Lý thuyết Phương trình chứa ẩn ở mẫu (mới 2023 + Bài Tập) – Toán 8

Lý thuyết Toán 8 Bài 5: Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Bài giảng Toán 8 Bài 5: Phương trình chứa ẩn ở mẫu

A. Lý thuyết

1. Điều kiện xác định

Điều kiện xác định của phương trình là tập hợp các giá trị của ẩn làm cho tất cả các mẫu trong phương trình đều khác 0.

Điều kiện xác định của phương trình viết tắt là ĐKXĐ.

Ví dụ 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình $\frac{3\mathrm{x}-2}{\mathrm{x}-4}=1$.

Lời giải:

Vì x – 4 = 0$\iff$x = 4 nên ĐKXĐ của phương trình $\frac{3\mathrm{x}-2}{\mathrm{x}-4}=1$ là x ≠ 4.

2. Cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.

Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế rồi khử mẫu.

Bước 3: Giải phương trình tìm được.

Bước 4: Kết luận.

Ví dụ 2. Giải phương trình: $\frac{2-3\mathrm{x}}{-2\mathrm{x}-3}=\frac{3\mathrm{x}+2}{2\mathrm{x}+1}$.

Lời giải:

ĐKXĐ: x ≠ $\frac{-3}{2}$ và x ≠ $\frac{-1}{2}$

$$\begin{gathered} \frac{2-3\mathrm{x}}{-2\mathrm{x}-3}=\frac{3\mathrm{x}+2}{2\mathrm{x}+1} \\ \iff \frac{\left(2-3\mathrm{x}\right)\left(2\mathrm{x}+1\right)}{\left(-2\mathrm{x}-3\right)\left(2\mathrm{x}+1\right)}=\frac{\left(3\mathrm{x}+2\right)\left(-2\mathrm{x}-3\right)}{\left(2\mathrm{x}+1\right)\left(-2\mathrm{x}-3\right)} \end{gathered}$$

Suy ra: (2 – 3x)(2x + 1) = (3x + 2)(– 2 – 3)

$\iff$– 6x² + x + 2 = – 6x² – 13x – 6

$\iff$– 6x² + x + 2 + 6x² + 13x + 6 = 0

$\iff$14x + 8 = 0

$\iff$14x = – 8

$\iff \mathrm{x}=-\frac{4}{7}$(thỏa mãn ĐKXĐ).

Vậy phương trình có tập nghiệm S = $\left\{-\frac{4}{7}\right\}$.

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Giải phương trình: $\frac{{\left(\mathrm{x}+3\right)}^2}{2\mathrm{x}-3}-1=\frac{{\mathrm{x}}^2+10}{2\mathrm{x}-3}$.

Lời giải:

ĐKXĐ: x ≠ $\frac{-3}{2}$.

$$\begin{gathered} \frac{{\left(\mathrm{x}+3\right)}^2}{2\mathrm{x}-3}-1=\frac{{\mathrm{x}}^2+10}{2\mathrm{x}-3} \\ \iff \frac{{\left(\mathrm{x}+3\right)}^2-\left(2\mathrm{x}-3\right)}{2\mathrm{x}-3}=\frac{{\mathrm{x}}^2+10}{2\mathrm{x}-3} \end{gathered}$$

Suy ra: (x + 3)² – (2x – 3) = x² + 10

$\iff$x² + 6x + 9 – 2x + 3 = x² + 10

$\iff$x² + 4x + 12 = x² + 10

$\iff$x² + 4x – x² = 10 – 12

$\iff$4x = – 2

$\iff \mathrm{x}=-\frac{1}{2}$(thỏa mãn ĐKXĐ).

Vậy phương trình có tập nghiệm S = $\left\{-\frac{1}{2}\right\}$.

Bài 2. Giải phương trình: $\frac{6\mathrm{x}-1}{3\mathrm{x}+2}=\frac{2\mathrm{x}+5}{\mathrm{x}-3}$.

Lời giải:

ĐKXĐ: x ≠ $\frac{-2}{3}$ và x ≠ 3.

$$\begin{gathered} \frac{6\mathrm{x}-1}{3\mathrm{x}+2}=\frac{2\mathrm{x}+5}{\mathrm{x}-3} \\ \iff \frac{\left(6\mathrm{x}-1\right)\left(\mathrm{x}-3\right)}{\left(3\mathrm{x}+2\right)\left(\mathrm{x}-3\right)}=\frac{\left(2\mathrm{x}+5\right)\left(3\mathrm{x}+2\right)}{\left(\mathrm{x}-3\right)\left(3\mathrm{x}+2\right)} \end{gathered}$$

Suy ra: (6x – 1)(x – 3) = (2x + 5)(3x + 2)

$\iff$6x² – 19x + 3 = 6x² + 19x + 10

$\iff$6x² – 6x² – 19 x – 19x = 10 – 3

$\iff$– 38x = 7

$\iff \mathrm{x}=-\frac{7}{38}$(thỏa mãn ĐKXĐ).

Vậy phương trình có tập nghiệm S = $\left\{-\frac{7}{38}\right\}$.

Bài 3. Tìm các giá trị của x sao cho biểu thức $\frac{\mathrm{x}-3}{\mathrm{x}-2}+\frac{\mathrm{x}-2}{\mathrm{x}-4}$ có giá trị bằng – 1.

Lời giải:

Ta có: $\frac{\mathrm{x}-3}{\mathrm{x}-2}+\frac{\mathrm{x}-2}{\mathrm{x}-4}=-1$.

ĐKXĐ: x ≠ 2 và x ≠ 4.

$$\begin{gathered} \frac{\mathrm{x}-3}{\mathrm{x}-2}+\frac{\mathrm{x}-2}{\mathrm{x}-4}=-1 \\ \iff \frac{\left(\mathrm{x}-3\right)\left(\mathrm{x}-4\right)+{\left(\mathrm{x}-2\right)}^2}{\left(\mathrm{x}-2\right)\left(\mathrm{x}-4\right)}=-\frac{\left(\mathrm{x}-2\right)\left(\mathrm{x}-4\right)}{\left(\mathrm{x}-2\right)\left(\mathrm{x}-4\right)} \end{gathered}$$

Suy ra: (x – 3)(x – 4) + (x – 2)² = – (x – 2)(x – 4)

$\iff$(x² – 7x + 12) + (x² – 4x + 4) = −(x² – 6x + 8)

$\iff$2x² – 11x + 16 = −x² + 6x – 8

$\iff$2x² – 11x + 16 + x² – 6x + 8 = 0

$\iff$3x² – 17x + 24 = 0

$\iff$3x² – 9x – 8x + 24 = 0

$\iff$(3x² – 9x) – (8x – 24) = 0

$\iff$3x(x – 3) – 8(x – 3) = 0

$\iff$(x – 3)(3x – 8) = 0

$\iff$x – 3 = 0 hoặc 3x – 8 = 0.

+ x – 3 = 0$\iff$x = 3 (thỏa mãn ĐKXĐ);

+ 3x – 8 = 0$\iff$3x = 8$\iff \mathrm{x}=\frac{8}{3}$ (thỏa mãn ĐKXĐ).

Vậy các giá trị của x thỏa mãn bài toán là x = 3 và $\mathrm{x}=\frac{8}{3}$.

Trắc nghiệm Toán 8 Bài 5: Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Bài 1: Hãy chọn câu đúng. Điều kiện xác định của

phương trình $\frac{1}{x-2}+3=\frac{3-x}{x-2}$ là

A. x ≠ 3

B. x ≠ 2

C. x ≠ -3

D. x ≠ -2

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

ĐK: x – 2 ≠ 0

$\iff$ x ≠ 2

Bài 2: Cho hai biểu thức: A = 1 +$\frac{1}{2+x}$  

và B =$\frac{12}{x^3+8}$ . Tìm x sao cho A = B.

A. x = 0

B. x =1

C. x = -1

D. Cả A và B

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Bài 3: Hãy chọn câu đúng. Điều kiện xác định

của phương trình $\frac{x+1}{x+2}+3=\frac{3-x}{x+2}$ là

A. x ≠ 3

B. x ≠ 2

C. x ≠ -3

D. x ≠ -2

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

ĐK: x + 2 ≠ 0

$\iff$ x ≠ -2

Bài 4: Cho hai biểu thức: A = 1 - $\frac{1}{2-x}$ 

và B =$\frac{12}{x^3-8}$ . Giá trị của x để A = B là

A. x = 0

B. x = 1

C. Không có x

D. x = 2

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Bài 5: Hãy chọn câu đúng. Điều kiện xác định của

phương trình $\frac{x}{x-2}-\frac{2x}{x^2-1}=0$ là

A. x ≠ -1; x ≠ -2

B. x ≠ 0

C. x ≠ 2 và x ≠ ±1

D. x ≠ -2, x ≠ 1

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Bài 6: Cho hai phương trình

$\frac{x^2+2x}{x}=0$ (1) và $\frac{x^2-4}{x-2}=0$ (2).

Chọn kết luận đúng:

A. Hai phương trình tương đương

B. Hai phương trình không tương đương

C. Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

D. Phương trình (2) vô nghiệm

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Hai phương trình có cùng tập nghiệm nên tương đương

Bài 7: Cho phương trình $\frac{1}{x}+\frac{2}{x-2}=0$(1):

 và phương trình$\frac{x-1}{x+2}-\frac{x}{x-2}=\frac{5x-2}{4-x^2}$ (2): .

Khẳng định nào sau đây là đúng

A. Hai phương trình có cùng điều kiện xác định

B. Hai phương trình có cùng số nghiệm

C. Phương trình (2) có nhiều nghiệm hơn phương trình (1)

D. Hai phương trình tương đương

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

+) Xét phương trình (1):$\frac{1}{x}+\frac{2}{x-2}=0$

ĐKXĐ: x ≠ 0; x ≠ 2

Khi đó $\frac{1}{x}+\frac{2}{x-2}=0$

$\iff$$\frac{1(x-2)+2x}{x(x-2)}=0$

$\Rightarrow$1(x – 2) + 2x = 0

$\iff$x – 2 + 2x = 0

$\iff$ 3x = 2 $\iff$ x = $\frac{2}{3}$ (TM)

Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất x =$\frac{2}{3}$

+) Xét phương trình (2): $\frac{x-1}{x+2}-\frac{x}{x-2}=\frac{5x-2}{4-x^2}$

Kết hợp ĐKXĐ ta có phương trình nghiệm đúng với mọi x ≠ ±2

Do đó phương trình (2) có nhiều nghiệm hơn phương trình (1)

Bài 8: Hãy chọn câu đúng. Điều kiện xác định

của phương trình $\frac{x-1}{2}-\frac{2x}{x^2-1}=0$  là

A. x ≠ -1; x ≠ -2

B. x ≠ ±1

C. x ≠ 2 và x ≠ ±1

D. x ≠ -2, x ≠ 1

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

ĐK: x² – 1 ≠ 0

$\iff$ x² ≠ 1

$\iff$ x ≠ ±1

Bài 9: Biết x₀ là nghiệm nhỏ nhất của phương trình

$$\begin{gathered} \frac{1}{x^2+4x+3}+\frac{1}{x^2+8x+15}+\frac{1}{x^2+12x+35} \\ +\frac{1}{x^2+16x+63}=\frac{1}{5} \end{gathered}$$

Chọn khẳng định đúng.

A. x₀ > 0

B. x₀ < -5

C. x₀ = -10

D. x₀ > 5

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Phân tích các mẫu thành nhân tử sau đó nhân cả 2 vế của phương trình với 2 ta được:

Pt$\iff$$$\begin{gathered} \frac{1}{(x+1)(x+3)}+\frac{1}{(x+3)(x+5)}+\frac{1}{(x+5)(x+7)} \\ +\frac{1}{(x+7)(x+9)}=\frac{1}{5} \end{gathered}$$   

$\iff$$$\begin{gathered} \frac{2}{(x+1)(x+3)}+\frac{2}{(x+3)(x+5)}+\frac{2}{(x+5)(x+7)} \\ +\frac{2}{(x+7)(x+9)}=\frac{2}{5} \end{gathered}$$

ĐKXĐ: x ≠ {-1; -3; -5; -7; -9}

Khi đó:

Pt$\iff$$$\begin{gathered} \frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x+5}+\frac{1}{x+5} \\ -\frac{1}{x+7}+\frac{1}{x+7}-\frac{1}{x+9}=\frac{2}{5} \end{gathered}$$

$\iff \frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+9}=\frac{2}{5}$  

$\iff \frac{1(x+9)-1(x+1)}{(x+1)(x+9)}=\frac{2(x+1)(x+9)}{5(x+1)(x+9)}$

$\Rightarrow$ 5[x + 9 – (x + 1)] = 2(x + 1)(x + 9)

$\iff$ 5(x + 9 – x – 1) = 2x² + 20x + 18

$\iff$ 2x² + 20x – 22 = 0

$\iff$ x² + 10x – 11 = 0

$\iff$ x² – x + 11x – 11 = 0

$\iff$ (x – 1)(x + 11) = 0

$\iff \left[\begin{array}{l}x-1=0\\ x+11=0\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x=-11\end{array}\right.\left(tm\right)$

 $\Rightarrow$S = {1; -11}

Vậy x₀ = -11 < -5

Bài 10: Phương trình

$\frac{6x}{9-x^2}=\frac{x}{x+3}-\frac{3}{3-x}$ có nghiệm là

A. x = -3

B. x = -2

C. Vô nghiệm

D. Vô số nghiệm

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Ta thấy x = -3 không thỏa mãn ĐKXĐ nên phương trình vô nghiệm

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 8 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Lý thuyết Ôn tập chương 3

Lý thuyết Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng

Lý thuyết Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân

Lý thuyết Bất phương trình một ẩn