Tam giác cân là gì? Tính chất, dấu hiệu nhận biết và cách chứng minh tam giác cân

Tam giác cân là gì? Tính chất, dấu hiệu nhận biết và cách chứng minh tam giác cân

1. Tam giác cân là gì?

Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau, hai cạnh này được gọi là hai cạnh bên. Đỉnh của một tam giác cân là giao điểm của hai cạnh bên. Góc được tạo bởi đỉnh được gọi là góc ở đỉnh, hai góc còn lại gọi là góc ở đáy.

Ở hình trên, tam giác ABC có AB = AC suy ra tam giác ABC cân.

Có AB và AC là hai cạnh bên nên tam giác ABC cân tại đỉnh A.

Tam giác cân được phân thành ba loại khác nhau:

• Tam giác nhọn cân: Tam giác nhọn cân là tam giác có cả ba góc nhỏ hơn 90° và ít nhất hai trong số các góc của nó có số đo bằng nhau. Một ví dụ về các góc của tam giác nhọn cân là 50°, 50° và 80°.

• Tam giác vuông cân: Sau đây là một ví dụ về tam giác vuông có hai cạnh (và các góc tương ứng của chúng) có số đo bằng nhau.

• Tam giác tù cân: Tam giác tù cân là tam giác có một trong ba góc tù (nằm trong khoảng từ 90° đến 180°) và hai góc nhọn còn lại có số đo bằng nhau. Một ví dụ về góc tam giác tù cân là 30°, 30° và 120°.

2. Tính chất của tam giác cân

Tam giác cân có 4 tính chất sau đây:

Tính chất 1: Trong một tam giác cân hai góc ở đáy bằng nhau.

Chứng minh:

Giả thiết	Tam giác ABC cân tại A, AB = AC
Kết luận	$\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$

Trong tam giác cân ABC, gọi AM là tia phân giác của góc $\widehat{BAC}$

Khi đó ta có $\widehat{BAM}=\widehat{CAM}$

Xét tam giác ABM và tam giác ACM có:

AB = AC (gt)

$\widehat{BAM}=\widehat{CAM}$ (cmt)

AM chung

Suy ta ΔABM = ΔACM (c.g.c) $\Rightarrow \widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ (đpcm)

Tính chất 2: Một tam giác có hai góc bằng nhau thì là tam giác cân.

Chứng minh

Trong tam giác ABC, gọi AM là tia phân giác của $\widehat{BAC }\Rightarrow \widehat{BAM}=\widehat{CAM}$

Tam giác ABM có $\widehat{ABM}+\widehat{AMB}+\widehat{BAM}= 180°$ (tổng 3 góc trong một tam giác)

Tam giác ACM có $\widehat{ACM}+\widehat{CAM}+\widehat{CMA}= 180°$ (tổng 3 góc trong một tam giác)

Mà lại có $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$

nên $\widehat{AMC}=\widehat{AMB}$

Xét tam giác ABM và tam giác ACM có:

Suy ra ΔABM = ΔACM (g - g - g) nên AB = AC (cạnh tương ứng bằng nhau)

Xét tam giác ABC có AB = AC, suy ra tam giác ABC cân tại A (định nghĩa)

Tính chất 3: Trong một tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến, đường cao của tam giác đó.

Tính chất 4: Trong một tam giác, nếu có một đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực thì tam giác là tam giác cân.

3. Công thức chu vi, diện tích tam giác cân

- Công thức tính chu vi tam giác cân: P = 2a + c

Trong đó: a là độ dài cạnh bên

c là độ dài cạnh đáy

- Công thức tính diện tích tam giác cân: S = $\frac{1}{2}.a.h$

Diện tích tam giác cân bằng Tích của chiều cao nối từ đỉnh tam giác đó tới cạnh đáy tam giác, sau đó chia cho 2.

4. Dấu hiệu nhận biết tam giác cân

• Dấu hiệu 1: Nếu một tam giác có hai cạnh bên bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.

• Dấu hiệu 2: Nếu một tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.

5. Cách chứng minh tam giác cân

– Cách 1: Chứng minh tam giác đó có hai cạnh bằng nhau.

– Cách 2: Chứng minh tam giác đó có hai góc bằng nhau.

Ví dụ: Trong tam giác ABC có Δ ABD = Δ ACD . Chứng minh tam giác ABC cân.

+ Chứng minh theo cách 1:

Theo bài ra, ta có:

Δ ABD = Δ ACD

=> AB = AC

=> Tam giác ABC cân tại A

+ Chứng minh theo cách 2:

Theo bài ra, ta có:

∆ ABD = ∆ ACD

=> Góc B = C

=> Tam giác ABC cân tại A

6. Bài tập về tam giác cân

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có , AB = 5cm.

a) Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông cân.

b) Tính diện tích tam giác ABC?

Hướng dẫn:

a) Trong tam giác ABC có:

Suy ra, tam giác ABC cân tại A

Vì tam giác ABC vuông tại A (gt)

Suy ra, tam giác ABC vuông cân tại A.

b) Tam giác ABC cân tại A

Tam giác ABC vuông tại A nên AB là đường cao ứng với cạnh đáy AC

Bài 2. Cho tam giác ONM cân tại O. Lấy điểm D thuộc cạnh OM, điểm E thuộc cạnh ON sao cho OD = OE

a) Hãy so sánh góc OND và OME

b) Gọi I là giao điểm của ND và ME. Chứng minh tam giác INM cân. Vì sao ?

Giải

a) Tam giác ONM cân tại O (giả thiết)

Nên: ON = OM và Góc ONM = Góc OMN

Xét ΔOND và ΔOME, ta có: ON = OM (giả thiết) Và góc O chung

OD = OE (giả thiết)

=>ΔOND = ΔOME (c.g.c)

=> Góc OND = Góc OME ( các cặp canh tương ứng)

b) ΔINM có:

Góc INM = góc ONM - góc OND = góc OMN - góc OME = góc IMN

Suy ra: Tam giác INM cân tại I

Bài 3: Một tam giác cân có góc ở đỉnh là 64° thì số đo góc đáy bằng?

A. 54°

B. 58°

C. 72°

D. 90°

Gợi ý