Lý thuyết Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông (mới 2023 + Bài Tập) – Toán 8

Lý thuyết Toán 8 Bài 8: Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

Bài giảng Toán 8 Bài 8: Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

A. Lý thuyết

1. Áp dụng các trường hợp đồng dạng của tam giác vào tam giác vuông

Hai tam giác vuông đồng dạng với nhau nếu:

+ Tam giác vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia.

+ Tam giác vuông này có hai cạnh góc vuông tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia.

2. Dấu hiệu đặc biệt nhận biết hai tam vuông đồng dạng

- Định lý 1: Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

3. Tỉ số hai đường cao, tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng

- Định lý 2: Tỉ số hai đường cao tương ứng của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng.

Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ với tỉ số đồng dạng là $\mathrm{k}=\frac{\mathrm{A}\text{'}\mathrm{B}\text{'}}{\mathrm{AB}}$, hai đường cao tương ứng là AH và A’H’.

Khi đó, ta có tỉ số hai đường cao là: $\frac{{\mathrm{h}}_{∆\mathrm{A}\text{'}\mathrm{B}\text{'}\mathrm{C}\text{'}}}{{\mathrm{h}}_{∆\mathrm{ABC}}}=\mathrm{k}$.

- Định lý 3: Tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng.

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC đồng dạng với tam giác MNP theo tỉ số $\mathrm{k}=\frac{2}{3}$. Biết đường cao xuất phát từ A của tam giác ABC là AH = 12cm. Tính đường cao xuất phát từ M của tam giác MNP?

Lời giải:

Gọi đường cao xuất phát từ M của tam giác MNP là MK.

Vì tam giác ABC đồng dạng với tam giác MNP theo tỉ số $\mathrm{k}=\frac{2}{3}$ nên

$\frac{\mathrm{AH}}{\mathrm{MK}}=\mathrm{k}\Rightarrow \frac{12}{\mathrm{MK}}=\frac{2}{3}\Rightarrow \mathrm{MK}=\frac{12.3}{2}=18$

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại A có chân đường cao AH chia cạnh huyền BC thành hai đoạn thẳng có độ dài lần lượt là HB = 16 cm và HC = 25 cm. Tính diện tích của tam giác ABC?

Lời giải:

Xét tam giác AHB và tam giác CHA có:

$\widehat{\mathrm{AHB}}=\widehat{\mathrm{AHC}}=90°$

$\widehat{{\mathrm{A}}_1}=\hat{\mathrm{C}}$ (cùng phụ $\widehat{{\mathrm{A}}_2}$)

Suy ra: ∆AHB $\infty$ ∆CHA (g.g).

$\Rightarrow \frac{\mathrm{AH}}{\mathrm{HC}}=\frac{\mathrm{HB}}{\mathrm{HA}}$

Hay $\frac{\mathrm{HA}}{25}=\frac{16}{\mathrm{HA}}\iff {\mathrm{HA}}^2=400\Rightarrow \mathrm{HA}=20\left(\mathrm{cm}\right)$

Ta có: ${\mathrm{S}}_{\mathrm{ABC}}=\frac{1}{2}\mathrm{AH}.\mathrm{BC}=\frac{1}{2}.20.41=410\left({\mathrm{cm}}^2\right)$

Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên BC. Biết AB = 5cm; AC = 12cm.

a) Tính BH?

b) Chứng minh ∆AHB $\infty$ ∆CHA

Lời giải:

a) Áp dụng định lí Pyata go vào tam giác vuông ABC có:

BC² = AB² + AC² = 25 + 144= 169 nên BC = 13cm

Xét ∆ABC và ∆ HBA có:

$\widehat{\mathrm{BAC}}=\widehat{\mathrm{AHB}}=90°$

$\hat{\mathrm{B}}$ chung

Suy ra: ∆ABC $\infty$ ∆HBA (g.g)

$\Rightarrow \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{HB}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{BA}}\Rightarrow \mathrm{HB}=\frac{{\mathrm{AB}}^2}{\mathrm{BC}}=\frac{5^2}{13}=\frac{25}{13}\mathrm{cm}$

b) Xét ∆AHB và ∆CHA có:

$\widehat{\mathrm{AHB}}=\widehat{\mathrm{AHC}}=90°$

$\widehat{\mathrm{BAH}}=\widehat{\mathrm{ACH}}$ (cùng phụ với góc $\widehat{\mathrm{HAC}}$)

Suy ra: ∆AHB $\infty$ ∆CHA (g.g).

Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A. Dựng hai đường phân giác trong BH; CN của góc B và góc C. Hai đường này cắt nhau tại I. Gọi K là hình chiếu vuông góc của I lên BC. Chứng minh:

a) ∆IKC $\infty$ ∆NAC

b) ∆IKB $\infty$ ∆HAB.

Lời giải:

a) Xét ∆IKC và ∆NAC có:

$\widehat{\mathrm{IKC}}=\widehat{\mathrm{CAN}}=90°$

$\widehat{\mathrm{ICK}}=\widehat{\mathrm{NCA}}$ (vì CN là tia phân giác của $\widehat{\mathrm{ACB}}$)

Suy ra: ∆IKC $\infty$ ∆NAC (g.g) ( đpcm)

b) Xét ∆IKB và ∆HAB có:

$\widehat{\mathrm{IKB}}=\widehat{\mathrm{BAH}}=90°$

$\widehat{\mathrm{KBI}}=\widehat{\mathrm{ABH}}$ (vì BH là tia phân giác của $\widehat{\mathrm{ABC}}$)

Suy ra: ∆IKB $\infty$ ∆HAB (g.g) (đpcm)

Trắc nghiệm Toán 8 Bài 8: Trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A. Đường thẳng qua C và vuông góc AB tại CE. Tính AB, biết BC = 18cm và BE = 6,75cm.

A. 16cm

B. 32cm

C. 24cm

D. 18cm

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Kẻ đường cao AD.

Xét ΔCBE và ΔABD có

Bài 2: Cho tam giác ABC, phân giác AD. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và C lên AD. Chọn khẳng định không đúng.

A. AE.CF = AF.BE

B. AE.DF = ED²

C. AE.DF = AF.DE

D. $\frac{BE}{CF}=\frac{DE}{DF}$ 

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Bài 3: Tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Cho biết AB = 3cm; AC = 4cm. Tính độ dài các đoạn thẳng HA, HB.

A. HA = 2,4cm; HB = 1,2cm

B. HA = 2cm; HB = 1,8cm

B. HA = 2cm; HB = 1,2cm

D. HA = 2,4cm; HB = 1,8cm

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH chia cạnh BC thành hai đoạn thẳng HB = 7cm và HC = 18cm. Điểm E thuộc đoạn thẳng HC sao cho đường thẳng  đi qua E và vuông góc với BC chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích bằng nhau. Tính CE.

A. 15cm

B. 12cm

C. 10cm

D. 8cm

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Gọi D là giao điểm của AC và đường vuông góc với BC tại E.

Xét ΔAHC và ΔABC có C chung và AHC^ = BAC^ = 90⁰ nên ΔAHC ~ ΔBAC (g-g)

Bài 5: Tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Cho biết AB = 3cm; AC = 4cm. Chọn kết luận không đúng.

A. HA = 2,4cm

B. HB = 1,8cm

C. HC = 3,2cm

D. BC = 6cm

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Bài 6: Cho các mệnh đề sau. Chọn câu đúng.

(I) Nếu một góc nhọn của tam giác vuông này bằng một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.

(II) Nếu một góc của tam giác vuông này lớn hơn một góc của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng

A. (I) đúng, (II) sai

B. (I) sai, (II) đúng

C. (I) và (II) đều sai

D. (I) và (II) đều đúng

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Nếu một góc nhọn của tam giác vuông này bằng một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.

Vậy (I) đúng, (II) sai

Bài 7: Cho tam giác ABC vuông ở A, AB = 6cm, AC = 8cm, đường cao AH, đường phân giác BD. Gọi I là giao điểm của AH và BD.

1. Chọn kết luận đúng.

A. AD = 6cm

B. DC = 5cm

C. AD = 5cm

D. BC = 12cm

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

+ Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông ABC ta có:

AB² + AC² = BC² $\iff$ 6² + 8² = BC²

$\iff$ BC² = 100 => BC = 10cm

+ Vì BD là đường phân giác của tam giác ABC nên áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác, ta có:

$$\begin{gathered} \frac{BA}{AD}=\frac{BC}{CD} \\ \iff \frac{BA}{AD}=\frac{BC}{CA-AD} \\ \iff \frac{6}{AD}=\frac{10}{8-AD} \end{gathered}$$

=> AD = 3cm

=> DC = AC - AD = 8 - 3 = 5cm

2. Chọn khẳng định đúng.

A. AB.BI = BD.HB

B. AB.BI = AI²

B. AB.BI = BD²

D. AB.BI = HI²

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Bài 8: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết HB = 3,5cm và HC = 9cm. Điểm E thuộc đoạn thẳng HC sao cho đường thẳng đi qua E và vuông góc với BC chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích bằng nhau. Tính CE.

A. 10cm

B. 6cm

C. 5cm

D. 7,5cm

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Gọi D là giao điểm của AC và đường vuông góc với BC tại E.

Xét ΔAHC và ΔABC có C chung và AHC^ = BAC^ = 90⁰ nên ΔAHC ~ ΔBAC (g-g)

Bài 9: Cho hai tam giác vuông. Điều kiện để hai tam giác vuông đó đồng dạng là:

A. Có hai cạnh huyền bằng nhau

B. có 1 cặp cạnh góc vuông bằng nhau

C. Có hai góc nhọn bằng nhau

D. không cần điều kiện gì

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Nếu một góc nhọn của tam giác vuông này bằng một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.

Bài 10: Cho hình vẽ dưới đây với $\widehat{BAH }=\widehat{ACH}$.

Khi đó các mệnh đề

(I) ΔAHB ~ ΔCHA (g - g)

(II) ΔAHC ~ ΔBAC (g - g)

A. (I) đúng

B. (II) đúng

C. Cả (I) và (II) đều sai

D. Cả (I) và (II) đều đúng

Hiển thị đáp án  

Đáp án: D

Giải thích:

Xét 2 tam giác vuông AHB và CHA có: BAH^ = ACH^ (gt)

=> ΔAHB ~ ΔCHA (g - g)

=> (I) đúng

Xét 2 tam giác vuông AHC và BAC có:

C chung

=> ΔAHC ~ ΔBAC (g - g)

=> (II) đúng

Vậy cả (I) và (II) đều đúng.

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 8 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Ôn tập chương 3

Lý thuyết Hình hộp chữ nhật

Lý thuyết Hình hộp chữ nhật (tiếp)

Lý thuyết Thể tích của hình hộp chữ nhật

Lý thuyết Hình lăng trụ đứng