Tứ diện đều là gì?
Với tài liệu về Tứ diện đều bao gồm: lý thuyết và bài tập cũng như những định nghĩa, tính chất, các dạng bài sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức và học tốt môn Toán hơn.
Tứ diện đều
I. Lý thuyết
1. Định nghĩa
Tứ diện đều được coi là một trong 5 khối đa diện đều. Nếu một hình tứ diện có các mặt bên là các tam giác đều thì đây được gọi là hình tứ diện đều.
2. Tính chất
- Tứ diện đều có các tính chất như sau:
+ Bốn mặt xung quanh là các tam giác đều bằng nhau.
+ Các mặt của tứ diện là những tam giác có ba góc đều nhọn.
+ Tổng các góc tại một đỉnh bất kì của tứ diện là 180.
+ Hai cặp cạnh đối diện trong một tứ diện có độ dài bằng nhau.
+ Tất cả các mặt của tứ diện đều tương đương nhau.
+ Bốn đường cao của tứ diện đều có độ dài bằng nhau.
+ Tâm của các mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp nhau, trùng với tâm của tứ diện.
+ Hình hộp ngoại tiếp tứ diện là hình hộp chữ nhật.
+ Các góc phẳng nhị diện ứng với mỗi cặp cạnh đối diện của tứ diện bằng nhau.
+ Đoạn thẳng nối trung điểm của các cạnh đối diện là một đường thẳng đứng vuông góc của cả hai cạnh đó.
+ Một tứ diện có ba trục đối xứng.
+ Tổng các cos của các góc phẳng nhị diện chứa cùng một mặt của tứ diện bằng 1.
3. Cách vẽ
Bước 1: Đầu tiên các bạn hãy xem hình tứ diện đều là môt hình chóp tam giác đều ABCD.
Bước 2: Tiến hành vẽ mặt là cạnh đáy ví dụ là mặt BCD.
Bước 3: Tiếp theo các bạn tiến hành vẽ một đường trung tuyến của mặt đáy BCD. Ví dụ đường trung tuyến này là BM.
Bước 4: Sau đó các bạn tiến hành xác định trọng tâm G của tam giác BCD này
Bước 5: Tiến hành dựng đường cao.
Bước 6: Xác định điểm A trên đường vừa dựng và hoàn thiện hình tứ diện đều.
4. Công thức
- Một tứ diện đều sẽ có 6 cạnh bằng nhau và 4 mặt tam giác đều sẽ có các công thức tính thể tích như sau:
+ Thể tích tứ diện ABCD: Thể tích của một khối tứ diện bằng một phần ba tích số của diện tích mặt đáy và chiều cao của khối tứ diện tương ứng:
+ Thể tích tứ diện đều tam giác S.ABC: Thể tích của một khối chóp bằng một phần ba tích số của diện tích mặt đáy và chiều cao của khối chóp đó:
II. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Hãy tính thể tích khối tứ diện đều ABCD biết:
a) cạnh AB = 4 cm
b) cạnh CD = 6 cm
c) cạnh BD = 3 cm
Hướng dẫn giải
Áp dụng công thức tính thể tích tứ diện đều cạnh a:
a) Vì ABCD là tứ diện đều nên các cạnh có độ dài bằng nhau: BC = CD = DA = BD = AC = AB = 4 cm nên a= 4 (cm). Khi đó thể tích ABCD là: V = 7,54 cm3
b) Vì là tứ diện đều nên AB = BC = DA = BD = AC = CD = 6 cm nên a= 6 (cm). Khi đó thể tích ABCD là: V = 25,46 cm3
c) Vì là tứ diện đều nên AB = BC = CD = DA = AC = BD = 3 cm nên a = 3 (cm). Khi đó thể tích ABCD là: V = 3,18 cm3
Ví dụ 2: Cho hình chóp đều S.ABCD (đáy là hình vuông), đường SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Xác định hình chóp này có mặt đối xứng nào.
Hướng dẫn giải:
Ta có: BD vuông góc với AC, BD vuông góc với SA.
Từ đó suy ra, BD vuông góc với (SAC) => (SAC) là mặt phẳng trung trực của BD.
Ta kết luận rằng, (SAC) là mặt đối xứng của hình chóp và đây là mặt phẳng duy nhất.
III. Bài tập vận dụng
Bài 1: Tìm số mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện đều.
Hướng dẫn giải:
Các mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện đều là các mặt phẳng chứa một cạnh và qua trung điểm cạnh đối diện. Vì vậy, hình tứ diện đều sẽ có 6 mặt phẳng đối xứng.
Bài 2: Hãy tính thể tích của khối tứ diện đều ABCD khi biết:
a, Cạnh AB = 5cm
b, Cạnh CD = 7cm
c, Cạnh BD = 4cm
d, Cạnh AC = 6cm
Giải:
Để tính được thể tích khối tứ diện đều cạnh a, ta có công thức:
a, Vì ABCD là một khối tứ diện đều, nên các cạnh của tứ diện đều có độ dài bằng nhau:
BC = CD = DA = BD = AC = AB = 5cm
a = 4cm
Áp dụng công thức tính thể tích khối tứ diện đều, ta có:
b, Vì ABCD là một khối tứ diện đều, nên các cạnh của tứ diện đều có độ dài bằng nhau:
BC = CD = DA = BD = AC = AB = 7cm
a = 7cm
Áp dụng công thức tính thể tích khối tứ diện đều, ta có:
c, Vì ABCD là một khối tứ diện đều, nên các cạnh của tứ diện đều có độ dài bằng nhau:
BC = CD = DA = BD = AC = AB = 4cm
a = 4cm
Áp dụng công thức tính thể tích khối tứ diện đều, ta có:
d, Vì ABCD là một khối tứ diện đều, nên các cạnh của tứ diện đều có độ dài bằng nhau:
BC = CD = DA = BD = AC = AB = 6cm
a = 6cm
Áp dụng công thức tính thể tích khối tứ diện đều, ta có:
Bài 3: Cho một khối tứ diện đều ABCD, có cạnh AB bằng 2a, hãy tính thể tích khối tứ diện đều này.
Giải:
Áp dụng công thức tính thể tích khối tứ diện đều ABCD, ta có:
Vậy, thể tích khối tứ diện đều ABCD là .
Bài 4: Tính thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’. Biết rằng AA’B’D’ là khối tứ diện đều cạnh a.
Cách giải:
Ta có: AA’B’D’ là tứ diện đều, suy ra đường cao AH có H là tâm của tam giác đều A’B’D’ cạnh a.
Do đó:
A′H=2/3A′O′=2/3.a.sqrt(3)/2=a.sqrt(3)/3
⇒AH2=AA′2−A′H2=a^2−a^2/3=2a^2/3
⇒AH=a.sqrt(2/3)=a.sqrt(6)/3
Suy ra:
Diện tích tam giác đều A’B’D’ là: SA′B′D′=a^2.sqrt(3)/4
Diện tích hình thoi A’B’C’D’ là: SA′B′C′D′=2sB′C′D′=a^2.sqrt(3)/2
Vậy thể tích khối hộp đã cho là: V=B.h=a^2.sqrt(3)/2.a.sqrt(6)/3=a^3.sqrt(2)/2
Bài 5: Cho tứ diện ABCD gần đều có các cặp cạnh đối bằng nhau AB = CD = a và AC = BD = b và AD = BC = c. Tính thể tích tứ diện ABCD.
Dựng tứ diện APQR sao cho B, C, D lần lượt là trung điểm của các cạnh QR, RP, PQ.
Ta có: AD = BC = 1/2 . PQ ⇒ AQ = 1/2 . PQ
Mà D là trung điểm của PQ ⇒ AQ vuông góc AP
Chứng minh tương tự ta có: AQ vuông góc AR, AR vuông góc AP
Ta có: V ABCD = 1/4 . V APQR = 1/4 . AP . AQ . AR
Xét các tam giác vuông APQ, AQR, ARP ta có:
AP^2 + AQ^2 = 4c^2, AQ^2 + AR^2 = 4a^2, AR^2 + AP^2 = 4b^2
Từ đó suy ra: AP = √2 . √(-a^2 + b^2 + c^2), AQ = √2 . √(a^2 – b^2 + c^2), AR = √2 . √(a^2 + b^2 – c^2).
Vậy V ABCD = √2/12 . √((-a^2 + b^2 + c^2).(a^2 – b^2 + c^2).(a^2 + b^2 – c^2))
Bài 6:Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a.
Lời giải:
Gọi ABCD là tứ diện đều cạnh a.
Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD
HB = HC = HD nên H nằm trên trục đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. (1)
Lại có: AB = AC = AD vì ABCD là tứ diện đều
HA là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD
HA ⊥ (BCD)
Vì tam giác BCD là tam giác đều nên H đồng thời trọng tâm tam giác BCD. Gọi M là trung điểm của CD.
Xét tam giác BCD ta có:
Theo tính chất trọng tâm ta có:
Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông AHB ta được:
Diện tích tam giác đều BCD cạnh a là:
Do đó, thể tích khối tứ diện đều ABCD cạnh a là:
Bài 7: Cho hình chóp đều S.ABCD (đáy là hình vuông), đường SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Xác định hình chóp này có mặt đối xứng nào.
Lời giải:
Ta có: BD vuông góc với AC, BD vuông góc với SA. Suy ra, BD vuông góc với (SAC). Từ đó ta suy ra (SAC) là mặt phẳng trung trực của BD. Ta kết luận rằng, (SAC) là mặt đối xứng của hình chóp và đây là mặt phẳng duy nhất.
Cho điểm M nằm trong hình tứ diện đều ABCD. Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ M tới bốn mặt của hình tứ diện là một số không phụ thuộc vào vị trí của điểm M. Tổng đó bằng bao nhiêu nếu cạnh của tứ diện đều bằng a?
Lời giải:
Gọi ,
,
,
lần lượt là khoảng các từ M đến (ABC), (ACD), (ABD), (BCD). Khối tứ diện ABCD được chia thành 4 khối tứ diện MABC, MACD, MABD, MBCD.
Ta có:
Lại vì =
=
=
Nên =(1/3).S_ΔABC (
+
+
+
) (1)
Gọi h là chiều cao của tứ diện đều, ta có:
Từ (1) và (2) có: +
+
+
=h
Vậy khoảng cách từ M đến 4 mặt của hình tứ diện là một số không phụ thuộc vào vị trí của M.
* Xét tứ diện đều ABCD có cạnh là a. Ta tính h.
Gọi là trực tâm của tam giác đều BCD và M là trung điểm của CD
Ta có:
Xem thêm các chương trình khác:
- Các dạng bài tập Tiếng Anh thông dụng nhất
- 3000 câu hỏi ôn tập môn Tiếng Anh có đáp án
- Toàn bộ kiến thức về cụm động từ | Định nghĩa và cách dùng
- 500 đoạn văn Tiếng Anh thông dụng nhất và cách làm
- 1000 câu hỏi ôn tập môn Công nghệ có đáp án
- 1000 câu hỏi ôn tập Giáo dục công dân
- 3000 câu hỏi ôn tập môn Vật lí có đáp án
- Tổng hợp Dạng bài - Công thức môn Vật lí
- Phương trình hóa học | Tổng hợp PTHH của các chất hữu cơ, vô cơ chính xác nhất
- Đồng phân & Công thức cấu tạo của các chất hữu cơ
- Nhận biết các chất Hóa học
- Cấu hình electron
- So sánh bán kính nguyên tử và bán kính ion
- 1000 câu hỏi ôn tập môn Hóa có đáp án
- Wiki các chất hóa học | Định nghĩa, tính chất, nhận biết, điều chế, ứng dụng
- Cách đọc danh pháp hóa học (chương trình mới) đầy đủ nhất
- Công thức Lewis của một số chất thường gặp (chương trình mới)
- Công thức electron của một số chất thường gặp (chương trình mới)
- Công thức cấu tạo của một số chất thường gặp (chương trình mới)
- Công thức hợp chất khí với hidro của các nguyên tố (phổ biến) | Cách viết công thức hợp chất khí với hidro
- Công thức hidroxit cao nhất của các nguyên tố (phổ biến) | Cách viết công thức hidroxit cao nhất
- Công thức oxit cao nhất của các nguyên tố (phổ biến) | Cách viết công thức oxit cao nhất
- 2000 câu hỏi ôn tập môn Tin học có đáp án
- 3000 câu hỏi ôn tập môn Lịch sử có đáp án
- 3000 câu hỏi ôn tập môn Địa lí có đáp án
- 2000 câu hỏi ôn tập môn Sinh học có đáp án
- Tổng hợp Dạng bài - Công thức môn Sinh học
- Tổng hợp về các tác giả văn học
- 3000 câu hỏi ôn tập môn Ngữ văn có đáp án
- Tổng hợp kiến thức Ngữ Văn
- Trò chơi Powerpoint | Game Powerpoint
- Tổng hợp bài thu hoạch BDTX Giáo viên mầm non (2024) theo Thông tư 12
- Tổng hợp bài thu hoạch BDTX Giáo viên tiểu học (2024)
- Tổng hợp bài thu hoạch BDTX Giáo viên THCS (2024)
- Tổng hợp bài thu hoạch BDTX Giáo viên THPT (2024)