Lý thuyết Chia đa thức một biến đã sắp xếp (mới 2023 + Bài Tập) – Toán 8

Lý thuyết Toán 8 Bài 12: Chia đa thức một biến đã sắp xếp

Bài giảng Toán 8 Bài 12: Chia đa thức một biến đã sắp xếp

A. Lý thuyết

1. Phép chia hết

- Phép chia hết là phép chia có đa thức dư bằng 0.

Quy tắc chia:

+ Sắp xếp các đa thức theo thứ tự giảm dần của biến.

+ Lấy hạng tử cao nhất của đa thức bị chia chia cho hạng tử cao nhất của đa thức chia ta được thương 1.

+ Nhân thương 1 với đa thức chia và lấy đa thức bị chia trừ đi tích đó.

+ Lấy hạng tử cao nhất của đa thức vừa tìm được chia cho hạng tử cao nhất đa thức chia ta được thương 2.

+ Tiếp tục lặp lại các bước trên đến khi nhận được hiệu bằng 0.

Ví dụ 1: Làm tính chia: (x³ – x²  – 5x – 3) : (x – 3).

Lời giải:

Ta có:

Vậy (x³ – x² – 5x – 3) : (x – 3) = x² + 2x + 1.

2. Phép chia có dư

- Phép chia có dư là phép chia có đa thức dư khác 0.

Quy tắc chia: Làm tương tự phép chia hết đến khi thu được đa thức dư có bậc nhỏ hơn bậc của đa thức chia.

Chú ý: Với hai đa thức tùy ý A và B của cùng một biến (B ≠ 0), tồn tại duy nhất một cặp đa thức Q và R sao cho A = B.Q + R, trong đó R = 0 hoặc bậc của R nhỏ hơn bậc của B (R được gọi là dư trong phép chia A cho B).

Khi R = 0 phép chia A cho B là phép chia hết.

Ví dụ 2: Làm tính chia: (3x³ + 2x² + 5x – 3) : (x² + 1).

Lời giải:

Ta có:

Vậy (3x³ + 2x² + 5x – 3) : (x² + 1) = 3x + 2 (dư 2x – 5)

Hay 3x³ + 2x² + 5x – 3 = (x² + 1).(3x + 2) + 2x – 5.

B. Bài tập tự luyện

Bài 1: Sắp xếp các đa thức theo thũy thừa giảm dần của biến rồi làm phép chia:

a) (5x² + 15 – 3x³ – 9x) : (5 – 3x);

b) (x³ + 5x + x² – 1) : (x – 1);

c) (12x – 3x² + 2x³ – 13) : (x² + 4).

Lời giải:

a)  Sắp xếp đa thức bị chia và đa thức chia theo thứ tự giảm dần của biến ta được:

 – 3x³ + 5x² – 9x + 15 và  – 3x + 5.

Thực hiện phép chia:

Vậy (5x² + 15 – 3x³ – 9x) : (5 – 3x) = x² + 3.

b) Sắp xếp đa thức ta được: x³ + x² + 5x  – 1.

Thực hiện phép:

Vậy x³ + 5x + x² – 1 = (x – 1)(x² + 2x + 7) + 6.

c) Sắp xếp đa thức ta được:  2x³  – 3x² + 12x – 13.

Vậy 12x – 3x² + 2x³ – 13 = (x² + 4).(2x – 3) + 4x – 1.

Bài 2: Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để thực hiện phép chia:

a) (8x³ + 27) : (2x + 3);

b) (a³ + 6a² + 12a + 8) : (a + 2);

c) (m³ – 9 m²n  + 27mn² – 27n³) : (m – 3n)².

Lời giải:

a) (8x³ + 27) : (2x + 3)

= (2x + 3)(4x² – 6x + 9) : (2x + 3)

=  4x² – 6x + 9.

b) (a³ + 6a² + 12a + 8) : (a + 2)

= (a + 2)³ : (a + 2)

= (a + 2)²

c) (m³ – 9 m²n  + 27mn² – 27n³) : (m – 3n)²

= (m – 3n)³ : (m – 3n)²

= m – 3n .

Bài 3: Tìm đa thức M biết:

2x⁶ – x⁴ – 2x² + 1 = M. (2x² – 1).

Lời giải:

a) Ta có: 2x⁶ – x⁴ – 2x² + 1 = M. (2x² – 1)

Suy ra M = (2x⁶ – x⁴ – 2x² + 1) : (2x² – 1)

Thực hiện phép chia:

Vậy M = x⁴ – 1.

Bài 4: Tìm a để đa thức A chia hết cho đa thức B với:

A = x³ – 6x²  + 11x + a  và B = x² – 2x + 3.

Lời giải:

Thực hiện phép chia A cho B ta được:

Để đa thức A chia hết cho đa thức B thì a + 12 = 0. Suy ra a = – 12.

Vậy a = – 12 thì đa thức A chia hết cho đa thức B.

Trắc nghiệm Toán 8 Bài 12: Chia đa thức cho một biến đã sắp xếp

Bài 1: Phép chia đa thức 2x⁴ – 3x³ + 3x – 2

cho đa thức x² – 1 được đa thức dư là

A. 0                       

B. 1                       

C. 2                       

D. 10

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Vậy đa thức dư là R = 0

Bài 2: Cho các khẳng định sau:

(I): Phép chia đa thức 3x³ – 2x² + 5 cho đa thức 3x – 2 là phép chia hết

(II): Phép chia đa thức (2x³ + 5x² – 2x + 3) cho đa thức (2x² – x + 1) là phép chia hết

Chọn câu đúng

A. Cả (I) và (II) đều đúng                    

B. Cả (I) và (II) đều sai

C. (I) đúng, (II) sai                                         

D. (I) sai, (II) đúng

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Vì phần dư R = 5 ≠ 0 nên phép chia đa thức 3x³ – 2x² + 5 cho đa thức 3x – 2 là phép chia có dư.

Do đó (I) sai

Lại có

Nhận thấy phần dư R = 0 nên phép chia đa thức (2x³ + 5x² – 2x + 3) cho đa thức (2x² – x + 1) là phép chia hết.

Do đó (II) đúng

Bài 3: Phép chia đa thức (4x⁴ + 3x² – 2x + 1) cho đa thức x² + 1 được đa thức dư là:

A. 2x + 2               

B. -2x + 2              

C. -2x - 2               

D. 3 - 2x

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Vậy đa thức dư là R = -2x + 2

Bài 4: Phép chia đa thức 3x⁵ + 5x⁴ – 1

cho đa thức x² + x + 1 được đa thức thương là:

A. 3x³ – 2x² – 5x + 3                                     

B. 3x³ + 2x² – 5x + 3

C. 3x³ – 2x² – x + 3                                       

D. 2x – 4

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Đa thức thương là: 3x³ + 2x² – 5x + 3

Bài 5: Cho các khẳng định sau:

(I): Phép chia đa thức (2x³ – 26x – 24) cho đa thức x² + 4x + 3 là phép chia hết

(II): Phép chia đa thức (x³ – 7x + 6) cho đa thức x + 3 là phép chia hết

Chọn câu đúng

A. Cả (I) và (II) đều đúng                    

B. Cả (I) và (II) đều sai

C. (I) đúng, (II) sai                                         

D. (I) sai, (II) đúng

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Vì phần dư R = 0 nên Phép chia đa thức(2x³ – 26x – 24) cho đa thức x² + 4x + 3 là phép chia hết.

Do đó (I) đúng.

Lại có

Nhận thấy phần dư R = 0 nên phép chia đa thức (x³ – 7x + 6) cho đa thức x + 3 là phép chia hết.

Do đó (II) đúng

Bài 6: Điền vào chỗ trống (x³ + x² – 12) : (x – 12) = …

A. x + 3                 

B. x – 3                 

C. x² + 3x + 6       

D. x² – 3x + 6

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Vậy đa thức cần điền vào chỗ trống là x² + 3x + 6

Bài 7: Kết quả của phép chia

(2a³ + 7ab² – 7a²b – 2b³) : (2a – b) là

A. (a – b)(a – 2b)  

B. (a + b)²             

C. (a – b)(b – 2a)   

D. a – b

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có 2a³ + 7ab² – 7a²b – 2b³

= 2(a³ – b³) – 7ab(a – b)

= 2(a – b)(a² + ab + b²) – 7ab(a – b)

= (a – b)(2a² – ab – 4ab + 2b²)

= (a – b)[a(2a – b) – 2b(2a – b)]

= (a – b)(2a – b)(a – 2b)

Nên (2a³ + 7ab² – 7a² – 2b³) : (2a – b)

= (a – b)(2a – b)(a – 2b) : (2a – b)

= (a – b)(a – 2b)

Bài 8: Phần dư của phép chia đa thức

x⁴ – 2x³ + x² – 3x + 1 cho đa thức x² + 1 có hệ số tự do là

A. 2                       

B. 3                       

C. 1                       

D. 4

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Đa thức dư là – x + 1 có hệ số tự do là 1.

Bài 9: Xác định a để đa thức

10x² – 7x + a chia hết cho 2x – 3

A. a = 24               

B. a = 12               

C. a = -12              

D. a = 9

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

(10x² – 7x + a) ⁝ (2x – 3)

Để 10x² – 7x + a chia hết cho 2x – 3

thì a + 12 = 0  a = -12

Bài 10: Thương của phép chia đa thức

(3x⁴ – 2x³ + 4x – 2x² – 8) cho đa thức (x² – 2) có hệ số tự do là

A. 2                       

B. 3                       

C. 1                       

D. 4

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có:

(3x⁴ – 2x³ + 4x – 2x² – 8) : (x² – 2)

= (3x⁴ – 2x³– 2x² + 4x – 8) : (x² – 2)

(3x⁴ – 2x³– 2x² + 4x – 8) : (x² – 2) = 3x² – 2x + 4

Hệ số tự do của thương là 4

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 8 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm các hạng tử

Lý thuyết Phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phối hợp nhiều phương pháp

Lý thuyết Chia đơn thức cho đơn thức

Lý thuyết Chia đa thức cho đơn thức

Lý thuyết Ôn tập chương 1