Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và cách giải các dạng bài tập (2024)

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

1. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau là gì?

*Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng đó.

Kí hiệu: d (a,b) = MN trong đó M$\in$a, N$\in$b và MN$\perp$a, MN$\perp$b

*Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó và mặt phẳng song song với nó mà chứa đường thẳng còn lại.

*Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.

Được minh họa bằng hình vẽ như sau:

Ký hiệu: d (a,b) = d (a,(Q)) = d (b,(P)) = d ((P),(Q)). Trong đó, (P) và (Q) là hai mặt phẳng lần lượt chứa các đường thẳng a, b và (P) // (Q).

2. Phương pháp tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng

Để có thể tính được khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau thì chúng ta có thể sử dụng một trong các cách dưới đây:

Phương pháp 1: Dựng đoạn vuông góc chung MN của a và b, khi đó d (a,b) = MN.

Tuy nhiên, khi dựng đoạn vuông góc chung MN, chúng ta có thể sẽ gặp phải các trường hợp sau:

Trường hợp 1: ∆ và ∆’ vừa chéo vừa vuông góc với nhau

Khi gặp trường hợp này, chúng ta sẽ làm như sau:

Bước 1: Chọn mặt phẳng (α) chứa ∆’ và vuông góc với ∆ tại I

Bước 2: Trong mặt phẳng (α) kẻ đường thẳng IJ vuông góc với ∆’

Khi đó IJ chính là đoạn vuông góc chung và d (∆, ∆’) = IJ.

Trường hợp 2: ∆ và ∆’ chéo nhau mà không vuông góc với nhau

Bước 1: Bạn chọn một mặt phẳng (α) chứa ∆’ và song song với ∆

Bước 2: Bạn dựng d là hình chiếu vuông góc của ∆ xuống (α) bằng cách lấy điểm M thuộc ∆ dựng đoạn MN vuông góc với (α) . Khi đó, d sẽ là đường thẳng đi qua N và song song với ∆

Bước 3: Bạn gọi H là giao điểm của đường thẳng d với ∆’, dựng HK // MN

Khi đó, HK chính là đoạn vuông góc chung và d (∆, ∆’) = HK = MN.

Hoặc bạn làm như sau:

Bước 1: Chọn mặt phẳng (α) vuông góc với ∆ tại I

Bước 2: Bạn tìm hình chiếu d của ∆’ xuống mặt phẳng (α)

Bước 3: Trong mặt phẳng (α), dựng IJ vuông góc với d, từ J bạn dựng đường thẳng song song với ∆ và cắt ∆’ tại H, từ H dựng HM // IJ

Khi đó, HM chính là đoạn vuông góc chung và d (∆, ∆’) = HM = IJ.

Phương pháp 2: Chọn mặt phẳng (α) chứa đường thẳng ∆ và song song với ∆’. Khi đó, d (∆, ∆’) = d (∆’, (α)).

Phương pháp 3: Dựng 2 mặt phẳng song song và lần lượt chứa 2 đường thẳng. Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng đó chính là khoảng cách giữa 2 đường thẳng cần tìm.

Phương pháp 4: Sử dụng phương pháp vec tơ

*MN là đoạn vuông góc chung của AB và CD khi và chỉ khi:

*Nếu trong mặt phẳng (α) có hai véc tơ không cùng phương thì:

3. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Tính khoảng cách giữa AB và CD.

Hướng dẫn giải

Chọn C

Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD

+ Xét tam giác ACD đều có NA là đường trung tuyến đồng thời là đường cao nên NA = (a√3)/2.

Tương tự: NB = (a√3)/2.

⇒ NA = NB nên tam giác ANB cân tại N

suy ra đường trung tuyến NM đồng thời là đường cao: NM ⊥ AB

+ Chứng minh tương tự ta có NM ⊥ DC, nên d(AB; CD) = MN.

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có mặt đáy là hình thoi tâm O, cạnh a và ∠BAD = 60° và SO = 3a/4. Biết SA = SC và SB = SD. Hỏi khoảng cách giữa SA và BD bằng bao nhiêu ?

Hướng dẫn giải

+ Vì SA = SC nên tam giác SAC cân tại S ⇒ SO ⊥ AC

Vì SB = SD nên tam giác SBD cân tại S ⇒ SO ⊥ BD.

+ Ta có:

Trong mp(SAC) , kẻ OH ⊥ SA (H ∈ SA). Ta chứng minh OH là đoạn vuông góc chung của SA và BD

Ta có: OH ⊥ SA (cách dựng) và OH ⊥BD ( vì BD⊥( SAC)

⇒ OH là đoạn vuông góc chung của SA và BD. Do đó: d(SA; DB) = OH.

Ta có: Tam giác ABD cân tại A có góc A bằng 60° nên tam giác ABD đều cạnh a.

+ Tam giác SOA vuông tại O, có OH là đường cao, ta có:

Chọn B

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AC = a√5; BC = a√2. Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách giữa SD và BC

Hướng dẫn giải

Ta tìm đoạn vuông góc chung của SD và BC:

Lại có; DC ⊥ BC nên DC là đoạn vuông góc chung của SD và BC

⇒ d(SD; BC) = DC.

Áp dụng định lí Pyta go vào tam giác vuông ABC có

Chọn đáp án D

Bài 4: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Gọi M; N lần lượt là trung điểm các cạnh CD và AB.

Ta chứng minh MN là đoạn vuông góc chung của AB và CD.

+ Do ABCD là tứ diện đều nên ΔACD = ΔBCD

⇒ AM = BM

⇒ Tam giác MAB cân tại M có MN là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao.

⇒ MN ⊥ AB

+ Chứng minh tương tự ta có: MN ⊥ CD

⇒ MN là đoạn vuông góc chung của AB và CD.

⇒ d( AB; CD) = MN

+ Ta có: NB = AB/2 = a/2.

Tam giác BCD đều cạnh a nên BM = BC.sin60° = (a√3)/2

Chọn đáp án B

Bài 5: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = AA’ = a và AC = 2a. Tính khoảng cách giữa AC’ và CD’

Hướng dẫn giải

Ta có hình chiếu của AC’ trên mặt phẳng (DCC’D’) là DC' ⊥ D’C nên AC’ ⊥ D'C

⇒ D’C ⊥ (ADC’B’) tại điểm H là trung điểm CD’.

Từ H ta kẻ HK ⊥ AC’

⇒ d(AC’; D’C) = HK (khi đó HK là đoạn vuông góc chung của AC’ và D’C)

Ta tính khoảng cách d từ điểm D đến đường thẳng AC’

+ Áp dụng định li Pytago với tam giác vuông ABC ta có

+ Áp dụng định lí pytago với tam giác vuông DCC’ ta có:

+ Xét tam giác ADC’ có:

Chọn đáp án D

Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), đáy ABC tam giác vuông tại B có AB = a, $BC=a\sqrt{3}$ . Biết $SA=\frac{a}{\sqrt{2}}$

a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AB.

Hướng dẫn giải

a) Dựng $Bx//AC,AE\perp Bx\Rightarrow \left(SAE\right)\perp Bx$

Dựng $AF\perp SE\Rightarrow d(AC;SB)=AF$

Dựng $BH\perp AC$ dễ thấy $AE=BH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Ta có: $AF=\frac{AE.SA}{\sqrt{S{A}^2+A{E}^2}}=\frac{a\sqrt{30}}{10}$

b) Dựng $Cy//AB\Rightarrow d(AB,SC)=d(AB,(SCy\left)\right)$

Dựng $Cy//AB\Rightarrow d(AB,SC)=d(AB,(SCy\left)\right)$

Lại có : $AM=BC=a\sqrt{3}\Rightarrow AN=\frac{AM.SA}{\sqrt{S{A}^2+A{M}^2}}=\frac{a\sqrt{21}}{27}$