Nội dung bài viết

    Xem thêm

    Tổng hợp công thức đạo hàm (2024) đầy đủ, chi tiết nhất

    Với tài liệu về Tổng hợp công thức đạo hàm (2024) đầy đủ, chi tiết nhất bao gồm: lý thuyết và bài tập cũng như những định nghĩa, tính chất, các dạng bài sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức và học tốt môn Toán hơn.

    1 2,486 28/12/2023
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Tổng hợp công thức đạo hàm (2024) đầy đủ, chi tiết nhất

    I. Lý thuyết

    1. Định nghĩa

    Giới hạn nếu có của tỉ số giữa số gia của hàm số và số gia của đối số tại x_0, khi số gia của đối số tiến dần tới 0, được gọi là đạo hàm của hàm số y=f(x) tại điểm x_0.

    Cho hàm số y=f(x) xác định trên (a;b) và x_0\in(a;b):
    f'({x_0})=\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) – f({x_0})}}{{x – {x_0}}}=\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} (\Delta x = x – x_0, \Delta y = f(x_0 + \Delta x) – f(x_0)
    Nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm tại x_0 thì nó liên tục tại điểm đó.

    2. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa

    Quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa:

    + Bước 1: Giả sử ∆x là số gia của đối số tại x0; tính :

    ∆y= f( x0+ ∆x)- f( x0) .

    + Bước 2: Lập tỉ số ∆y/∆x.

    + Bước 3:

    Tổng hợp các công thức tính đạo hàm chi tiết

    3. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số

    * Định lí: Nếu hàm số y= f( x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.

    * Chú ý:

    + Nếu hàm số y= f(x) gián đoạn tại x0 thì hàm số không có đạo hàm tại điểm đó.

    + Một hàm số liên tục tại một điểm có thể không có đạo hàm tại điểm đó.

    4. Đạo hàm một bên, Đạo hàm trên khoảng, trên đoạn

    a. Đạo hàm bên trái, bên phải

    + Nếu tồn tại giới hạn( hữu hạn) bên phảiTổng hợp các công thức tính đạo hàm chi tiết

    ta gọi giới hạn đó là đạo hàm bên phải của hàm số y= f(x) tại x=x0 và kí hiệu f'(x0+)

    + Tương tự; đạo hàm bên trái của hàm số làTổng hợp các công thức tính đạo hàm chi tiết

    Hệ quả : Hàm số y= f(x) có đạo hàm tại x0 khi và chỉ khi tồn tại f'(x0+) và f;(x0-) đồng thời f' (x0+ )=f'(x0-) .

    b. Đạo hàm trên khoảng, trên đoạn

    Hàm số y=f(x) có đạo hàm trên (a;b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc (a; b).

    Hàm số y= f(x) có đạo hàm trên[a;b] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc khoảng (a; b) đồng thời tồn tại đạo hàm trái tại x= b và đạo hàm phải tại x= a.

    5. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

    Định lí: Đạo hàm của hàm số y= f(x) taị điểm x=x0 là hệ số góc của tiếp tuyến M0T của đồ thị hàm số y= f( x) tại điểm M0(x0; f(x0)).

    Định lí: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= f(x) tại điểm M0(x0; f(x0)) là:

    y – y0= f’(x0) ( x- x0)

    trong đó y0= f( x0)

    6. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm

    a. Vận tốc tức thời.

    Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: s= s(t); với s= s(t) là một hàm số có đạo hàm. Vận tốc tức thời tại thời điểm t0 là đạo hàm của hàm số s= s(t) tại t0:

    v(t0) = s’(t0)

    b. Cường độ tức thời.

    Nếu điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian: Q= Q(t) ( là hàm số có đạo hàm) thì cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm t0 là đạo hàm của hàm số Q= Q(t) tại t0:

    I(t0)= Q’(t0) .

    II. Công thức đạo hàm

    Giả sử u=u(x) và v=v(x) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Ta có:(u+v)'=u'+v'

    (u-v)'=u'-v'

    (u.v)'=u'.v+u.v'

    y'_x=y'_u.u'_x

    (ku)'=ku'

    (\frac{u}{v})'=\frac{u'v−uv'}{v^2},\ (v(x)\ne0)

    \left(\frac{k}{u'}\right)=-\frac{k.u'}{u^2}

    Đạo hàm các hàm số sơ cấp

    (\mathrm{C})^{\prime}=0

    \left(\mathrm{x}^a\right)^{\prime}=a \cdot \mathrm{x}^{a-1}với a \in \mathrm{R}

    \left(\mathrm{u}^a\right)^{\prime}=a \cdot \mathrm{u}^{a-1} \cdot \mathrm{u}^{\prime}với a \in \mathrm{R}

    (\sqrt{\mathrm{x}})^{\prime}=\frac{1}{2 \sqrt{\mathrm{x}}}

    \left(\frac{1}{\mathrm{x}}\right)^{\prime}=-\frac{1}{\mathrm{x}^2}

    (\sqrt{\mathrm{u}})^{\prime}=\frac{\mathrm{u}^{\prime}}{2 \sqrt{\mathrm{u}}}

    \left(\frac{1}{\mathrm{u}}\right)^{\prime}=-\frac{\mathrm{u}^{\prime}}{\mathrm{u}^2}

    (\sqrt[n]{x})^{\prime}=\frac{1}{n \sqrt[n]{x^{n-1}}} \quad n \in N^*, n>1

    (\sqrt[n]{u})^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{n \sqrt[n]{u^{n-1}}} \quad n \in N^*, n>1

    (\operatorname{Sin} x)^{\prime}=\operatorname{Cos} x

    (\operatorname{Sin} u)^{\prime}=u^{\prime} \cdot \operatorname{Cos} u

    (\operatorname{Cos} x)^{\prime}=-\operatorname{Sin} x

    (\operatorname{Cos} u)^{\prime}=-u^{\prime} \cdot \operatorname{Sin} u

    (\tan x)^{\prime}=1+\tan ^2 x=\frac{1}{\cos ^2 x}

    (\tan u)^{\prime}=u^{\prime} .\left(1+\tan ^2 u\right)=\frac{u^{\prime}}{\operatorname{Cos}^2 u}

    (\operatorname{Cot} x)^{\prime}=-\left(1+\operatorname{Cot}^2 x\right)=-\frac{1}{\operatorname{Sin}^2 x}

    (\operatorname{Cot} u)^{\prime}=-u^{\prime} \cdot\left(1+\operatorname{Cot}^2 u\right)=-\frac{u^{\prime}}{\operatorname{Sin}^2 u}

    \left(e^x\right)^{\prime}=e^x

    \left(e^u\right)^{\prime}=u^{\prime} \cdot e^u

    \left(a^x\right)^{\prime}=a^x \cdot \ln a

    \left(a^u\right)^{\prime}=u^{\prime} \cdot a^u \cdot \ln a

    (\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x}

    (\ln u)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{u}

    \left(\log _a x\right)^{\prime}=\frac{1}{x.\ln a}

    \left(\log _a u\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{u \cdot \ln a}

    \left(\frac{\mathrm{ax}+\mathrm{b}}{\mathrm{cx}+\mathrm{d}}\right)^{\prime}=\frac{\mathrm{ad}-\mathrm{bc}}{(\mathrm{cx}+\mathrm{d})^2}

    \left(\frac{\mathrm{ax}{ }^2+\mathrm{bx}+\mathrm{c}}{\mathrm{ex}+\mathrm{f}}\right)^{\prime}=\frac{\mathrm{aex}^2+2 \mathrm{af} \cdot \mathrm{x}+(\mathrm{bf}-\mathrm{ce})}{(\mathrm{ex}+\mathrm{f})^2}

    \left(\frac{a_1 x^2+b_1 x+c_1}{a_2 x^2+b_2 x+c_2}\right)=\frac{\left|\begin{array}{ll}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2\end{array}\right|. x^2+2\left|\begin{array}{ll}a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2\end{array}\right| .x+\left|\begin{array}{ll}b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2\end{array}\right|}{\left(a_2 x^2+b_2 x+c_2\right)^2}

    Đạo hàm cấp cao

    (x^m)^{\left(n\right)}=m(m−1)...\ (m−n+1).x^{\left(m−n\right)}

    (\ln x)^{(n)}=\frac{(−1)^{n−1}(n−1)!}{x^n}

    (a^x)^{(n)}=a^x.\ln^na\ \ \ \ với\ a>0.

    (\sin x)^{(n)}=\sin(x+n\frac{\pi}{2})

    \cos x)^{(n)}=\cos(x+n\frac{\pi}{2})

    \left(e^x\right)^{(n)}=e^x

    (\frac{1}{x})^{(n)}=(−1)^n.n!.x^{−n−1}

    Quy tắc cơ bản của đạo hàm

    (C') = 0

    Đạo hàm của hằng số bằng 0

    (u+v)′=u′+v′

    ^{(u−v)′=u′−v′}

    \left(u_1+u_2+...+u_n\right)'=\left(u_1\right)'+\left(u_2\right)'+...\ \left(u_n\right)'

    \left(u_1-u_2-...-u_n\right)'=\left(u_1\right)'-\left(u_2\right)'-...\ \left(u_n\right)'

    Đạo mà của một tổng bằng tổng các đạo hàm
    \left(uv\right)'=\left(u\right)'v+\left(v\right)'u \left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{\left(u\right)'v-\left(v\right)'u}{v^2}

    Quy tắc đạo hàm của hàm số hợp

    Nếu y=y(u(x)) thì y'(x)=y'(u)\times u'(x)

    Công thức đạo hàm cơ bản

    Đạo hàm của f(x) với x là biến số
    (k x)^{\prime}=k
    \left(x^n\right)^{\prime}=n x^{n-1}
    \left(\frac{1}{x}\right)^{\prime}=-\frac{1}{x^2}
    (\sqrt{x})^{\prime}=\frac{1}{2 \sqrt{x}}
    (\sin x)^{\prime}=\cos x
    (\cos x)^{\prime}=-\sin x
    (\tan x)^{\prime}=1+\tan ^2 x=\frac{1}{\cos ^2 x}
    (\cot x)^{\prime}=-\left(1+\cot ^2 x\right)=-\frac{1}{\sin ^2 x}
    \left(\mathrm{e}^x\right)^{\prime}=\mathrm{e}^x
    \left(a^x\right)^{\prime}=a^x \times \ln a
    (\ln x)^{\prime}=(\ln |x|)^{\prime}=\frac{1}{x}
    (\log a)^{\prime}=\left(\log _a|x|\right)^{\prime}=\frac{1}{x \times \ln a}
    Đạo hàm của f(u) với u là một hàm số
    (k \times u)^{\prime}=k \times u^{\prime}
    \left(u^n\right)^{\prime}=n \times u^{n-1} \times(u)^{\prime}
    \left(\frac{1}{u}\right)^{\prime}=-\frac{(u)^{\prime}}{u^2}
    (\sqrt{u})^{\prime}=-\frac{(u)^{\prime}}{2 \sqrt{u}}
    (\sin u)^{\prime}=\cos u \times(u)^{\prime}
    (\cos u)^{\prime}=-\sin u \times(u)^{\prime}
    (\tan u)^{\prime}=\left(1+\tan ^2 u\right) \times(u)^{\prime}=\frac{(u)^{\prime}}{\cos ^2 u}
    (\cot u)^{\prime}=-\left(1+\cot ^2 u\right) \times(u)^{\prime}=-\frac{(u)^{\prime}}{\sin ^2 x}
    \left(\mathrm{e}^u\right)^{\prime}=\mathrm{e}^u \times(u)^{\prime}
    \left(a^u\right)^{\prime}=a^u \times \ln a \times(u)^{\prime}
    (\ln u)^{\prime}=(\ln |u|)^{\prime}=\frac{(u)^{\prime}}{u}
    \left(\log _a u\right)^{\prime}=\left(\log _a|u|\right)^{\prime}=\frac{(u)}{u \times \ln a}

    Công thức đạo hàm lượng giác

    (\sin x)’=\cos x

    (\cos x)’=−\sin x

    (\tan x)′=(\frac{\cos x}{\sin x}​)′=\frac{\cos^2x+\cos^2x}{\sin^2x​}=\frac{1}{\cos^2x}

    (\cot x)′=(\frac{\sin x}{\cos x}​)′=\frac{-\sin^2x−\sin2x}{\cos^2x​}=−(1+\cot^2x)

    \left(\sec\left(x\right)\right)'=\frac{1}{\left(\cos x\right)'}=\frac{\sin\ x}{\cos^2x}=\frac{1}{\cos x}\times\frac{\sin x}{\cos x}=\sec\left(x\right)\times\tan x

    \left(\csc\left(x\right)\right)'=\left(\frac{1}{\sin x}\right)'=-\frac{\cos x}{\sin^2x}=-\frac{1}{\sin x}\times\frac{\cos x}{\sin x}=-\csc\left(x\right)\cot\left(x\right)

    \left(\arcsin\left(x\right)\right)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

    \left(\arccos\left(x\right)\right)'=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}

    \left(\arctan\left(x\right)\right)'=\frac{1}{x^2+1}

    Bảng đạo hàm

    x^a{ }^{\prime}=a x^{a-1} \left(u^a\right)^{\prime}=a \cdot u^{\prime} \cdot u^{a-1}
    (\sin x)^{\prime}=\cos x (\sin u)^{\prime}=u^{\prime} \cdot \cos u
    (\cos x)^{\prime}=-\sin x (\cos u)^{\prime}=-u^{\prime} \cdot \sin u
    (\tan x)^{\prime}=\frac{1}{\cos ^2 x}=1+\tan ^2 x (\tan u)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{\cos ^2 u}=u^{\prime} \cdot\left(1+\tan ^2 u\right)
    (\cot x)^{\prime}=\frac{-1}{\sin ^2 x}=-\left(1+\cot ^2 x\right) (\cot u)^{\prime}=\frac{-u^{\prime}}{\sin ^2 u}=-u^{\prime} \cdot\left(1+\cot ^2 u\right)
    \log _a x^{\prime}=\frac{1}{x \ln a} \log _a u^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{u \cdot \ln a}
    \ln x{ }^{\prime}=\frac{1}{x} \ln u^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{u}
    a^x{ }^{\prime}=a^x \cdot \ln a a^u{ }^{\prime}=a^u \cdot u^{\prime} \cdot \ln a
    e^x{}^{\prime}=e^x \left(e^u\right)^{\prime}=u^{\prime} \cdot e^u

    III. Bài tập vận dụng

    Dạng 1: Tính đạo hàm bằng định nghĩa

    Phương pháp: Nếu như tính đạo hàm của hàm số y=f(x) tại điểm x0 bằng khái niệm ta thực hiện các bước:

    • Bước 1: Giả sử Δx là số gia của đối số tại x0. Tính Δy=f(x0+Δx)–f(x0).
    • Bước 2: Tính limΔx→0ΔyΔx.
    • Bước 3: Kết luận.

    Ví dụ: Dùng khái niệm hãy tính đạo hàm của hàm số sau: f(x)=x2–3x

    Giải:

    – Giả sử Δx là số gia của đối số tại x.

    Khi đó:

    Δy=f(Δx+x)–f(x)=(Δx+x)2–3Δx–3x–x2+3x=(Δx)2+2xΔx=Δx(Δx+2x)

    – Tính:

    limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0Δx(Δx+2x)Δx=limΔx→0(Δx+2x)=2x

    – Vậy: f′(x)=2x

    Dạng 2: Tính đạo hàm bằng phép toán

    Ví dụ:

    y=2x+11–3x

    ⇒y′=(2x+1),(1–3x)–(2x+1)(1–3x),(1–3x)2=2(1–3x)+3(2x+1)(1–3x)2=5(1–3x)2

    Dạng 3: Tính đạo hàm hàm hợp

    Ví dụ:

    y=(x2+x)4⇒y′=4(x2+x)3.(x2+x),=4(2x+1)(x2+x)3

    Dạng 4: Tính đạo hàm cấp cao

    Phương pháp:

    1.Để tính đạo hàm cấp 2,3,4,…ta dung công thức: y(n)=(yn–1)/.

    2.Để tính đạo hàm cấp n:

    • Tính đạo hàm cấp 1,2,3,… từ đấy suy ra đạo hàm cấp n.
    • Dùng phương pháp quy nạp toán học nêu chứng minh công thức đúng.

    Ví dụ: Tính đạo hàm cấp n của hàm số: y=1x.

    Giải

    Ta có:f′(x)=–1×2

    f”(x)=1.2×3

    f”′(x)=1.2.3×4

    ….

    f(n)(x)=(–1)nn!xn+1

    Suy ra: (1x)(n)=(–1)n.n!xn+1

    Thật vậy: Khi n=1: Ta có: (1x)‘=(–1).1!x2=–1×2.

    Vậy: Mệnh đề đúng khi n=1.

    – Khi n=k>1, tức là (1x)(k)=(–1)k.k!xk+1.

    Ta cần chứng minh: n=k+1, tức là (1x)(k)+1=(–1)k+1.(k+1)!xk+2

    (1x)(k+1)=[(1x)k],=[(–1)k.k!xk+1],=(–1)k.k![1xk+1],=(–1)k+1.(k+1)!xk+2

    Vậy: Mệnh đề đúng khi n=k+1.

    Tham khảo các loạt bài Toán khác:

    Bài viết cùng lớp mới nhất

    Xem thêm
    1 2,486 28/12/2023
    Trang trước
    Chia sẻ
    Trang sau  

    Xem thêm các chương trình khác: