Lý thuyết Ôn tập chương 2 (mới 2023 + Bài Tập) – Toán 8

Lý thuyết Ôn tập chương 2 lớp 8 gồm lý thuyết chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm Toán 8 Ôn tập chương 2.

1 1,181 25/02/2023

Tải về

Trang trước

Trang sau

Lý thuyết Toán 8 Ôn tập chương 2

A. Lý thuyết

1. Định nghĩa phân thức đại số

Một phân thức đại số (hay nói gọn là phân thức) là một biểu thức có dạng

\frac{A}{B}

trong đó A, B là những đa thức và B khác đa thức 0.

Trong đó:

+ A được gọi là tử thức (hay gọi là tử).

+ B được gọi là mẫu thức (hay gọi là mẫu).

Chú ý:

+ Mỗi đa thức cũng được coi như một phân thức với mẫu thức bằng 1.

+ Số 0, số 1 cũng là một phân thức đại số.

Ví dụ. Ta có các phân thức đại số

Lý thuyết Phân thức đại số chi tiết – Toán lớp 8 (ảnh 1)

2. Hai phân thức bằng nhau

Hai phân thức $\frac{A}{B}$ và $\frac{C}{D}$ gọi là bằng nhau nếu A . D = B . C. Ta viết:

$\frac{A}{B} = \frac{C}{D}$ nếu A . D = B . C.

Ví dụ.

vì 5x²y . 2y³ = 10xy⁴ . x (do cùng bằng 10 x²y⁴).

vì x . (2x + 4) = 2 . (x² + 2x) (do cùng bằng 2x² + 4x).

3. Tính chất cơ bản của phân thức

- Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức 0 thì được một phân thức bằng phân thức đã cho:

$\frac{A}{B} = \frac{A . M}{B . M}$ (M là một đa thức khác đa thức 0).

- Nếu chia cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức 0 thì được một phân thức bằng phân thức đã cho:

$\frac{A}{B} = \frac{A : N}{B : N}$ (N là một đa thức khác đa thức 0).

Ví dụ. Dùng tính chất cơ bản của phân thức, hãy giải thích vì sao có thể viết:

Lý thuyết Tính chất cơ bản của phân thức chi tiết – Toán lớp 8 (ảnh 1)

Hướng dẫn giải:

a) Ta chia cả tử và mẫu của phân thức $\frac{5 x^{2} (x - 2)}{(x - 2) (x + 2)}$ cho đa thức x – 2, ta có:

$\frac{5 x^{2} (x - 2)}{(x - 2) (x + 2)} = \frac{5 x^{2} (x - 2) : (x - 2)}{(x - 2) (x + 2) : (x - 2)} = \frac{5 x^{2}}{x + 2}$

Vậy $\frac{5 x^{2} (x - 2)}{(x - 2) (x + 2)}$ $= \frac{5 x^{2}}{x + 2}$ .

b) Nhân cả tử và mẫu của phân thức $\frac{12 x}{5 y}$ với (– 1) ta được:

$\frac{12 x}{5 y} =$ $\frac{12 x . (- 1)}{5 y . (- 1)} = \frac{- 12 x}{- 5 y}$

Vậy $\frac{12 x}{5 y} = \frac{- 12 x}{- 5 y}$ .

4. Quy tắc đổi dấu

Nếu đổi dấu cả tử và mẫu của một phân thức thì nhận được phân thức mới bằng phân thức đã cho:

$\frac{A}{B} = \frac{- A}{- B}$

Ví dụ. Dùng quy tắc đổi dấu điền đa thức thích hợp vào chỗ chấm trong mỗi đẳng thức sau:

Lý thuyết Tính chất cơ bản của phân thức chi tiết – Toán lớp 8 (ảnh 1)

Hướng dẫn giải:

a) Áp dụng quy tắc đổi dấu ta có:

$\frac{5 x - 2 y}{7 - x} = \frac{- (5 x - 2 y)}{- (7 - x)}$ $= \frac{- 5 x + 2 y}{- 7 + x} = \frac{2 y - 5 x}{x - 7}$

Vậy đa thức cần điền vào chỗ chấm là x – 7.

b) Áp dụng quy tắc đổi dấu ta có:

$\frac{3 - 2 x}{7 - 2 x^{3}} = \frac{- (3 - 2 x)}{- (7 - 2 x^{3})}$ $= \frac{- 3 + 2 x}{- 7 + 2 x^{3}} = \frac{2 x - 3}{2 x^{3} - 7}$ .

Vậy đa thức cần điền vào chỗ chấm là 2x – 3.

5. Cách rút gọn phân thức

Muốn rút gọn một phân thức đại số ta có thể:

+ Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung.

+ Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.

Chú ý: Có khi cần đổi dấu tử hoặc mẫu thức để nhận ra nhân tử chung của tử và mẫu (cần lưu ý tới tính chất A = – (– A)).

Ví dụ . Rút gọn phân thức $\frac{10 x^{2} y^{2} (x - y)}{25 x y {(x - y)}^{4}}$ .

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$\frac{10 x^{2} y^{2} (x - y)}{25 x y {(x - y)}^{4}} = \frac{2.5 x y . x y . (x - y)}{5.5 x y . (x - y) . {(x - y)}^{3}} = \frac{2 x y}{5 {(x - y)}^{3}}$

Ví dụ . Rút gọn phân thức $\frac{x y - x^{2}}{7 x y - 7 y^{2}}$ .

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$\frac{x y - x^{2}}{7 x y - 7 y^{2}} = \frac{x (y - x)}{7 y (x - y)} = \frac{- x (x - y)}{7 y (x - y)} = \frac{- x}{7 y}$

6. Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức

6.1. Khái niệm

Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức là biến đổi các phân thức đã cho thành những phân thức mới có cùng mẫu thức và lần lượt bằng các phân thức đã cho.

Ta thường kí hiệu “mẫu thức chung” bởi MTC.

6.2. Tìm mẫu thức chung

Khi quy đồng mẫu thức nhiều phân thức, muốn tìm mẫu thức chung ta có thể làm như sau:

• Phân tích mẫu thức của các phân thức đã cho thành nhân tử;

• Mẫu thức chung cần tìm là một tích mà các nhân tử được chọn như sau:

+ Nhân tử bằng số của mẫu thức chung là tích các nhân tử bằng số ở các mẫu thức của các phân thức đã cho. (Nếu các nhân tử bằng số ở các mẫu thức là những số nguyên dương thì nhân tử bằng số của mẫu thức chung là BCNN của chúng).

+ Với mỗi luỹ thừa của cùng một biểu thức có mặt trong các mẫu thức, ta chọn luỹ thừa với số mũ cao nhất.

Ví dụ . Tìm mẫu thức chung của hai phân thức $\frac{2}{3 x^{2} - 6 x + 3}$ và $\frac{3}{7 x^{2} - 7 x}$ .

Hướng dẫn giải:

+ Phân tích các mẫu thức thành nhân tử:

3x² – 6x + 3 = 3(x² – 2x + 1) = 3(x – 1)²

7x² – 7x = 7x(x – 1)

+ Chọn mẫu thức chung:

Mẫu thức chung của số nguyên là BCNN(3, 7) = 21.

Mẫu thức chung của lũy thừa x là x.

Mẫu thức chung của lũy thừa (x – 1) là (x – 1)².

Do đó: MTC = 21x(x – 1)².

Vậy mẫu thức chung của hai phân thức đã cho là 21x(x – 1)².

6.3. Quy đồng mẫu thức

Muốn quy đồng mẫu thức nhiều phân thức ta có thể làm như sau:

- Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung;

- Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức;

- Nhân tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.

Ví dụ . Quy đồng mẫu thức hai phân thức: $\frac{2}{3 x^{2} - 6 x + 3}$ và $\frac{3}{7 x^{2} - 7 x}$ .

Hướng dẫn giải:

Ở ví dụ trên ta đã tìm được mẫu thức chung của hai phân thức $\frac{2}{3 x^{2} - 6 x + 3}$ và $\frac{3}{7 x^{2} - 7 x}$ là 21x(x – 1)².

+ Vì 21x(x – 1)² = 7x . 3(x² – 2x + 1) = 7x . (3x² – 6x + 3) nên nhân tử phụ của mẫu thức thứ nhất là 7x, ta nhân cả tử và mẫu của phân thức thứ nhất với nhân tử phụ 7x, ta được:

$\frac{2}{3 x^{2} - 6 x + 3}$ $= \frac{2.7 x}{(3 x^{2} - 6 x + 3) .7 x}$ $= \frac{14 x}{21 x {(x - 1)}^{2}}$

+ Vì 21x(x – 1)² = 3. 7x.(x – 1) . (x – 1) = 3(x – 1) . (7x² – 7x) nên nhân tử phụ của mẫu thức thứ hai là 3(x – 1), ta nhân cả tử và mẫu của phân thức thứ hai với nhân tử phụ 3(x – 1), ta được:

$\frac{3}{7 x^{2} - 7 x} = \frac{3.3 (x - 1)}{(7 x^{2} - 7 x) .3 (x - 1)} = \frac{9 (x - 1)}{7 x (x - 1) .3 (x - 1)} = \frac{9 (x - 1)}{21 x {(x - 1)}^{2}}$

7. Phép cộng phân thức

7.1. Cộng hai phân thức cùng mẫu thức

Quy tắc: Muốn cộng hai phân thức cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức.

Ta có thể viết: $\frac{A}{C} + \frac{B}{C} = \frac{A + B}{C}$ (A, B, C là các đa thức, đa thức C khác đa thức 0).

Ví dụ. Thực hiện phép cộng: $\frac{4 x^{2}}{4 x + 2} + \frac{4 x + 1}{4 x + 2}$ .

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Lý thuyết Phép cộng các phân thức đại số chi tiết – Toán lớp 8 (ảnh 1)

7.2. Cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau

Quy tắc: Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.

Ta có thể viết: $\frac{A}{B} + \frac{C}{D}$ $= \frac{A . D}{B . D} + \frac{C . B}{B . D}$ $= \frac{A D + C B}{B D}$ (với A, B, C, D là các đa thức và B, D là đa thức khác đa thức 0).

Kết quả của phép cộng hai phân thức được gọi là tổng của hai phân thức ấy. Ta thường viết tổng này dưới dạng rút gọn.

Ví dụ . Thực hiện phép cộng: $\frac{5}{x^{2} + 5 x}$ $+ \frac{2}{2 x + 10}$ .

Hướng dẫn giải:

Ta có: x² + 5x = x(x + 5)

2x + 10 = 2(x + 5)

Suy ra mẫu thức chung là: 2x(x + 5).

Khi đó ta có:

Lý thuyết Phép cộng các phân thức đại số chi tiết – Toán lớp 8 (ảnh 1)

Chú ý: Phép cộng các phân thức cũng có các tính chất sau:

• Giao hoán: $\frac{A}{B} + \frac{C}{D} = \frac{C}{D} + \frac{A}{B}$ ;

• Kết hợp: $(\frac{A}{B} + \frac{C}{D}) + \frac{E}{F} =$ $\frac{A}{B} + (\frac{C}{D} + \frac{E}{F})$ .

Ví dụ .

Thực hiện phép tính sau:

$\frac{4 x}{4 x^{2} + 4 x + 1} +$ $\frac{x}{2 x + 1} + \frac{1 - 2 x}{4 x^{2} + 4 x + 1}$

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\frac{4 x}{4 x^{2} + 4 x + 1} +$ $\frac{x}{2 x + 1} + \frac{1 - 2 x}{4 x^{2} + 4 x + 1}$

= (\frac{4 x}{4 x^{2} + 4 x + 1} + \frac{1 - 2 x}{4 x^{2} + 4 x + 1})

+ \frac{x}{2 x + 1}

(sử dụng tính chất giao hoán và kết hợp)

Lý thuyết Phép cộng các phân thức đại số chi tiết – Toán lớp 8 (ảnh 1)

8. Phân thức đối

Hai phân thức được gọi là đối nhau nếu tổng của chúng bằng 0.

Tổng quát: Với phân thức $\frac{A}{B}$ ta có $\frac{A}{B} + \frac{- A}{B} = 0$ . Do đó:

Lý thuyết Phép trừ các phân thức đại số chi tiết – Toán lớp 8 (ảnh 1)

Kí hiệu: Phân thức đối của phân thức $\frac{A}{B}$ được kí hiệu bởi $\frac{A}{B}$ .

Khi đó: $- \frac{A}{B} = \frac{- A}{B}$ và $- \frac{- A}{B} = \frac{A}{B}$ .

Ví dụ.

+ Phân thức đối của phân thức $\frac{x - 2}{x + 1}$ là $\frac{- (x - 2)}{x + 1} = \frac{2 - x}{x + 1}$ .

+ Phân thức đối của phân thức $\frac{5 x}{4 x^{2} + 3}$ là $\frac{- 5 x}{4 x^{2} + 3}$ .

9. Phép trừ phân thức

- Quy tắc:

Muốn trừ phân thức $\frac{A}{B}$ cho phân thức $\frac{C}{D}$ , ta cộng $\frac{A}{B}$ với phân thức đối của $\frac{C}{D}$ :

$\frac{A}{B} - \frac{C}{D} = \frac{A}{B} + (- \frac{C}{D})$

- Kết quả của phép trừ $\frac{A}{B}$ cho $\frac{C}{D}$ được gọi là hiệu của $\frac{A}{B}$ và $\frac{C}{D}$ .

Ví dụ. Làm tính trừ hai phân thức: $\frac{3 x}{5 x + 5 y} -$ $\frac{x}{10 x - 10 y}$ .

Hướng dẫn giải:

- Chú ý: Thứ tự thực hiện các phép tính về phân thức cũng giống như thứ tự thực hiện các phép tính về số.

10. Phép nhân phân thức

10.1. Quy tắc nhân hai phân thức

Muốn nhân hai phân thức với nhau, ta nhân các tử thức với nhau, các mẫu thức với nhau:

$\frac{A}{B} . \frac{C}{D} = \frac{A . C}{B . D}$

Ví dụ. Thực hiện phép nhân $\frac{18 x^{2} y^{2}}{15 z} . \frac{5 z^{3}}{9 x^{3} y^{2}}$ .

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$\frac{18 x^{2} y^{2}}{15 z} . \frac{5 z^{3}}{9 x^{3} y^{2}} = \frac{18 x^{2} y^{2} .5 z^{3}}{15 z .9 x^{3} y^{2}} = \frac{2.9.5. x^{2} y^{2} . z . z^{2}}{3.5.9. x^{2} . x . y^{2} . z} = \frac{2 z^{2}}{3 x}$

10.2. Chú ý

Phép nhân các phân thức có các tính chất:

+ Giao hoán: $\frac{A}{B} . \frac{C}{D} = \frac{C}{D} . \frac{A}{B}$ ;

+ Kết hợp: $(\frac{A}{B} . \frac{C}{D}) . \frac{E}{F}$ $= \frac{A}{B} . (\frac{C}{D} . \frac{E}{F})$ ;

+ Phân phối đối với phép cộng: $\frac{A}{B} (\frac{C}{D} + \frac{E}{F}) =$ $\frac{A}{B} . \frac{C}{D} + \frac{A}{B} . \frac{E}{F}$ .

Ví dụ. Thực hiện phép tính: $\frac{x + 3 y}{3 x + y} . \frac{4 x - 2 y}{x - y}$ $- \frac{x + 3 y}{3 x + y} . \frac{x - 3 y}{x - y}$ .

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Lý thuyết Phép nhân các phân thức đại số chi tiết – Toán lớp 8 (ảnh 1)

11. Phân thức nghịch đảo

Hai phân thức được gọi là nghịch đảo của nhau nếu tích của chúng bằng 1.

Tổng quát, nếu $\frac{A}{B}$ là một phân thức khác 0 thì $\frac{A}{B} . \frac{B}{A} = 1$ , do đó:

+) $\frac{B}{A}$ là phân thức nghịch đảo của phân thức $\frac{A}{B}$ ;

+) $\frac{A}{B}$ là phân thức nghịch đảo của phân thức $\frac{B}{A}$ .

Ví dụ.

- Phân thức nghịch đảo của phân thức $\frac{3 x}{5 y - 2}$ là phân thức $\frac{5 y - 2}{3 x}$ .

- Phân thức nghịch đảo của phân thức $\frac{1}{x + 5}$ là phân thức $\frac{x + 5}{1} = x + 5$ .

12. Phép chia phân thức

Quy tắc: Muốn chia phân thức $\frac{A}{B}$ cho phân thức $\frac{C}{D}$ khác 0, ta nhân phân thức $\frac{A}{B}$ với phân thức nghịch đảo của $\frac{C}{D}$ :

Lý thuyết Phép chia các phân thức đại số chi tiết – Toán lớp 8 (ảnh 1)

Ví dụ. Thực hiện phép chia: $\frac{x^{2} - 25}{x^{2} - 3 x}$ $: \frac{x^{2} + 5 x}{x^{2} - 9}$ .

Hướng dẫn giải:

13. Biểu thức hữu tỉ

Mỗi biểu thức là một phân thức hoặc biểu thị một dãy phép toán cộng, trừ, nhân, chia trên những phân thức gọi là biểu thức hữu tỉ.

Ví dụ. Ta có các biểu thức hữu tỉ như: $\frac{5 x}{x + 2}; \frac{1}{x + 4} - \frac{2 x + 2}{3 x + 4};$ $\frac{2}{3 x} + \frac{4}{x} . \frac{3}{5 x + y}$ ; …

14. Biến đổi một biểu thức hữu tỉ thành một phân thức

Nhờ các quy tắc của các phép toán cộng, trừ, nhân, chia các phân thức, ta có thể biến đổi các biểu thức hữu tỉ thành một phân thức.

Ví dụ. Biến đổi biểu thức $\frac{1 + \frac{2}{x - 1}}{1 + \frac{2 x}{x^{2} + 1}}$ thành một phân thức.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Lý thuyết Biến đổi các biểu thức hữu tỉ. Giá trị của phân thức chi tiết – Toán lớp 8 (ảnh 1)

15. Giá trị của phân thức

Khi thực hiện các bài toán liên quan đến giá trị của phân thức:

+ Trước hết, phải tìm điều kiện của biến để giá trị tương ứng của mẫu thức khác 0: Điều kiện của biến để giá trị tương ứng của mẫu thức khác 0 là điều kiện để giá trị của phân thức được xác định.

+ Nếu tại giá trị của biến mà giá trị của phân thức được xác định thì phân thức ấy và phân thức được rút gọn có cùng một giá trị.

Để tính giá trị của phân thức, ta chỉ cần thay giá trị của biến vào phân thức đã được rút gọn rồi thực hiện tính như tính giá trị của biểu thức số.

Ví dụ. Cho phân thức $\frac{5 x - 10}{x (x - 2)}$ .

a) Tìm điều kiện của x để giá trị của phân thức $\frac{5 x - 10}{x (x - 2)}$ được xác định.

b) Tính giá trị của phân thức tại x = 2020.

Hướng dẫn giải:

a) Giá trị của phân thức $\frac{5 x - 10}{x (x - 2)}$ được xác định với điều kiện x(x – 2) ≠ 0.

Mà một tích (của nhiều số) khác 0 khi mọi thừa số đều khác 0, do đó x ≠ 0 và x – 2 ≠ 0 hay chính là x ≠ 0 và x ≠ 2.

Vậy điều kiện để giá trị của phân thức $\frac{5 x - 10}{x (x - 2)}$ được xác định là: x ≠ 0 và x ≠ 2.

b) Ta có: $\frac{5 x - 10}{x (x - 2)}$ $= \frac{5 (x - 2)}{x (x - 2)} = \frac{5}{x}$ và x = 2020 thỏa mãn các điều kiện của biến nên có thể tính giá trị của phân thức đã cho bằng cách tính giá trị của phân thức rút gọn $\frac{5}{x}$ .

Vậy giá trị của phân thức đã cho tại x = 2020 bằng $\frac{5}{x} = \frac{5}{2020} = \frac{1}{404}$ .

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau, chứng tỏ rằng:

Lý thuyết Phân thức đại số chi tiết – Toán lớp 8 (ảnh 1)

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: 2y . 45x = 90xy

3 . 30xy = 90xy

Do đó: 2y . 45x = 3 . 30 xy

Vậy $\frac{2 y}{3} = \frac{30 x y}{45 x}$ .

b) Ta có:

– 4(x + 1)y . [–x(x + 1)²y] = 4x . [(x + 1). (x + 1)²] . [y . y] = 4x(x + 1)³ . y²

xy². 4(x + 1)³ = 4x(x + 1)³ . y²

Do đó: – 4(x + 1)y . [–x(x + 1)²y] = xy² . 4(x + 1)³.

Vậy $\frac{- 4 (x + 1) y}{x y^{2}} =$ $\frac{4 {(x + 1)}^{3}}{- x {(x + 1)}^{2} y}$

Bài 2. Tìm điều kiện xác định của các phân thức sau:

Lý thuyết Phân thức đại số chi tiết – Toán lớp 8 (ảnh 1)

Hướng dẫn giải:

a) Phân thức $\frac{4 x - 5}{x + 1}$ có nghĩa khi x + 1 ≠ 0 hay x ≠ – 1.

Vậy điều kiện xác định của phân thức $\frac{4 x - 5}{x + 1}$ là x ≠ – 1.

b) Phân thức $\frac{3 x}{x^{2} - 4}$ có nghĩa khi x² – 4 ≠ 0 hay (x – 2)(x + 2) ≠ 0

Suy ra x ≠ 2 và x ≠ – 2.

Vậy điều kiện xác định của phân thức $\frac{3 x}{x^{2} - 4}$ là x ≠ 2 và x ≠ – 2.

c) Phân thức $\frac{x - 17}{x^{2} + 2 x + 1}$ có nghĩa khi x² + 2x + 1 ≠ 0

hay (x + 1)² ≠ 0

Suy ra x ≠ – 1 (do (x + 1)² ≥ 0 với mọi x)

Vậy điều kiện xác định của phân thức $\frac{x - 17}{x^{2} + 2 x + 1}$ là x ≠ – 1.

Bài 3. Chứng minh các đẳng thức sau:

Lý thuyết Tính chất cơ bản của phân thức chi tiết – Toán lớp 8 (ảnh 1)

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

$\frac{8 - x^{3}}{x - 2} = \frac{2^{3} - x^{3}}{x - 2} = \frac{(2 - x) (4 + 2 x + x^{2})}{- (2 - x)} = \frac{(2 - x) (4 + 2 x + x^{2}) : (2 - x)}{- (2 - x) : (2 - x)} = \frac{4 + 2 x + x^{2}}{- 1} = - x^{2} - 2 x - 4$

Vậy $\frac{8 - x^{3}}{x - 2}$ $= - x^{2} - 2 x - 4$ .

b) Ta có:

$\frac{x^{3} + x^{2}}{(x - 1) (x + 1)} = \frac{x^{2} (x + 1)}{(x - 1) . (x + 1)} = \frac{x^{2} (x + 1) : (x + 1)}{(x - 1) . (x + 1) : (x + 1)} = \frac{x^{2}}{x - 1}$

Vậy $\frac{x^{3} + x^{2}}{(x - 1) (x + 1)}$ $= \frac{x^{2}}{x - 1}$ .

Bài 4. Hai phân thức sau có bằng nhau không?

Lý thuyết Tính chất cơ bản của phân thức chi tiết – Toán lớp 8 (ảnh 1)

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: x² – y² = (x – y).(x + y)

Do đó:

Lý thuyết Tính chất cơ bản của phân thức chi tiết – Toán lớp 8 (ảnh 1)

Vậy hai phân thức $\frac{{(x - 3)}^{3}}{4 (3 - x)}$ và $\frac{{(3 - x)}^{2}}{4}$ không bằng nhau.

Bài 5. Rút gọn các phân thức sau:

Lý thuyết Rút gọn phân thức chi tiết – Toán lớp 8 (ảnh 1)

Hướng dẫn giải:

Bài 6. Rút gọn các phân thức sau:

Hướng dẫn giải:

$\frac{40 {(x - 3)}^{3}}{45 - 15 x} = \frac{5.8. {(x - 3)}^{3}}{15 (3 - x)} = \frac{5.8. (x - 3) . {(x - 3)}^{2}}{5. (- 3) . (x - 3)} = \frac{8 {(x - 3)}^{2}}{- 3} = \frac{- 8 {(x - 3)}^{2}}{3}$

$\frac{y^{2} - x^{2}}{x^{3} - 3 x^{2} y + 3 x y^{2} - y^{3}} = \frac{- (x^{2} - y^{2})}{{(x - y)}^{3}} = \frac{- (x - y) (x + y)}{(x - y) . {(x - y)}^{2}} = \frac{- (x + y)}{{(x - y)}^{2}}$

$\frac{5 x^{2} + 10 x + 5}{6 x^{2} + 6 x} = \frac{5 (x^{2} + 2 x + 1)}{6 x (x + 1)} = \frac{5 {(x + 1)}^{2}}{6 x (x + 1)} = \frac{5 (x + 1)}{6 x}$

Bài 7. Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:

Lý thuyết Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức chi tiết – Toán lớp 8 (ảnh 1)

Hướng dẫn giải:

Do đó mẫu thức chung là 2(x + 3)(x – 3) = 2(x² – 9).

Khi đó ta có:

$\frac{5}{2 x + 6} = \frac{5}{2 (x + 3)} = \frac{5. (x - 3)}{2 (x + 3) (x - 3)} = \frac{5 (x - 3)}{2 (x^{2} - 9)}$

$\frac{2}{x^{2} - 9} = \frac{2}{(x - 3) (x + 3)} = \frac{2.2}{2. (x - 3) (x + 3)} = \frac{4}{2 (x^{2} - 9)}$

Lý thuyết Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức chi tiết – Toán lớp 8 (ảnh 1)

Bài 8. Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:

Mẫu thức chung là x² – 2. Khi đó ta có:

Lý thuyết Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức chi tiết – Toán lớp 8 (ảnh 1)

Suy ra mẫu thức chung là: – y(x – y)³.

Khi đó ta có:

Lý thuyết Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức chi tiết – Toán lớp 8 (ảnh 1)

$\frac{x}{y^{2} - x y} = \frac{x}{- y (x - y)} = \frac{x . {(x - y)}^{2}}{- y (x - y) {(x - y)}^{2}} = \frac{x {(x - y)}^{2}}{- y {(x - y)}^{3}}$

Bài 9. Làm tính cộng các phân thức sau:

Lý thuyết Phép cộng các phân thức đại số chi tiết – Toán lớp 8 (ảnh 1)

Bài 10. Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức $\frac{x^{2}}{6 x + 36} + \frac{2 (x - 6)}{x}$ $+ \frac{72 + 6 x}{x (x + 6)}$

tại x = – 5.

Hướng dẫn giải:

Ta có: 6x + 36 = 6(x + 6)

Suy ra mẫu thức chung là: 6x(x + 6).

Khi đó ta có:

Lý thuyết Phép cộng các phân thức đại số chi tiết – Toán lớp 8 (ảnh 1)

Bài 11. Thực hiện các phép tính sau:

Lý thuyết Phép trừ các phân thức đại số chi tiết – Toán lớp 8 (ảnh 1)

Hướng dẫn giải:

Bài 12. Tính $\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x^{3} + 1}$ $+ \frac{1}{x^{2} - x + 1}$ .

Hướng dẫn giải:

Ta có: x³ + 1 = (x + 1)(x² – x + 1)

Mẫu thức chung là (x + 1)(x² – x + 1).

Khi đó:

Lý thuyết Phép trừ các phân thức đại số chi tiết – Toán lớp 8 (ảnh 1)

Bài 13. Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào x.

$A = \frac{x + 4}{2 x + 4} - \frac{x - 2}{x^{2} - 4}$ .

Hướng dẫn giải:

Vậy giá trị của biểu thức A không phụ thuộc vào biến x.

Bài 14. Tính:

Lý thuyết Phép nhân các phân thức đại số chi tiết – Toán lớp 8 (ảnh 1)

Hướng dẫn giải:

Bài 14. Thực hiện các phép tính sau:

Lý thuyết Phép nhân các phân thức đại số chi tiết – Toán lớp 8 (ảnh 1)

Bài 15. Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức

$P = \frac{x^{2} - 1}{x + 5} . \frac{2 x + 10}{x^{2} - x}$ với x = 99.

Hướng dẫn giải:

Bài 16. Thực hiện phép chia

Lý thuyết Phép chia các phân thức đại số chi tiết – Toán lớp 8 (ảnh 1)

Bài 17. Thực hiện phép chia

Lý thuyết Phép chia các phân thức đại số chi tiết – Toán lớp 8 (ảnh 1)

Bài 18. Tìm x biết:

Lý thuyết Phép chia các phân thức đại số chi tiết – Toán lớp 8 (ảnh 1)

Hướng dẫn giải:

b) Vì a ≠ {– 1; 0; – 2} nên a + 1 ≠ 0; a + 2 ≠ 0 và a ≠ 0.

Lý thuyết Phép chia các phân thức đại số chi tiết – Toán lớp 8 (ảnh 1)

Bài 19. Giá trị của phân thức $\frac{2 x - 1}{x^{2} - 4}$ được xác định khi nào?

Hướng dẫn giải:

Ta có: phân thức $\frac{2 x - 1}{x^{2} - 4}$ xác định khi x² – 4 ≠ 0.

Mà x² – 4 = (x – 2)(x + 2)

Nên (x – 2)(x + 2) ≠ 0

Mà một tích khác 0 khi mọi thừa số đều khác 0.

Do đó: x – 2 ≠ 0 và x + 2 ≠ 0

Hay x ≠ 2 và x ≠ – 2.

Vậy giá trị của phân thức $\frac{2 x - 1}{x^{2} - 4}$ được xác định khi x ≠ 2 và x ≠ – 2.

Bài 20. Tìm giá trị của x để giá trị phân thức $\frac{2 x^{2} + 10 x + 12}{x^{3} - 4 x}$ bằng 0.

Hướng dẫn giải:

Điều kiện xác định của phân thức $\frac{2 x^{2} + 10 x + 12}{x^{3} - 4 x}$ là x³ – 4x ≠ 0.

Mà x³ – 4x = x(x² – 4) = x. (x – 2).(x + 2)

Nên x.(x – 2) . (x + 2) ≠ 0

Suy ra x ≠ 0, x – 2 ≠ 0 và x + 2 ≠ 0.

Hay x ≠ 0, x ≠ 2 và x ≠ – 2.

Ta có:

Lý thuyết Biến đổi các biểu thức hữu tỉ. Giá trị của phân thức chi tiết – Toán lớp 8 (ảnh 1)

Ta có phân thức $\frac{2 x^{2} + 10 x + 12}{x^{3} - 4 x}$ bằng 0 khi $\frac{2 (x + 3)}{x (x - 2)} = 0$ .

Suy ra 2(x + 3) = 0 ⇒ x = – 3 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy x = – 3 thì giá trị phân thức $\frac{2 x^{2} + 10 x + 12}{x^{3} - 4 x}$ bằng 0.

Bài 21. Biến đổi biểu thức $\frac{\frac{x}{x - y} - \frac{y}{x + y}}{\frac{y}{x - y} + \frac{x}{x + y}}$ thành phân thức đại số.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Lý thuyết Biến đổi các biểu thức hữu tỉ. Giá trị của phân thức chi tiết – Toán lớp 8 (ảnh 1)

Bài 22. Cho $N = \frac{2 x - 10}{x^{2} - 7 x + 10}$ $- \frac{2 x}{x^{2} - 4} + \frac{1}{2 - x}$ .

a) Rút gọn N;

b) Tính giá trị của N tại x = 15.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: x² – 7x + 10 = x² – 2x – 5x + 10 = x(x – 2) – 5(x – 2) = (x – 2)(x – 5)

x² – 4 = (x + 2)(x – 2)

Do đó điều kiện xác định của biểu thức N là $\{\begin{cases} (x - 2) (x - 5) \neq 0 \\ (x + 2) (x - 2) \neq 0 \\ 2 - x \neq 0 \end{cases}$

Hay x – 2 ≠ 0, x + 2 ≠ 0, x – 5 ≠ 0.

Suy ra x ≠ 2, x≠ – 2 và x ≠ 5.

Ta có

Lý thuyết Biến đổi các biểu thức hữu tỉ. Giá trị của phân thức chi tiết – Toán lớp 8 (ảnh 1)

Vậy $N = \frac{- 1}{x + 2}$ với x ≠ 2, x≠ – 2 và x ≠ 5.

b) Có x = 15 thỏa mãn các điều kiện của biến x.

Khi đó thay x = 15 vào N ta được:

Lý thuyết Biến đổi các biểu thức hữu tỉ. Giá trị của phân thức chi tiết – Toán lớp 8 (ảnh 1)

Trắc nghiệm Toán 8: Ôn tập Chương 2

Bài 1: Điền vào chỗ trống: $\frac{2 x - 6}{x + 3} - ... = \frac{x + 1}{2}$

Trắc nghiệm Bài ôn tập Chương 2 có đáp án - Toán lớp 8. (ảnh 1)

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Gọi phân thức cần điền là P, khi đó

Trắc nghiệm Bài ôn tập Chương 2 có đáp án - Toán lớp 8. (ảnh 1)

Bài 2: Phân thức $\frac{5 x - 7}{3 x^{2} + 6 x}$ xác định khi

A. x ≠ 0

B. x ≠ - 2

C. x ≠ -2; x ≠ 0

D. x ≠ 3; x ≠ -2; x ≠ 0

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

ĐK: 3x² + 6x ≠ 0

$\Leftrightarrow$ 3x(x + 2) ≠ 0

$\Leftrightarrow$ $\{\begin{cases} x \neq 0 \\ x \neq - 2 \end{cases}$

Bài 3: Giá trị lớn nhất của phân thức $\frac{5}{x^{2} - 6 x + 10}$ là

A. 5

B. -5

C. 2

D. -2

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Trắc nghiệm Bài ôn tập Chương 2 có đáp án - Toán lớp 8. (ảnh 1)

Bài 4: Đa thức thích hợp để điền vào chỗ trống trong đẳng thức $\frac{x^{3} - 8}{...} = \frac{x^{2} + 2 x + 4}{3 x}$ là:

A. 3x(x – 2)

B. x – 2

C. 3x²(x – 2)

D. 3x(x – 2)²

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

$\frac{x^{2} + 2 x + 4}{3 x}$

$= \frac{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}{3 x (x - 2)}$

$= \frac{x^{3} - 8}{3 x (x - 2)}$

Vậy đa thức cần tìm là 3x(x – 2)

Đáp án cần chọn là: A

Bài 5: Tìm biểu thức Q biết: $\frac{5 x}{x^{2} + 2 x + 1} . Q = \frac{x}{x^{2} - 1}$

Trắc nghiệm Bài ôn tập Chương 2 có đáp án - Toán lớp 8. (ảnh 1)

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Trắc nghiệm Bài ôn tập Chương 2 có đáp án - Toán lớp 8. (ảnh 1)

Bài 6: Đa thức P trong đẳng thức $\frac{5 {(y - x)}^{2}}{5 x^{2} - 5 x y} = \frac{x - y}{P}$ là

A. P = x + y

B. P = 5(x – y)

C. P = 5(y – x)

D. P = x

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có

$\begin{array}{l} \frac{5 {(y - x)}^{2}}{5 x^{2} - 5 x y} = \frac{5 {(x - y)}^{2}}{5 x (x - y)} \\ = \frac{x - y}{x} \end{array}$

$\Rightarrow \frac{x - y}{x} = \frac{x - y}{P}$

=> P = x

Bài 7: Tìm x, biết:

$\frac{1}{x} . \frac{x}{x + 1} . \frac{x + 1}{x + 2} . \frac{x + 2}{x + 3} . \frac{x + 3}{x + 4} . \frac{x + 4}{x + 5} . \frac{x + 5}{x + 6} = 1$

A. x = -6

B. x = -5

C. x = -7

D. Không có x thỏa mãn

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Điều kiện x ≠ {0; -1; -2; -3; -4; -5; -6}

$\frac{1}{x} . \frac{x}{x + 1} . \frac{x + 1}{x + 2} . \frac{x + 2}{x + 3} . \frac{x + 3}{x + 4} . \frac{x + 4}{x + 5} . \frac{x + 5}{x + 6} = 1$

$\Leftrightarrow$ $\frac{1}{x + 6} = 1$

$\Leftrightarrow$ x + 6 = 1

$\Leftrightarrow$ x = -5 (KTM)

Vậy không có x thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài 8: Kết quả của phép tính $\frac{3 x - 1}{2 x y} - \frac{5 x - 2}{2 x y}$ là

Trắc nghiệm Bài ôn tập Chương 2 có đáp án - Toán lớp 8. (ảnh 1)

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

$\frac{3 x - 1}{2 x y} - \frac{5 x - 2}{2 x y}$

$= \frac{3 x - 1 - 5 x + 2}{2 x y} = \frac{- 2 x + 1}{2 x y}$

Bài 9: Thực hiện phép tính $\frac{x - 6}{x^{2} + 1} . \frac{3 x^{2} - 3 x + 3}{x^{2} - 36} + \frac{x - 6}{x^{2} + 1} . \frac{3 x}{x^{2} - 36}$ ta được kết quả là

Trắc nghiệm Bài ôn tập Chương 2 có đáp án - Toán lớp 8. (ảnh 1)

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Trắc nghiệm Bài ôn tập Chương 2 có đáp án - Toán lớp 8. (ảnh 1)

Bài 10: Thực hiện phép tính sau: $\frac{x^{3}}{x^{2} + 1} + \frac{x}{x^{2} + 1}$

A. -x

B. 2x

C. $\frac{x}{2}$

D. x

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có

$\frac{x^{3}}{x^{2} + 1} + \frac{x}{x^{2} + 1}$

$\begin{array}{l} = \frac{x^{3} + x}{x^{2} + 1} = \frac{x (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} \\ = x \end{array}$

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 8 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Phép cộng các phân thức đại số

Lý thuyết Phép trừ các phân thức đại số

Lý thuyết Phép nhân các phân thức đại số

Lý thuyết Phép chia các phân thức đại số

Lý thuyết Biến đổi các biểu thức hữu tỉ. Giá trị của phân thức

1 1,181 25/02/2023

Tải về

Trang trước

Trang sau

Xem thêm các chương trình khác:

Lớp 1 - Cánh diều

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Chân trời sáng tạo

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Kết nối tri thức

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 1 lên lớp 2

Giáo án lớp 1

Lớp 2 - Kết nối tri thức

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Lớp 2 - Cánh diều

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đạo đức lớp 2

Lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đề thi các môn lớp 2

Đề thi các môn lớp 2 - Kết nối tri thức

Đề thi các môn lớp 2 - Cánh diều

Đề thi các môn lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 2 lên lớp 3

Giáo án lớp 2

Lớp 3 - Kết nối tri thức

Toán lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Cánh diều

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3