x}=\frac{x-y}{P}$

=> P = x

Bài 7: Tìm x, biết:

$\frac{1}{x}.\frac{x}{x+1}.\frac{x+1}{x+2}.\frac{x+2}{x+3}.\frac{x+3}{x+4}.\frac{x+4}{x+5}.\frac{x+5}{x+6}=1$ 

A. x = -6

B. x = -5

C. x = -7

D. Không có x thỏa mãn

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Điều kiện x ≠ {0; -1; -2; -3; -4; -5; -6}

$\frac{1}{x}.\frac{x}{x+1}.\frac{x+1}{x+2}.\frac{x+2}{x+3}.\frac{x+3}{x+4}.\frac{x+4}{x+5}.\frac{x+5}{x+6}=1$

$\iff$$\frac{1}{x+6}=1$

$\iff$x + 6 = 1

$\iff$x = -5 (KTM)

Vậy không có x thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài 8: Kết quả của phép tính $\frac{3x-1}{2xy}-\frac{5x-2}{2xy}$ là

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

$\frac{3x-1}{2xy}-\frac{5x-2}{2xy}$

$=\frac{3x-1-5x+2}{2xy}=\frac{-2x+1}{2xy}$

Bài 9: Thực hiện phép tính $\frac{x-6}{x^2+1}.\frac{3x^2-3x+3}{x^2-36}+\frac{x-6}{x^2+1}.\frac{3x}{x^2-36}$ ta được kết quả là

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Bài 10: Thực hiện phép tính sau:$\frac{x^3}{x^2+1}+\frac{x}{x^2+1}$  

A. -x

B. 2x

C. $\frac{x}{2}$

D. x

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có 

$\frac{x^3}{x^2+1}+\frac{x}{x^2+1}$

$\begin{array}{l}=\frac{x^3+x}{x^2+1}=\frac{x(x^2+1)}{x^2+1}\\ =x\end{array}$

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 8 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Phép cộng các phân thức đại số

Lý thuyết Phép trừ các phân thức đại số

Lý thuyết Phép nhân các phân thức đại số

Lý thuyết Phép chia các phân thức đại số

Lý thuyết Biến đổi các biểu thức hữu tỉ. Giá trị của phân thức