Thể tích khối tứ diện

Thể tích khối tứ diện

I. Lý thuyết

+ Tứ diện $𝐴𝐵𝐶𝐷$: bốn mặt là tam giác.
+ Tứ diện đều khi có $6$ cạnh bằng nhau, $4$ mặt là tam giác đều.
+ Thể tích tứ diện $𝐴𝐵𝐶𝐷$: Thể tích của một khối tứ diện bằng một phần ba tích số của diện tích mặt đáy và chiều cao của khối tứ diện tương ứng: $𝑉=\frac{1}{3}{𝑆}_{𝐵𝐶𝐷}.𝐴𝐻.$
+ Thể tích khối chóp tam giác $𝑆.𝐴𝐵𝐶$: Thể tích của một khối chóp bằng một phần ba tích số của diện tích mặt đáy và chiều cao của khối chóp đó: $𝑉=\frac{1}{3}𝐵.ℎ.$

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tứ diện đều $𝐴𝐵𝐶𝐷$ có cạnh bằng $𝑎.$ Tính khoảng cách giữa các cặp cạnh đối diện và thể tích của hình tứ diện đều đó.

Giải

Do tứ diện $𝐴𝐵𝐶𝐷$ đều, gọi $𝐼$, $𝐽$ lần lượt là trung điểm của $𝐴𝐵$ và $𝐶𝐷$ thì:
$𝐴𝐽=𝐵𝐽=\frac{𝑎\sqrt{3}}{2}$ nên $\mathrm{\Delta }𝐽𝐴𝐵$ cân tại $𝐽$ $\Rightarrow 𝐼𝐽\mathrm{\perp }𝐴𝐵.$
Tương tự $\mathrm{\Delta }𝐼𝐶𝐷$ cân đỉnh $𝐼$ nên: $𝐼𝐽\mathrm{\perp }𝐶𝐷.$
Vậy $𝐼𝐽=𝑑(𝐴𝐵,𝐶𝐷).$
Trong tam giác vuông $𝐼𝐴𝐽$:
$𝐼𝐽=\sqrt{𝐴{𝐽}^2–𝐴{𝐼}^2}$ $=\sqrt{\frac{3{𝑎}^2}{4}–\frac{{𝑎}^2}{4}}=\frac{𝑎\sqrt{2}}{2}.$
Tương tự $𝑑(𝐵𝐶;𝐴𝐷)=𝑑(𝐵𝐷;𝐴𝐶)=\frac{𝑎\sqrt{2}}{2}.$
${𝑉}_{𝐴𝐵𝐶𝐷}=\frac{1}{3}{𝑆}_{𝐵𝐶𝐷}.𝐴𝐻$ $=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}𝑎.\frac{𝑎\sqrt{3}}{2}.\sqrt{{𝑎}^2–\frac{{𝑎}^2}{3}}=\frac{{𝑎}^3\sqrt{2}}{12}.$

Ví dụ 2: Tính thể tích khối tứ diện $𝐴𝐵𝐶𝐷$ (gần đều) có các cặp cạnh đối bằng nhau: $𝐴𝐵=𝐶𝐷=𝑎$, $𝐴𝐶=𝐵𝐷=𝑏$, $𝐴𝐷=𝐵𝐶=𝑐.$

Giải:

Dựng tứ diện $𝐴𝑃𝑄𝑅$ sao cho $𝐵$, $𝐶$, $𝐷$ lần lượt là trung điểm các cạnh $𝑄𝑅$, $𝑅𝑃$, $𝑃𝑄.$
Ta có $𝐴𝐷=𝐵𝐶=\frac{1}{2}𝑃𝑄$ $\Rightarrow 𝐴𝑄=\frac{1}{2}𝑃𝑄$ mà $𝐷$ là trung điểm của $𝑃𝑄$ $\Rightarrow 𝐴𝑄\mathrm{\perp }𝐴𝑃.$
Chứng minh tương tự, ta cũng có: $𝐴𝑄\mathrm{\perp }𝐴𝑅$, $𝐴𝑅\mathrm{\perp }𝐴𝑃.$
Ta có: ${𝑉}_{𝐴𝐵𝐶𝐷}=\frac{1}{4}{𝑉}_{𝐴𝑃𝑄𝑅}=\frac{1}{4}.\frac{1}{6}𝐴𝑃.𝐴𝑄.𝐴𝑅.$
Xét các tam giác vuông $𝐴𝑃𝑄$, $𝐴𝑄𝑅$, $𝐴𝑅𝑃$ ta có:
$𝐴{𝑃}^2+𝐴{𝑄}^2=4{𝑐}^2$, $𝐴{𝑄}^2+𝐴{𝑅}^2=4{𝑎}^2$, $𝐴{𝑅}^2+𝐴{𝑃}^2=4{𝑏}^2.$
Từ đó suy ra:
$𝐴𝑃=\sqrt{2}.\sqrt{–{𝑎}^2+{𝑏}^2+{𝑐}^2}$, $𝐴𝑄=\sqrt{2}.\sqrt{{𝑎}^2–{𝑏}^2+{𝑐}^2}$, $𝐴𝑅=\sqrt{2}.\sqrt{{𝑎}^2+{𝑏}^2–{𝑐}^2}.$
Vậy: ${𝑉}_{𝐴𝐵𝐶𝐷}=\frac{\sqrt{2}}{12}\sqrt{\left(–{𝑎}^2+{𝑏}^2+{𝑐}^2\right)\left({𝑎}^2–{𝑏}^2+{𝑐}^2\right)\left({𝑎}^2+{𝑏}^2–{𝑐}^2\right)}.$

III. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho tứ diện $𝐴𝐵𝐶𝐷$ có các mặt $𝐴𝐵𝐶$ và $𝐴𝐵𝐷$ là các tam giác đều cạnh $𝑎$, các mặt $𝐴𝐶𝐷$ và $𝐵𝐶𝐷$ vuông góc với nhau.
a) Hãy tính theo $𝑎$ thể tích khối tứ diện $𝐴𝐵𝐶𝐷.$
b) Tính số đo của góc giữa hai đường thẳng $𝐴𝐷$, $𝐵𝐶.$

Giải

a) Gọi $𝑀$ là trung điểm của $𝐶𝐷$, khi đó $𝐴𝑀\mathrm{\perp }𝐶𝐷$, $𝐵𝑀\mathrm{\perp }𝐶𝐷.$
Từ giả thiết suy ra $\widehat{𝐴𝑀𝐵}={90}^0.$
Mà $𝐴𝑀=𝐵𝑀$ nên tam giác $𝐴𝑀𝐵$ vuông cân tại $𝑀.$
Do đó:
$𝐵𝑀=\frac{𝑎\sqrt{2}}{2}$ $\Rightarrow 𝐶𝐷=2𝐶𝑀$ $=2\sqrt{𝐵{𝐶}^2–𝐵{𝑀}^2}=𝑎\sqrt{2}.$
${𝑉}_{𝐴𝐵𝐶𝐷}=\frac{1}{3}𝐶𝐷.{𝑆}_{𝐴𝐵𝑀}$ $=\frac{1}{6}𝐶𝐷.𝐴𝑀.𝐵𝑀=\frac{{𝑎}^3\sqrt{2}}{12}.$
b) Gọi $𝑁$, $𝑃$, $𝑄$ lần lượt là trung điểm của $𝐴𝐵$, $𝐴𝐶$, $𝐵𝐷.$
Ta có $\widehat{(𝐴𝐷,𝐵𝐶)}=\widehat{(𝑁𝑃,𝑀𝑃)}.$
Tam giác $𝐴𝑀𝐵$ vuông cân tại $𝑀$ $\Rightarrow 𝑀𝑁=\frac{𝐴𝐵}{2}=\frac{𝑎}{2}=𝑁𝑃=𝑃𝑀.$
Suy ra tam giác $𝑀𝑁𝑃$ là tam giác đều.
Do đó: $\widehat{𝑀𝑃𝑁}={60}^0$ $\Rightarrow \widehat{(𝐴𝐷,𝐵𝐶)}={60}^0.$

Bài 2: Cho tứ diện $𝑆𝐴𝐵𝐶$ có các cạnh bên $𝑆𝐴=𝑆𝐵=𝑆𝐶=𝑑$ và $\widehat{𝐴𝑆𝐵}={120}^0$, $\widehat{𝐵𝑆𝐶}={60}^0$, $\widehat{𝐴𝑆𝐶}={90}^0.$
a) Chứng minh tam giác $𝐴𝐵𝐶$ là tam giác vuông.
b) Tính thể tích tứ diện $𝑆𝐴𝐵𝐶.$

Giải

a) Tam giác $𝑆𝐵𝐶$ đều nên $𝐵𝐶=𝑑.$
Tam giác $𝑆𝐴𝐵$ cân và góc $\widehat{𝐴𝑆𝐵}={120}^0$ nên $\widehat{𝑆𝐵𝐴}=\widehat{𝑆𝐴𝐵}={30}^0.$
Gọi $𝐻$ là trung điểm của $𝐴𝐵$ ta có $𝐴𝐻=𝐵𝐻=\frac{𝑑\sqrt{3}}{2}.$
Do đó $𝐴𝐵=𝑑\sqrt{3}.$
Tam giác $𝑆𝐴𝐶$ vuông tại $𝑆$ nên $𝐴𝐶=𝑑\sqrt{2}.$
Tam giác $𝐴𝐵𝐶$ vuông tại $𝐶$ vì: $𝐵{𝐶}^2+𝐴{𝐶}^2={𝑑}^2+2{𝑑}^2=3{𝑑}^2=𝐴{𝐵}^2.$
b) Vì $𝑆𝐴=𝑆𝐵=𝑆𝐶$ nên ta suy ra hình chiếu vuông góc của đỉnh $𝑆$ xuống mặt phẳng $(𝐴𝐵𝐶)$ phải trùng với trung điểm $𝐻$ của đoạn $𝐴𝐵$ vì ta có $𝐻𝐴=𝐻𝐵=𝐻𝐶.$
Vì $\widehat{𝐴𝑆𝐵}={120}^0$ nên $𝑆𝐻=\frac{𝑆𝐵}{2}=\frac{𝑑}{2}.$
Ta có: ${𝑆}_{𝐴𝐵𝐶}=\frac{1}{2}𝐵𝐶.𝐴𝐶$ $=\frac{1}{2}𝑑.𝑑\sqrt{2}=\frac{{𝑑}^2\sqrt{2}}{2}$ nên ${𝑉}_{𝑆𝐴𝐵𝐶}=\frac{1}{3}𝑆𝐻.{𝑆}_{𝐴𝐵𝐶}$ $=\frac{1}{3}.\frac{𝑑}{2}.\frac{{𝑑}^2\sqrt{2}}{2}=\frac{{𝑑}^3\sqrt{2}}{12}.$

Bài 3: Cho tứ diện $𝐴𝐵𝐶𝐷.$ Chứng minh thể tích tứ diện không đổi trong các trường hợp:
a) Đỉnh $𝐴$ di chuyển trên mặt phẳng $(𝑃)$ song song với $(𝐵𝐶𝐷).$
b) Đỉnh $𝐴$ di chuyển trên đường thẳng $𝑑$ song song với $𝐵𝐶.$
c) Hai đỉnh $𝐵$ và $𝐶$ di chuyển trên đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ nhưng vẫn giữ nguyên độ dài.

Giải:

Thể tích tứ diện $𝐴𝐵𝐶𝐷$ không đổi vì:
a) Tam giác đáy $𝐵𝐶𝐷$ cố định và đường cao không đổi là khoảng cách từ $𝐴$ mặt phẳng $(𝐵𝐶𝐷)$, chính là khoảng cách giữa $2$ mặt phẳng song song $(𝑃)$ và $(𝐵𝐶𝐷).$
b) Tam giác đáy $𝐵𝐶𝐷$ cố định và đường cao không đổi là khoảng cách từ $𝐴$ đến mặt phẳng $(𝐵𝐶𝐷)$, chính là khoảng cách giữa đường thẳng $𝑑$ với mặt phẳng song song $(𝐵𝐶𝐷).$
c) Đỉnh $𝐴$ và $𝐷$ cố định, diện tích đáy $𝐵𝐶𝐷$ là $𝑆=\frac{1}{2}𝐵𝐶.𝑑(𝐷,\mathrm{\Delta })$ không đổi và chiều cao $ℎ=𝑑(𝐴,(𝐷,\mathrm{\Delta }))$ không đổi.

Bài 4: Cho tứ diện $𝐴𝐵𝐶𝐷$, gọi $𝑑$ là khoảng cách giữa hai đường thẳng $𝐴𝐵$ và $𝐶𝐷$, $𝛼$ là góc giữa hai đường thẳng đó. Chứng minh rằng ${𝑉}_{𝐴𝐵𝐶𝐷}=\frac{1}{6}𝐴𝐵.𝐶𝐷.𝑑.\sin 𝛼.$

Giải

Trong mặt phẳng $(𝐴𝐵𝐶)$ vẽ hình bình hành $𝐶𝐵𝐴{𝐴}^{\prime }.$
Ta có $𝐴{𝐴}^{\prime }//𝐵𝐶$ nên ${𝑉}_{𝐴𝐵𝐶𝐷}={𝑉}_{{𝐴}^{\prime }𝐵𝐶𝐷}.$
Gọi $𝑀𝑁$ là đoạn vuông góc chung của $𝐴𝐵$ và $𝐶𝐷$ với $𝑀\in 𝐴𝐵$, $𝑁\in 𝐶𝐷.$
Vì $𝐵𝑀//𝐶{𝐴}^{\prime }$ nên ${𝑉}_{𝐵{𝐴}^{\prime }𝐶𝐷}={𝑉}_{𝑀{𝐴}^{\prime }𝐶𝐷}.$
Ta có: $𝑀𝑁\mathrm{\perp }𝐴𝐵$ nên $𝑀𝑁\mathrm{\perp }𝐶{𝐴}^{\prime }.$
Ngoài ra $𝑀𝑁\mathrm{\perp }𝐶𝐷$ nên $𝑀𝑁\mathrm{\perp }\left(𝐶𝐷{𝐴}^{\prime }\right).$
Ta có: $\widehat{(𝐴𝐵,𝐶𝐷)}=\widehat{\left({𝐴}^{\prime }𝐶,𝐶𝐷\right)}=𝛼.$
Do đó: ${𝑉}_{𝑀{𝐴}^{\prime }𝐶𝐷}=\frac{1}{3}{𝑆}_{{𝐴}^{\prime }𝐶𝐷}.𝑀𝑁$ $=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}𝐶{𝐴}^{\prime }.𝐶𝐷.\sin 𝛼.𝑀𝑁$ $=\frac{1}{6}𝐴𝐵.𝐶𝐷.𝑑.\sin 𝛼.$
Vậy ${𝑉}_{𝐴𝐵𝐶𝐷}=\frac{1}{6}𝐴𝐵.𝐶𝐷.𝑑.\sin 𝛼.$

Bài 5: Cho điểm $𝑀$ nằm trong hình tứ diện đều $𝐴𝐵𝐶𝐷.$ Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ $𝑀$ tới bốn mặt của hình tứ diện là một số không phụ thuộc vào vị trí của điểm $𝑀.$ Tổng đó bằng bao nhiêu nếu cạnh của tứ diện đều bằng $𝑎$?

Giải:

Gọi $ℎ$ là chiều cao và $𝑆$ là diện tích các mặt tứ diện đều.
Gọi ${𝐻}_1$, ${𝐻}_2$, ${𝐻}_3$, ${𝐻}_4$ lần lượt là hình chiếu của điểm $𝑀$ trên các mặt phẳng $(𝐵𝐶𝐷)$, $(𝐴𝐶𝐷)$, $(𝐴𝐵𝐷)$, $(𝐴𝐵𝐶).$
Khi đó $𝑀{𝐻}_1$, $𝑀{𝐻}_2$, $𝑀{𝐻}_3$, $𝑀{𝐻}_4$ lần lượt là khoảng cách từ điểm $𝑀$ tới các mặt phẳng đó.
Ta có: ${𝑉}_{𝑀𝐵𝐶𝐷}+{𝑉}_{𝑀𝐴𝐶𝐷}+{𝑉}_{𝑀𝐴𝐵𝐷}+{𝑉}_{𝑀𝐴𝐵𝐶}={𝑉}_{𝐴𝐵𝐶𝐷}.$
$\Rightarrow \frac{1}{3}𝑆.𝑀{𝐻}_1+\frac{1}{3}𝑆.𝑀{𝐻}_2+\frac{1}{3}𝑆.𝑀{𝐻}_3+\frac{1}{3}𝑆.𝑀{𝐻}_4=\frac{1}{3}𝑆.ℎ.$
$\Rightarrow 𝑀{𝐻}_1+𝑀{𝐻}_2+𝑀{𝐻}_3+𝑀{𝐻}_4=ℎ$ không đổi.
Nếu tứ diện đều có cạnh bằng $𝑎$ thì $ℎ=\frac{𝑎\sqrt{6}}{3}$ nên tổng các khoảng cách nói trên cũng bằng $ℎ=\frac{𝑎\sqrt{6}}{3}.$

Bài 6: Cho hai tia $𝐴𝑥$ và $𝐵𝑦$ tạo với nhau góc $𝛼$, đường thẳng $𝐴𝐵$ vuông góc với cả $𝐴𝑥$ và $𝐵𝑦$; $𝐴𝐵=𝑑.$ Hai điểm $𝑀$, $𝑁$ lần lượt nằm trên hai tia $𝐴𝑥$ và $𝐵𝑦$, $𝐴𝑀=𝑚$, $𝐵𝑁=𝑛.$ Tính:
a) Thể tích khối tứ diện $𝐴𝐵𝑀𝑁.$
b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $𝐴𝐵$ và $𝑀𝑁.$

Giải

a) ${𝑉}_{𝐴𝐵𝑀𝑁}=\frac{1}{6}𝐴𝑀.𝐵𝑁.𝑑\sin 𝛼=\frac{1}{6}𝑚𝑛𝑑\sin 𝛼.$
b) Vẽ $\overrightarrow{𝐵𝑀}=\overrightarrow{𝐴𝑀}$ thì $𝐴𝐵{𝑀}^{\prime }𝑀$ là hình chữ nhật và có $𝐴𝐵//(𝑀𝑁{𝑀}^{\prime }).$
Khoảng cách $ℎ$ giữa hai đường thẳng $𝐴𝐵$ và $𝑀𝑁$ bằng khoảng cách từ $𝐴𝐵$ tới mặt phẳng $(𝑀𝑁{𝑀}^{\prime })$ hay bằng khoảng cách từ $𝐵$ tới mặt phẳng đó.
Hạ $𝐵𝐻\mathrm{\perp }𝑁{𝑀}^{\prime }$ thì $𝐵𝐻\mathrm{\perp }\left(𝑀𝑁{𝑀}^{\prime }\right).$
Vậy $ℎ=𝐵𝐻.$
Ta có ${𝑆}_{𝐵𝑁{𝑀}^{\prime }}=\frac{1}{2}𝑁{𝑀}^{\prime }.𝐵𝐻$ nên $ℎ=\frac{𝑚𝑛\sin 𝛼}{\sqrt{{𝑚}^2+{𝑛}^2–2𝑚𝑛\cos 𝛼}}.$

Bài 7: Cho lăng trụ tam giác $𝐴𝐵𝐶.{𝐴}^{\prime }{𝐵}^{\prime }{𝐶}^{\prime }$ có $𝐵{𝐵}^{\prime }=𝑎$, góc giữa $𝐵{𝐵}^{\prime }$ và mặt phẳng $(𝐴𝐵𝐶)$ bằng $60°$, tam giác $𝐴𝐵𝐶$ vuông tại $𝐶$ và $\widehat{𝐵𝐴𝐶}={60}^0.$ Hình chiếu vuông góc của ${𝐵}^{\prime }$ lên mặt phẳng $(𝐴𝐵𝐶)$ trùng với trọng tâm tam giác $𝐴𝐵𝐶.$ Tính thể tích tứ diện ${𝐴}^{\prime }𝐴𝐵𝐶.$

Bài 8: Cho hình lăng trụ đứng $𝐴𝐵𝐶.{𝐴}^{\prime }{𝐵}^{\prime }{𝐶}^{\prime }$ có đáy $𝐴𝐵𝐶$ là tam giác vuông tại $𝐵$, $𝐴𝐵=𝑎$, $𝐴{𝐴}^{\prime }=2𝑎$, ${𝐴}^{\prime }𝐶=3𝑎.$ Gọi $𝑀$ là trung điểm của đoạn ${𝐴}^{\prime }{𝐶}^{\prime }$, $𝐼$ là giao điểm của $𝐴𝑀$ và ${𝐴}^{\prime }𝐶.$ Tính theo $𝑎$ thể tích khối tứ diện $𝐼𝐴𝐵𝐶$ và khoảng cách từ điểm $𝐴$ đến mặt phẳng $(𝐼𝐵𝐶).$

Bài 9: Cho hình lập phương $𝐴𝐵𝐶𝐷.{𝐴}^{\prime }{𝐵}^{\prime }{𝐶}^{\prime }{𝐷}^{\prime }$ có cạnh bằng $𝑎.$ Gọi ${𝑂}^{\prime }$ là tâm của mặt đáy ${𝐴}^{\prime }{𝐵}^{\prime }{𝐶}^{\prime }{𝐷}^{\prime }$, điểm $𝑀$ nằm trên đoạn thẳng $𝐵𝐷$ sao cho $𝐵𝑀=\frac{3}{4}𝐵𝐷.$ Tính thể tích khối tứ diện $𝐴𝐵𝑀{𝑂}^{\prime }$ và khoảng cách giữa hai đường thẳng $𝐴𝑀$ và ${𝑂}^{\prime }𝐷.$