Tứ diện đều là gì?

Ví dụ 1: Hãy tính thể tích khối tứ diện đều ABCD biết:

a) cạnh AB = 4 cm

b) cạnh CD = 6 cm

c) cạnh BD = 3 cm

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức tính thể tích tứ diện đều cạnh a:

a) Vì ABCD là tứ diện đều nên các cạnh có độ dài bằng nhau: BC = CD = DA = BD = AC = AB = 4 cm nên a= 4 (cm). Khi đó thể tích ABCD là: V = 7,54 cm3

b) Vì là tứ diện đều nên AB = BC = DA = BD = AC = CD = 6 cm nên a= 6 (cm). Khi đó thể tích ABCD là: V = 25,46 cm3

c) Vì là tứ diện đều nên AB = BC = CD = DA = AC = BD = 3 cm nên a = 3 (cm). Khi đó thể tích ABCD là: V = 3,18 cm3

Ví dụ 2: Cho hình chóp đều S.ABCD (đáy là hình vuông), đường SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Xác định hình chóp này có mặt đối xứng nào.

Hướng dẫn giải:

Ta có: BD vuông góc với AC, BD vuông góc với SA.

Từ đó suy ra, BD vuông góc với (SAC) => (SAC) là mặt phẳng trung trực của BD.

Ta kết luận rằng, (SAC) là mặt đối xứng của hình chóp và đây là mặt phẳng duy nhất.

III. Bài tập vận dụng

Bài 1: Tìm số mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện đều.

Hướng dẫn giải:

Các mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện đều là các mặt phẳng chứa một cạnh và qua trung điểm cạnh đối diện. Vì vậy, hình tứ diện đều sẽ có 6 mặt phẳng đối xứng.

Bài 2: Hãy tính thể tích của khối tứ diện đều ABCD khi biết:

a, Cạnh AB = 5cm

b, Cạnh CD = 7cm

c, Cạnh BD = 4cm

d, Cạnh AC = 6cm

Giải:

Để tính được thể tích khối tứ diện đều cạnh a, ta có công thức: $𝑉=\frac{{𝑎}^3\sqrt{2}}{12}$

a, Vì ABCD là một khối tứ diện đều, nên các cạnh của tứ diện đều có độ dài bằng nhau:

BC = CD = DA = BD = AC = AB = 5cm

a = 4cm

Áp dụng công thức tính thể tích khối tứ diện đều, ta có:

$𝑉=\frac{5^3\sqrt{2}}{12}\approx 14,73\left({\mathrm{cm}}^3\right)$

b, Vì ABCD là một khối tứ diện đều, nên các cạnh của tứ diện đều có độ dài bằng nhau:

BC = CD = DA = BD = AC = AB = 7cm

a = 7cm

Áp dụng công thức tính thể tích khối tứ diện đều, ta có:

$𝑉=\frac{7^3\sqrt{2}}{12}\approx 40,42\left({\mathrm{cm}}^3\right)$

c, Vì ABCD là một khối tứ diện đều, nên các cạnh của tứ diện đều có độ dài bằng nhau:

BC = CD = DA = BD = AC = AB = 4cm

a = 4cm

Áp dụng công thức tính thể tích khối tứ diện đều, ta có:

$𝑉=\frac{4^3\sqrt{2}}{12}\approx 7,54\left({\mathrm{cm}}^3\right)$

d, Vì ABCD là một khối tứ diện đều, nên các cạnh của tứ diện đều có độ dài bằng nhau:

BC = CD = DA = BD = AC = AB = 6cm

a = 6cm

Áp dụng công thức tính thể tích khối tứ diện đều, ta có:

$𝑉=\frac{6^3\sqrt{2}}{12}\approx 25,45\left({\mathrm{cm}}^3\right)$

Bài 3: Cho một khối tứ diện đều ABCD, có cạnh AB bằng 2a, hãy tính thể tích khối tứ diện đều này.

Giải:

Áp dụng công thức tính thể tích khối tứ diện đều ABCD, ta có:

$𝑉=\frac{(2𝑎{)}^3\sqrt{2}}{12}=\frac{2{𝑎}^3\sqrt{2}}{3}\left({\mathrm{cm}}^3\right)$

Vậy, thể tích khối tứ diện đều ABCD là $\frac{2{𝑎}^3\sqrt{2}}{3}$.

Bài 4: Tính thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’. Biết rằng AA’B’D’ là khối tứ diện đều cạnh a.

Cách giải:

Ta có: AA’B’D’ là tứ diện đều, suy ra đường cao AH có H là tâm của tam giác đều A’B’D’ cạnh a.

Do đó:

A′H=2/3A′O′=2/3.a.sqrt(3)/2=a.sqrt(3)/3

⇒AH2=AA′2−A′H2=a^2−a^2/3=2a^2/3

⇒AH=a.sqrt(2/3)=a.sqrt(6)/3

Suy ra:

Diện tích tam giác đều A’B’D’ là: SA′B′D′=a^2.sqrt(3)/4

Diện tích hình thoi A’B’C’D’ là: SA′B′C′D′=2sB′C′D′=a^2.sqrt(3)/2

Vậy thể tích khối hộp đã cho là: V=B.h=a^2.sqrt(3)/2.a.sqrt(6)/3=a^3.sqrt(2)/2

Bài 5: Cho tứ diện ABCD gần đều có các cặp cạnh đối bằng nhau AB = CD = a và AC = BD = b và AD = BC = c. Tính thể tích tứ diện ABCD.

Dựng tứ diện APQR sao cho B, C, D lần lượt là trung điểm của các cạnh QR, RP, PQ.

Ta có: AD = BC = 1/2 . PQ ⇒ AQ = 1/2 . PQ

Mà D là trung điểm của PQ ⇒ AQ vuông góc AP

Chứng minh tương tự ta có: AQ vuông góc AR, AR vuông góc AP

Ta có: V ABCD = 1/4 . V APQR = 1/4 . AP . AQ . AR

Xét các tam giác vuông APQ, AQR, ARP ta có:

AP^2 + AQ^2 = 4c^2, AQ^2 + AR^2 = 4a^2, AR^2 + AP^2 = 4b^2

Từ đó suy ra: AP = √2 . √(-a^2 + b^2 + c^2), AQ = √2 . √(a^2 – b^2 + c^2), AR = √2 . √(a^2 + b^2 – c^2).

Vậy V ABCD = √2/12 . √((-a^2 + b^2 + c^2).(a^2 – b^2 + c^2).(a^2 + b^2 – c^2))

Bài 6:Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a.

Lời giải:

Gọi ABCD là tứ diện đều cạnh a.

Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD

$\Rightarrow$HB = HC = HD nên H nằm trên trục đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. (1)

Lại có: AB = AC = AD vì ABCD là tứ diện đều

$\Rightarrow$HA là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD

$\Rightarrow$HA ⊥ (BCD)

Vì tam giác BCD là tam giác đều nên H đồng thời trọng tâm tam giác BCD. Gọi M là trung điểm của CD.

Xét tam giác BCD ta có:

$BM=BD\sin 60°=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Theo tính chất trọng tâm ta có:

$$\begin{gathered} BH=\frac{2}{3}BM=\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2} \\ =\frac{a\sqrt{3}}{3} \end{gathered}$$

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông AHB ta được:

$$\begin{gathered} A{H}^2=A{B}^2-B{H}^2 \\ =a^2-{\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)}^2 \\ =\frac{2a^2}{3} \end{gathered}$$

$\Rightarrow AH=\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Diện tích tam giác đều BCD cạnh a là:

$S_{BCD}=\frac{1}{2}.a.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Do đó, thể tích khối tứ diện đều ABCD cạnh a là:

$$\begin{gathered} V=\frac{1}{3}AH.S_{BCD} \\ =\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}.\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{a^3\sqrt{2}}{12}\left(đvtt\right). \end{gathered}$$

Bài 7: Cho hình chóp đều S.ABCD (đáy là hình vuông), đường SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Xác định hình chóp này có mặt đối xứng nào.

Lời giải:

Ta có: BD vuông góc với AC, BD vuông góc với SA. Suy ra, BD vuông góc với (SAC). Từ đó ta suy ra (SAC) là mặt phẳng trung trực của BD. Ta kết luận rằng, (SAC) là mặt đối xứng của hình chóp và đây là mặt phẳng duy nhất.

Cho điểm M nằm trong hình tứ diện đều ABCD. Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ M tới bốn mặt của hình tứ diện là một số không phụ thuộc vào vị trí của điểm M. Tổng đó bằng bao nhiêu nếu cạnh của tứ diện đều bằng a?

Lời giải:

Gọi ,,, lần lượt là khoảng các từ M đến (ABC), (ACD), (ABD), (BCD). Khối tứ diện ABCD được chia thành 4 khối tứ diện MABC, MACD, MABD, MBCD.

Ta có:

Lại vì ===

Nên =(1/3).S_ΔABC (+++) (1)

Gọi h là chiều cao của tứ diện đều, ta có:

Từ (1) và (2) có: +++=h

Vậy khoảng cách từ M đến 4 mặt của hình tứ diện là một số không phụ thuộc vào vị trí của M.

* Xét tứ diện đều ABCD có cạnh là a. Ta tính h.

Gọi là trực tâm của tam giác đều BCD và M là trung điểm của CD

Ta có: