Bội số là gì?

Bội số

I. Lý thuyết

1. Khái niệm

Nếu có số tự nhiên a chia hết cho số tự nhiên b thì ta nói a là bội của b.

2. Cách tìm bội số

a kí hiệu tập hợp các bội của a là B(a).

Ví dụ: Tìm các bội nhỏ hơn 30 của 7.

Lần lượt nhân 7 với 0, 1, 2, 3, 4, ta được các bội nhỏ hơn 30 của 7 là: 0, 7, 14, 21, 28 (bội tiếp theo của 7 là 35 lớn hơn 30).

Ta có thể tìm các bội của một số khác 0 bằng cách nhân số đó lần lượt với 0, 1, 2, 3...

3. Cách tìm bội chung

Bội chung của hai hay nhiều số là bội của tất cả các số đó.

4. Bội chung nhỏ nhất

Bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp các bội chung của các số đó.

Chú ý:

Mọi số tự nhiên đều là bội của 1. Do đó: Với mọi số tự nhiên a và b (khác 0), ta có:

BCNN(a, 1) = a ; BCNN(a, b, 1) = BCNN(a, b)

5. Cách tìm bội chung nhỏ nhất

Muốn tìm BCNN của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện ba bước sau:

Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng.

Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó. Tích đó là BCNN phải tìm.

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm bội chung nhỏ nhất của:

a) 60 và 280

b) 84 và 108

c) 13 và 15

Giải:

a) 60 = 2³ × 3 × 5

280 = 2² × 5 × 7

BCNN (60, 280) = 2³ × 3 × 5 × 7 = 840

b) 84 = 2² × 3 × 7

108 = 22.33

BCNN (84, 108) = 2² × 3³ × 7 = 756

c) BCNN (13, 15) = 195

Ví dụ 2: Tìm bội chung nhỏ nhất của:

a) 10, 12, 15

b) 8, 9, 11

c) 24, 40, 168.

Giải

a) 10 = 2 × 5

12 = 2² × 3

15 = 3 × 5

BCNN(10,12,15) = 2² × 3 × 5 = 60

b) BCNN(8, 9, 11) = 8 × 9 × 11 = 792

c) 24 = 2³ × 3

40 = 2³ × 5

168 = 2³ × 3 × 7

BCNN(24, 40,168) = 2³ × 3 × 5 × 7 = 840

III. Bài tập vận dụng

Bài 1. Cho các số sau 13; 19; 20; 36; 121; 125; 201; 205; 206 chỉ ra các số thuộc tập hợp sau:

1. là bội của 3

2. Là bội của 5

Giải

1. Vì trong các số đã cho 36; 201 chia hết cho 3 nên B (3) = {36; 201}

2. Vì trong các số đã cho 20; 125; 205 chia hết cho 5 nên B (5) = {20; 125; 205}

Bài 2: Tìm các bội chung nhỏ hơn 500 của 30 và 45.

Giải

BCNN (30, 45) = 90

Do đó các bội chung nhỏ hơn 500 của 30 và 45 là 0, 90, 180, 270, 360, 450.

Bài 3: Học sinh lớp 6C khi xếp hàng 2, hàng 3, hàng 4, hàng 8 đều vừa đủ hàng. Biết số học sinh lớp đó trong khoảng từ 35 đến 60. Tính số học sinh lớp 6C.

Giải

Vì khi học sinh lớp 6C xếp hàng 2, hàng 3, hàng 4, hàng 8 đều đủ hàng có nghĩa là số học sinh ấy là bội chung của 2, 3, 4, 8.

BCNN(2, 3, 4, 8) = 24. Mỗi bội của 24 cũng là một bội chung của 2, 3, 4, 8. Vì số học sinh của lớp 6C trong khoảng 35 đến 60 nên ta phải chọn bội của 24 thỏa mãn điều kiện này. Đó là 24 × 2 = 48.

Vậy lớp 6C có 48 học sinh.

Bài 4. Tìm các số tự nhiên x sao cho:

x € Ư (12) và 2 <= x <= 8
x € B (5) và 20 <= x <= 36
x chia hết cho 5 và 13 < x <= 78
12 chia hết cho x và x >4

Đáp án

Ta có Ư (12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}

Vì x € Ư (12) và 2 <= x <= 8 nên x € {2; 3; 4; 6}

2. x € B(5) và 20 < = x <= 36

Vì x € B(5) = {0; 5; 10; 15; 20; 25; 30; 35; 40…}

Mặt khác 20 <= x <= 36 => x € {20; 25; 30; 35}

3. ta có, x chia hết cho 5 và 13 < x <= 78

Vì x chia hết cho 5 nên x € B(5) => x € {0; 5; 10; 15; 20; 25; 30; 35; 40…}

Mặt khác 13 < x <= 78 => x € {15; 20; 25; 30; 35; 40; 45; 50; 55; 60; 65; 70; 75}

4. 12 chia hết cho x và x > 4

Vì 12 chia hết cho x nên x € Ư (12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12} và x > 4 nên x € {6; 12}

Bài 5. Tìm tập hợp các số tự nhiên vừa là ước của 100 vừa là bội của 25

Giải

Gọi x là số tự nhiên cần tìm,

Ta có Ư (100) = {1; 2; 4; 5; 10; 20; 25; 50; 100}

Vì x thuộc B(25) nên x chia hết cho 25

=> x € {25; 50; 100}

Bài 6. Năm nay Bình 12 tuổi. Tuổi của mẹ Bình là bội số của tuổi Bình. Tìm tuổi của mẹ Bình biết tuổi của mẹ lớn hơn 30 và nhỏ hơn 45.

Giải

Gọi x là số tuổi của mẹ Bình (x € N, 30 < x < 45)

Tuổi của mẹ Bình là bội số của tuổi Bình nên x € B(12)

Mà 30 < x< 45 nên x = 36.

Vậy mẹ Bình 36 tuổi

Bài 7. Học sinh lớp 6A nhận được phần hưởng của nhà trường và mỗi em nhận được phần thưởng như nhau. Cô hiệu trưởng đã chia hết 129 quyển vở và 215 bút chì màu. Hỏi số học sinh lớp 6A là bao nhiêu.

Giải

Ta thấy số phần thưởng là ƯC (129; 215)

Có ƯC (129; 125) = {1; 43}

Vì số học sinh lớp 6A không thể bằng 1 nên số học sinh lớp 6A là 43 học sinh.

Bài 8: Tính số học sinh của một trường biết rằng mỗi lần xếp hàng 4, hàng 5, hàng 6, hàng 7 đều vừa đủ hàng và số học sinh của trường khoảng từ 415 đến 421 em.